# AP Calculus unité 1 : révision des limites et de la continuité

> Révision de l'unité 1 d'AP Calculus AB et BC : limites par graphes, tableaux et calcul, théorème des gendarmes, continuité, asymptotes et TVI, avec exercices.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-1-limites-et-continuite
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** 10–15 %
- **Poids à l'examen BC:** 5–10 %
- **Idées clés:** Limites, continuité, asymptotes, théorème des valeurs intermédiaires
- **BC uniquement:** Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 1
- **Avant:** L'unité 2, la définition de la dérivée
- **S'entraîner ici:** [Analyse 1 : limites](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit)

## À retenir

- L'unité 1 compte pour 10 à 15 pour cent de l'examen AB et 5 à 10 pour cent de l'examen BC, avec les mêmes notions dans les deux.
- Une limite décrit la valeur dont la fonction s'approche, pas la valeur qu'elle prend : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$ alors que la fonction n'est pas définie en 3.
- Une fonction est continue en $c$ quand $f(c)$ existe, que la limite existe et que $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
- Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, mais seulement si $f$ est continue sur $[a, b]$.

**L'unité 1 d'AP Calculus, limites et continuité (Limits and Continuity)**, est la base de tout le cours. Une limite demande vers quelle valeur se dirige une fonction quand $x$ se rapproche d'un nombre. Toutes les notions suivantes, de la dérivée à l'intégrale en passant par les séries, sont définies à l'aide d'une limite : une unité 1 solide rend donc tout le reste plus facile.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | 10–15 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |

## Ce que couvre l'unité 1

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| Limites et notation | Le sens de $\lim_{x \to c} f(x) = L$, et les limites à gauche et à droite | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) |
| Limites à partir de graphes et de tableaux | Lire une limite quand la formule n'est pas donnée | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) |
| Limites par le calcul | Substitution directe et opérations sur les limites | [Substitution directe](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution) |
| Transformations algébriques | Factoriser et utiliser la quantité conjuguée pour lever $\frac{0}{0}$ | [Factoriser une forme 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) |
| Théorème des gendarmes | Encadrer une fonction entre deux autres | [Théorème des gendarmes](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem) |
| Types de discontinuités | Discontinuités effaçables, sauts et discontinuités infinies | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity) |
| Continuité | En un point, sur un intervalle, et prolongement par continuité | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity) |
| Limites infinies | Asymptotes verticales et comportement à gauche et à droite | [Limites à gauche, à droite et infinies](/learn/calculus-1/limits/one-sided-and-infinite-limits) |
| Limites à l'infini | Asymptotes horizontales et comportement aux bornes | [Limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) |
| Théorème des valeurs intermédiaires | Prouver l'existence d'une valeur ou d'une racine | [Théorème des valeurs intermédiaires](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem) |

## Les idées clés

**Une limite concerne les valeurs voisines.** La fonction $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ n'est pas définie en $x = 3$, mais pour tout autre $x$ elle vaut $x + 3$. Donc quand $x$ tend vers 3, $f(x)$ tend vers 6. La courbe est une droite avec un trou.

```graph
title: 'y = (x² − 9)/(x − 3) a un trou en x = 3'
caption: 'La fonction vaut $x + 3$ partout sauf en $x = 3$, donc $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ alors que $f(3)$ n''existe pas.'
x: [-1, 6]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: x + 3
    label: y = (x² − 9)/(x − 3)
points:
  - [3, 6, 'trou en (3, 6)']
```

**Une limite n'existe que si les deux côtés concordent.** Si la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, la limite n'existe pas. C'est la raison la plus fréquente pour laquelle une limite n'existe pas à l'examen.

**La continuité a trois conditions.** $f$ est continue en $x = c$ quand $f(c)$ est définie, que $\lim_{x \to c} f(x)$ existe et que les deux sont égales. Dans les questions à réponse rédigée, citez les trois. Une discontinuité effaçable (un trou) se corrige en redéfinissant un seul point. Les sauts et les discontinuités infinies, non.

