# Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2: cálculo de integrales

> TFC parte 2: la integral definida de f de a a b es F(b) − F(a) para cualquier antiderivada F. Enunciado, gráfica, un contraejemplo clave y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/teoremas/teorema-fundamental-del-calculo-parte-2
Actualizado: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

## De un vistazo

- **También llamado:** Regla de Barrow, fórmula de Newton-Leibniz, teorema de evaluación
- **Hipótesis:** $f$ es continua en $[a, b]$, y $F$ es cualquier antiderivada de $f$ en ese intervalo ($F' = f$)
- **Conclusión:** $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Notación:** $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$
- **Forma de cambio neto:** $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Curso:** Cálculo 1

## Ideas clave

- Para calcular $\int_a^b f(x)\,dx$, halla cualquier antiderivada $F$ y calcula $F(b) - F(a)$.
- La $+ C$ se cancela en la resta, así que puedes omitirla.
- $f$ debe ser continua en todo el intervalo $[a, b]$. Una discontinuidad infinita en el interior hace que la fórmula dé resultados absurdos.
- La integral de una tasa de cambio es el cambio neto: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

El **Teorema Fundamental del Cálculo, parte 2** (TFC 2), también llamado regla de Barrow o teorema de evaluación, dice que una integral definida se puede calcular hallando una antiderivada y restando sus valores en los extremos del intervalo. Sustituye el límite de sumas de Riemann por una sola línea de álgebra.

## Enunciado del TFC, parte 2

Supongamos que

1. $f$ es **continua** en $[a, b]$, y
2. $F$ es **cualquier antiderivada** de $f$ en $[a, b]$, es decir, $F'(x) = f(x)$.

Entonces

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

El lado derecho se escribe a menudo como $\big[F(x)\big]_a^b$ o $F(x)\Big|_a^b$.

## Qué significa el TFC 2

La integral definida suma $f(x)\,dx$ a lo largo del intervalo. Si $f$ es la tasa de cambio de $F$, sumar todos los pequeños cambios $F'(x)\,dx$ da el cambio total de $F$, que es $F(b) - F(a)$. Este es el **teorema del cambio neto**: integra la velocidad para obtener el desplazamiento, integra un caudal para obtener el volumen total.

```graph
title: 'TFC parte 2: el área bajo y = sin(x) de 0 a π es igual a 2'
caption: 'Con la antiderivada $F(x) = -\cos x$, el área sombreada es $F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 2$.'
x: [-0.5, 3.6]
y: [-0.5, 1.4]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin(x)
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
vertical:
  - {x: 3.14159, label: 'x = π'}
```

## Por qué importa la continuidad

Considera $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$. Una antiderivada de $x^{-2}$ es $-\frac{1}{x}$, y aplicar la fórmula a ciegas da

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Pero $\frac{1}{x^2} > 0$ en todas partes, así que su integral no puede ser negativa. El error: $\frac{1}{x^2}$ no es continua en $[-1, 1]$ porque se dispara en $x = 0$, así que el TFC 2 no se aplica. Tratada correctamente como una [integral impropia](/blog/improper-integrals), diverge a $\infty$. Comprueba siempre si hay discontinuidades dentro del intervalo antes de sustituir.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un polinomio.** Calcula $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$.

**Paso 1.** Una antiderivada es $F(x) = x^2 + x$.

**Paso 2.** $F(3) = 9 + 3 = 12$ y $F(1) = 1 + 1 = 2$.

**Paso 3.** $\int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10$.

Comprobación con geometría: la región es un trapecio con lados paralelos $f(1) = 3$ y $f(3) = 7$ y anchura $2$, así que su área es $\frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10$.

**Ejemplo 2: una integral trigonométrica.** Calcula $\int_0^\pi \sin x\,dx$.

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$

Es el área bajo un arco de la curva del seno, que se muestra en la gráfica de arriba.

**Ejemplo 3: un logaritmo.** Calcula $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

$\frac{1}{x}$ es continua en $[1, e]$, y una antiderivada es $\ln x$. Así que

$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

**Ejemplo 4: cambio neto.** Un depósito se llena a razón de $r(t) = 3t^2$ litros por minuto. Entre $t = 1$ y $t = 2$ minutos, el volumen aumenta en

$$\int_1^2 3t^2\,dt = \big[t^3\big]_1^2 = 8 - 1 = 7 \text{ liters}$$

## Errores comunes

1. **Restar en el orden equivocado.** Es $F(b) - F(a)$, primero el límite superior.
2. **Quitar los paréntesis.** Con $F(x) = x^2 - 3x$, escribe $F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a)$. Si pierdes los paréntesis, cambian los signos.
3. **Ignorar las discontinuidades.** Como se vio arriba, un integrando que se dispara dentro de $[a, b]$ requiere las técnicas de integrales impropias.
4. **Confundir área con área con signo.** El TFC 2 da el área con signo: las regiones por debajo del eje $x$ cuentan como negativas. Para el área total, divide donde $f$ cambia de signo, como en el [área entre curvas](/blog/area-between-curves).

## Cómo se relaciona el TFC 2 con el TFC 1

La [parte 1 del TFC](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) dice que $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ es una antiderivada de $f$. Cualquier otra antiderivada difiere de $G$ en una constante (una consecuencia del [Teorema del Valor Medio](/theorems/mean-value-theorem)), así que $F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt$. Esa es toda la demostración de la parte 2.

Para hallar antiderivadas, consulta [antiderivadas](/blog/antiderivatives) y [sustitución (cambio de variable)](/blog/u-substitution). Para ver las dos partes del teorema con más ejemplos, lee la [guía del Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el segundo teorema fundamental del cálculo?

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F$ es cualquier antiderivada de $f$, entonces $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Una integral definida se puede calcular con una antiderivada en lugar de con un límite de sumas de Riemann.

### ¿Por qué no hace falta la +C en una integral definida?

Si usas $F(x) + C$, el resultado es $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. La constante se cancela, así que cualquier antiderivada da la misma respuesta.

### ¿Puede el teorema fundamental del cálculo dar una respuesta incorrecta?

Solo si ignoras su hipótesis. Para $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ el cálculo ingenuo da $-2$, algo imposible con un integrando positivo. El integrando no es continuo en $0$, así que el teorema no se aplica y la integral en realidad diverge.

### ¿Se usa la parte 1 o la parte 2 del teorema fundamental del cálculo para calcular integrales?

La parte 2. La parte 1 trata de derivar una integral con un límite variable, mientras que la parte 2 es la fórmula $F(b) - F(a)$ que se usa para calcular integrales definidas.