# Teorema del Valor Medio (TVM): enunciado, gráfica y ejemplos

> El teorema del valor medio: una función suave en [a, b] tiene un punto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente media. Enunciado y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-del-valor-medio
Actualizado: 2026-11-03

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

## De un vistazo

- **Hipótesis:** $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$
- **Conclusión:** Algún $c$ en $(a, b)$ cumple $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- **Significado geométrico:** Alguna recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los extremos
- **Significado físico:** En algún instante, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media
- **Caso particular:** El teorema de Rolle, cuando $f(a) = f(b)$
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- En algún punto entre $a$ y $b$, la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio media.
- La función debe ser continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Un pico o un salto pueden hacer que la conclusión falle.
- El TVM convierte cotas sobre $f'$ en cotas sobre cuánto puede cambiar $f$.
- Si $f'(x) = 0$ en un intervalo, el TVM demuestra que $f$ es constante ahí.

El **teorema del valor medio** (TVM), también llamado teorema de Lagrange, dice que para una función suave la tasa de cambio media en un intervalo se alcanza como tasa de cambio instantánea en algún punto interior. Geométricamente, alguna recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos.

## Enunciado del teorema del valor medio

Sea $f$ una función que cumple las dos hipótesis:

1. $f$ es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$;
2. $f$ es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$.

Entonces existe al menos un número $c$ en $(a, b)$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

De forma equivalente, $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. Esta segunda forma es la que se usa en las demostraciones: convierte información sobre la derivada en información sobre la función.

## Qué significa el TVM

La fracción $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ es la pendiente de la recta secante, la tasa de cambio **media**. $f'(c)$ es la pendiente de la tangente, una tasa de cambio **instantánea**. El TVM dice que ambas coinciden en algún punto. Si tu velocidad media en un viaje fue de 60 km/h, en algún instante ibas exactamente a 60 km/h.

```graph
title: 'Teorema del valor medio: tangente a y = x³ paralela a la secante en [0, 2]'
caption: 'La secante de $(0, 0)$ a $(2, 8)$ tiene pendiente $4$. En $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ la recta tangente tiene la misma pendiente.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-4, 10]
functions:
  - expr: x^3
    label: y = x³
  - expr: 4x
    label: secante, pendiente 4
    domain: [0, 2]
  - expr: 4x - 3.0792
    label: tangente en c
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'a = 0']
  - [2, 8, 'b = 2']
  - [1.1547, 1.5396, 'c ≈ 1.155']
```

## Por qué importa cada hipótesis

**Derivabilidad.** Toma $f(x) = |x|$ en $[-1, 2]$. Es continua, y la pendiente de la secante es $\frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$. Pero $f'(x)$ vale $-1$ para $x < 0$ y $1$ para $x > 0$, nunca $\frac{1}{3}$. El culpable es el pico en $0$.

**Continuidad.** Toma $f(x) = \frac{1}{x}$ en $[-1, 1]$. La pendiente de la secante es $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, y sin embargo $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ es siempre negativa. La función no es continua en $0$, así que el TVM no se aplica.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: halla $c$ para $f(x) = x^3$ en $[0, 2]$.**

**Paso 1.** $f$ es un polinomio, así que se cumplen ambas hipótesis.

**Paso 2.** Pendiente media: $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$.

**Paso 3.** Resuelve $f'(c) = 3c^2 = 4$, lo que da $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Solo $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ está en $(0, 2)$.

**Ejemplo 2: halla $c$ para $f(x) = \sqrt{x}$ en $[1, 4]$.**

$f$ es continua en $[1, 4]$ y derivable en $(1, 4)$. La pendiente media es $\frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$. Resuelve

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$$

y $\frac{9}{4} = 2.25$ está en $(1, 4)$.

**Ejemplo 3: acotar una función.** Supón que $f(0) = 1$ y $f'(x) \le 3$ para todo $x$. ¿Qué tan grande puede ser $f(2)$?

Por el TVM en $[0, 2]$, $f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2$ para algún $c$. Como $f'(c) \le 3$,

$$f(2) \le 1 + 3 \cdot 2 = 7$$

Obtienes información sobre $f(2)$ sin conocer la función. Así es como se usa el TVM en demostraciones y en las estimaciones del error de la [aproximación lineal](/blog/linear-approximation).

## Consecuencias clave

- **Derivada cero implica función constante.** Si $f'(x) = 0$ en un intervalo, entonces para dos puntos cualesquiera $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, así que $f$ es constante.
- **Misma derivada implica que difieren en una constante.** Si $f' = g'$, entonces $f - g$ es constante. Por eso toda [antiderivada](/blog/antiderivatives) lleva un $+ C$.
- **El signo de $f'$ da la monotonía.** Si $f' > 0$ en un intervalo, $f$ es creciente ahí, que es la base del criterio de la primera derivada.

## Errores comunes

1. **Responder con un $c$ fuera de $(a, b)$.** Resuelve $f'(c) = \text{slope}$ y descarta las raíces que no estén en el intervalo abierto.
2. **Saltarse la comprobación de las hipótesis.** Con funciones que tienen raíces, valores absolutos o fracciones, comprueba primero la continuidad y la derivabilidad.
3. **Creer que el TVM localiza $c$.** Solo garantiza que existe. En muchas aplicaciones, como en el Ejemplo 3, nunca llegas a hallar $c$.

## Teoremas relacionados

El TVM se demuestra a partir del [teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) restando la recta secante a $f$. Su gemelo integral es el [teorema del valor medio para integrales](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals), y el [teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) es una versión de orden superior. Para más aplicaciones y práctica, lee la [guía completa del teorema del valor medio](/blog/mean-value-theorem).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el teorema del valor medio?

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe un número $c$ en $(a, b)$ donde $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. La pendiente de la tangente en $c$ es igual a la pendiente de la recta secante de $a$ a $b$.

### ¿Cómo se encuentra c en el teorema del valor medio?

Calcula la tasa de cambio media $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, iguala $f'(c)$ a ese valor, despeja $c$ y conserva solo las soluciones que estén en el intervalo abierto $(a, b)$.

### ¿Cuál es un ejemplo de la vida real del teorema del valor medio?

Si recorres 120 km en 2 horas, tu velocidad media es de 60 km/h, así que el TVM dice que tu velocímetro marcó exactamente 60 km/h en algún momento del viaje.

### ¿Por qué se exige derivabilidad en el teorema del valor medio?

Sin ella, la gráfica puede tener un pico y ninguna recta tangente coincide con la pendiente de la secante. Para $f(x) = |x|$ en $[-1, 2]$ la pendiente de la secante es $\frac{1}{3}$, pero la derivada solo vale $-1$ o $1$.