**Les asymptotes sont des limites.** Une asymptote verticale en $x = a$ signifie que $f(x) \to \pm\infty$ quand $x \to a$. Une asymptote horizontale $y = L$ signifie que $f(x) \to L$ quand $x \to \pm\infty$. Pour les fonctions rationnelles, comparez les degrés du numérateur et du dénominateur.

**Le TVI exige la continuité.** Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $f(c) = k$ pour un certain $c$ dans $(a, b)$. Lisez l'énoncé complet sur la page du [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem), et consultez le [théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) et les [opérations sur les limites](/rules/limit-laws).

## Exemples de questions

**1. Une limite de la forme $\frac{0}{0}$ (sans calculatrice).** La substitution directe donne $\frac{0}{0}$, donc factorisez :

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$$

**2. Une limite à l'infini.** Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 2, donc la limite est le quotient des coefficients dominants :

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{5x^2 - 2x} = \frac{3}{5}$$

**3. Rendre une fonction continue.** Soit $f(x) = kx + 1$ pour $x < 2$ et $f(x) = x^2$ pour $x \ge 2$. La limite à gauche en 2 vaut $2k + 1$ et la limite à droite vaut $4$. Elles coïncident quand $2k + 1 = 4$, donc $k = \frac{3}{2}$.

**4. Le théorème des valeurs intermédiaires.** Montrez que $f(x) = x^3 + x - 1$ a une racine dans $(0, 1)$. La fonction est un polynôme, donc elle est continue sur $[0, 1]$. Comme $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$, le TVI garantit l'existence d'un $c$ dans $(0, 1)$ tel que $f(c) = 0$.

## Comment réviser l'unité 1

- **Essayez d'abord la substitution directe.** Si elle donne un nombre, c'est terminé. Ne passez à l'algèbre que si vous obtenez $\frac{0}{0}$.
- **Entraînez-vous à lire des limites sur des graphes.** Regardez vers où se dirige la courbe de chaque côté, pas le point plein.
- **Rédigez entièrement les justifications de continuité.** Donnez la valeur de la fonction, la limite, et dites qu'elles sont égales. Les correcteurs cherchent les trois.
- **Dites « continue » chaque fois que vous utilisez le TVI.** Oublier la condition de continuité coûte un point dans les réponses rédigées.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices sur le calcul de limites](/practice-problems/evaluating-limits), les [exercices sur les limites à l'infini](/practice-problems/limits-at-infinity) et les [exercices sur la continuité](/practice-problems/continuity), tous avec solutions complètes. Le guide [comment calculer une limite](/blog/how-to-evaluate-limits) réunit toutes les méthodes au même endroit.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 1 d'AP Calculus ?

L'unité 1 construit la notion de limite. Vous estimez des limites à partir de graphes et de tableaux, vous les calculez par l'algèbre et le théorème des gendarmes, vous classez les discontinuités, vous reliez les limites aux asymptotes verticales et horizontales, et vous utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

### Quelle part de l'examen AP représente l'unité 1 ?

L'unité 1 représente 10 à 15 pour cent de la note du QCM en AP Calculus AB et 5 à 10 pour cent en AP Calculus BC. La continuité et les limites apparaissent aussi dans les questions à réponse rédigée, par exemple pour justifier l'usage du théorème des valeurs intermédiaires.

### L'unité 1 est-elle différente en AB et en BC ?

Non. Les notions sont identiques. Le BC lui donne moins de poids à l'examen parce qu'il doit aussi couvrir deux unités supplémentaires sur les courbes paramétrées et les séries.

### Faut-il connaître la règle de L'Hôpital dans l'unité 1 ?

Non. La règle de L'Hôpital arrive dans l'unité 4. Dans l'unité 1, on calcule les limites par substitution directe, factorisation, quantité conjuguée, identités trigonométriques, théorème des gendarmes et comparaison des degrés pour les limites à l'infini.