# Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1: derivada de una integral

> TFC parte 1: si f es continua, la derivada de la integral de a a x de f(t) dt es f(x). Enunciado, gráfica, versión con regla de la cadena y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-fundamental-del-calculo-parte-1
Actualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) $$

## De un vistazo

- **Hipótesis:** $f$ es continua en $[a, b]$, y $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ para $x$ en $[a, b]$
- **Conclusión:** $F$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$, y $F'(x) = f(x)$
- **En palabras:** La rapidez con la que crece el área acumulada es la altura de la curva
- **Versión con regla de la cadena:** $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$
- **Gran consecuencia:** Toda función continua tiene una antiderivada (primitiva)
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- Al derivar una integral cuyo límite superior es variable, se recupera el integrando evaluado en ese límite.
- Cuando el límite superior es una función $g(x)$, multiplica por $g'(x)$: es la regla de la cadena.
- El límite inferior $a$ no afecta a la derivada, siempre que sea constante.
- El TFC 1 muestra que derivar e integrar son procesos inversos.

El **Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1** (TFC 1) dice que si construyes una función acumulando el área bajo una curva continua, la derivada de esa función es la propia curva. Es la primera mitad del vínculo entre derivadas e integrales.

## Enunciado del TFC, parte 1

Sea $f$ **continua** en $[a, b]$, y define la **función de acumulación**

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad a \le x \le b$$

Entonces $F$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$, y

$$F'(x) = f(x)$$

En notación de Leibniz, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. La variable $t$ es una variable muda de integración, y $x$ es el límite superior.

## Qué significa el TFC 1

$F(x)$ es el área con signo bajo $y = f(t)$ desde $a$ hasta $x$. Si desplazas $x$ un poquito hacia la derecha, una cantidad $h$, el área nueva es una franja delgada de anchura $h$ y altura aproximada $f(x)$. Así que

$$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} \approx \frac{f(x)\,h}{h} = f(x)$$

y la aproximación se vuelve exacta cuando $h \to 0$. La rapidez con la que se acumula el área es igual a la altura de la curva.

```graph
title: 'TFC parte 1: el área bajo y = x² de 0 a x crece como F(x) = x³/3'
caption: 'El área sombreada hasta $x = 1.5$ es $F(1.5) = \frac{1.5^3}{3} = 1.125$. La curva discontinua $F(x) = \frac{x^3}{3}$ sigue esa área, y su pendiente en cada $x$ es igual a la altura $x^2$.'
x: [0, 2.2]
y: [0, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = f(x) = x²
  - expr: x^3/3
    label: F(x) = x³/3 (área acumulada)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 1.5}
points:
  - [1.5, 1.125, 'F(1.5) = 1.125']
```

## Por qué importa la continuidad

Sea $f(t) = 0$ para $t < 0$ y $f(t) = 1$ para $t \ge 0$, y sea $F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt$. El área acumulada es

$$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & x \ge 0 \end{cases}$$

que tiene un pico en $x = 0$. Así que $F'(0)$ no existe y, desde luego, no es igual a $f(0) = 1$. La integral sigue teniendo sentido, pero en el salto la conclusión $F' = f$ falla. Lejos del salto, donde $f$ es continua, $F' = f$ se sigue cumpliendo.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: la forma básica.**

$$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{1 + t^3}\,dt = \sqrt{1 + x^3}$$

No hace falta integrar, y tampoco sería posible con funciones elementales. Sustituye $t$ por $x$ y listo.

**Ejemplo 2: el límite superior es una función de $x$ (regla de la cadena).** Halla $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$.

**Paso 1.** Sea $u = x^2$. Entonces la integral es $G(u) = \int_0^u \cos t\,dt$ y, por el TFC 1, $G'(u) = \cos u$.

**Paso 2.** Por la [regla de la cadena](/blog/chain-rule), $\frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$.

$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$$

Comprobación: la integral es igual a $\sin(x^2)$, cuya derivada es $2x\cos(x^2)$.

**Ejemplo 3: los dos límites dependen de $x$.** Halla $\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt$.

**Paso 1.** Divide en una constante: $\int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}$.

**Paso 2.** Deriva cada parte con el TFC 1 y la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt = e^{(2x)^2}\cdot 2 - e^{x^2}\cdot 1 = 2e^{4x^2} - e^{x^2}$$

**Ejemplo 4: un límite inferior con $x$.** Primero intercambia los límites: $\frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2)$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ es $2x\cos(x^2)$, no $\cos(x^2)$.
2. **Sustituir también el límite inferior.** Para $\int_a^x f(t)\,dt$ con $a$ constante, la respuesta es simplemente $f(x)$. El límite inferior constante solo desplaza $F$ en una constante.
3. **Olvidar el signo cuando $x$ está en el límite inferior.** Intercambiar los límites introduce un signo menos.
4. **Intentar integrar primero cuando es imposible.** Integrandos como $e^{t^2}$ no tienen antiderivada elemental, pero el TFC 1 deriva la integral al instante.

## Por qué importa el TFC 1

El TFC 1 demuestra que toda función continua tiene una antiderivada, a saber, $\int_a^x f(t)\,dt$. Ese hecho es lo que hace funcionar la [parte 2 del TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2), que convierte las integrales definidas en una simple resta. También define funciones importantes como $\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$. Para ver la historia completa de las dos partes, lee la [guía del Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus), y consulta las [sumas de Riemann](/blog/riemann-sums) para la definición de integral en la que se apoya.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el primer teorema fundamental del cálculo?

Si $f$ es continua y $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, entonces $F'(x) = f(x)$. La derivada de la función de área acumulada es la función original.

### ¿Cómo se deriva una integral con x en el límite superior?

Sustituye $t$ en el integrando por el límite superior. Si el límite superior es $g(x)$ en lugar de $x$, multiplica además por $g'(x)$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$.

### ¿Y si los dos límites de integración contienen x?

Divide la integral en una constante, o usa la fórmula $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x)$.

### ¿Cuál es la diferencia entre la parte 1 y la parte 2 del TFC?

La parte 1 deriva una integral: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. La parte 2 calcula una integral definida con una antiderivada: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.