# AP Calculus BC unité 10 : révision des suites et des séries

> Révision de l'unité 10 d'AP Calculus BC : critères de convergence, majorations d'erreur, séries de Taylor et de Maclaurin, rayon et intervalle de convergence.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-10-suites-et-series
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** Absente de l'examen AB
- **Poids à l'examen BC:** 15–20 %
- **Idées clés:** Critères de convergence, polynômes de Taylor, majorations d'erreur, séries entières
- **BC uniquement:** Toute l'unité
- **Après:** L'unité 9, fonctions paramétriques, polaires et vectorielles
- **S'entraîner ici:** [Analyse 2 : suites et séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums)

## À retenir

- L'unité 10 est propre au BC et compte pour 15 à 20 pour cent de l'examen BC, à égalité pour la plus grande part de toutes les unités du BC.
- Une série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ converge vers $\frac{a}{1 - r}$ quand $|r| < 1$ et diverge sinon.
- La série de Taylor de $f$ en $x = a$ est $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$.
- Deux majorations d'erreur : celle des séries alternées utilise le premier terme omis, et celle de Lagrange utilise $\frac{M}{(n + 1)!}|x - a|^{n+1}$.

**L'unité 10 d'AP Calculus, suites et séries (Infinite Sequences and Series)**, est la seconde unité propre au BC et la plus importante. Elle pose une question surprenante : peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ? Parfois, oui. Elle utilise ensuite cette idée pour écrire des fonctions comme $e^x$ et $\sin x$ sous forme de polynômes infinis, ce qui est la façon dont les calculatrices les calculent réellement.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | absente de l'examen AB | 15–20 % (BC uniquement) |
| Notions en plus | aucune | toute l'unité est propre au BC |

## Ce que couvre l'unité 10

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| Séries convergentes et divergentes | Sommes partielles et sens de la convergence | [Séries et sommes partielles](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) |
| Séries géométriques | $\sum ar^n = \frac{a}{1 - r}$ pour $\lvert r\rvert < 1$ | [Séries géométriques](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) |
| Critère du terme général | Si $a_n \not\to 0$, la série diverge | [Critère du terme général](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) |
| Critère de l'intégrale, série harmonique et séries de Riemann | $\sum \frac{1}{n^p}$ converge seulement quand $p > 1$ | [Critère de l'intégrale et séries de Riemann](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) |
| Critères de comparaison | Comparaison directe et par passage à la limite | [Critères de comparaison](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) |
| Critère des séries alternées | Des termes décroissants qui tendent vers 0 | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Critère de d'Alembert | Utiliser $\lim \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert$ | [Critères de d'Alembert et de Cauchy](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) |
| Convergence absolue et semi-convergence | Savoir si $\sum \lvert a_n\rvert$ converge aussi | [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) |
| Majoration de l'erreur pour une série alternée | L'erreur est au plus le premier terme omis | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Polynômes de Taylor | Approcher une fonction près d'un point | [Polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) |
| Majoration de Lagrange | Majorer l'erreur d'une approximation de Taylor | [Estimer avec Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) |
| Rayon et intervalle de convergence | Le critère de d'Alembert plus l'étude des bornes | [Séries entières et rayon](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) |
| Séries de Taylor et de Maclaurin | Construire les séries de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\frac{1}{1 - x}$ | [Séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |
| Représenter des fonctions par des séries entières | Substituer, dériver et intégrer des séries | [Séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |

## Les idées clés

**Une série converge quand ses sommes partielles se stabilisent.** Si $S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N$ tend vers une limite finie, la série converge vers cette limite. Que les termes tendent vers 0 est nécessaire mais pas suffisant : la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ a des termes qui tendent vers 0, et pourtant elle diverge.

**Chaque critère correspond à une forme.** Le [critère du terme général](/rules/nth-term-test) ne prouve que la divergence. La [formule de la série géométrique](/rules/geometric-series-formula) donne une somme exacte. Le [critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) traite les factorielles et les exponentielles. Le [critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) exige des termes qui décroissent vers 0.

**Les polynômes de Taylor collent à une fonction près d'un point.** Le polynôme de Taylor de degré $n$ coïncide avec $f$ et ses $n$ premières dérivées en $x = a$. Plus de termes donnent une meilleure approximation sur un intervalle plus large.

```graph
title: 'cos x et son polynôme de Maclaurin de degré 4'
caption: 'Le polynôme $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ est presque exactement $\cos x$ près de 0 et s''en éloigne quand $|x|$ augmente.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 3]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: 1 - x^2/2 + x^4/24
    label: P₄(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24
    dashed: true
```

**Les séries entières convergent sur un intervalle.** Utilisez le critère de d'Alembert pour trouver le rayon $R$, puis étudiez chaque borne séparément, car le critère ne dit rien en ces points. Pour aller plus loin, lisez les guides sur les [critères de convergence](/blog/convergence-tests), les [séries entières](/blog/power-series) et les [séries de Taylor](/blog/taylor-series), ainsi que la page sur le [théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem).

## Exemples de questions

**1. Série géométrique.** $\sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n$ a pour premier terme $a = 3$ et pour raison $r = \frac{1}{2}$, donc elle converge vers $\frac{3}{1 - 1/2} = 6$.

**2. Critère de d'Alembert.** Pour $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3n} = \frac{1}{3} < 1$$

donc la série converge.

**3. Erreur pour une série alternée.** La série harmonique alternée $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ converge vers $\ln 2$. Les quatre premiers termes donnent $\frac{7}{12} \approx 0.583$, et l'erreur est au plus le terme suivant, $\frac{1}{5}$. L'erreur réelle vaut environ $0.110$.

**4. Intervalle de convergence.** Pour $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$, le critère de d'Alembert donne $|x| < 1$. En $x = 1$, c'est la série harmonique, qui diverge. En $x = -1$, c'est la série harmonique alternée, qui converge. L'intervalle est $[-1, 1)$.

**5. Majoration de Lagrange.** Le polynôme de Maclaurin de degré 2 de $e^x$ donne $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$. Toutes les dérivées de $e^x$ valent $e^x$, qui est inférieur à 3 sur $[0, 0.1]$, donc

$$\text{erreur} \le \frac{3}{3!}(0.1)^3 = 0.0005$$

La vraie valeur est $e^{0.1} \approx 1.105171$, donc l'erreur vaut environ $0.00017$.

## Comment réviser l'unité 10

- **Faites un organigramme des critères.** Décidez dans quel ordre vous testez le terme général, la série géométrique, les séries de Riemann, les séries alternées, d'Alembert et la comparaison, puis entraînez-vous à choisir vite.
- **Étudiez toujours les bornes.** La question à réponse rédigée sur l'intervalle de convergence donne un point par borne, et elles se comportent souvent différemment.
- **Apprenez quatre séries de Maclaurin par cœur.** $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\frac{1}{1 - x}$ couvrent la plus grande partie de l'examen dès que vous savez y substituer.
- **Écrivez la majoration d'erreur en entier.** Montrez $M$, la factorielle et la puissance, pas seulement un nombre.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices sur les critères de convergence](/practice-problems/convergence-tests), les [exercices sur les séries entières](/practice-problems/power-series) et les [exercices sur les séries de Taylor](/practice-problems/taylor-series), tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), ou comparez les deux cours avec le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 10 d'AP Calculus ?

L'unité 10 cherche à savoir quand une somme infinie donne un nombre fini. Vous apprenez les critères de la série géométrique, du terme général, de l'intégrale, des séries de Riemann, de comparaison, des séries alternées et de d'Alembert, puis vous utilisez les polynômes de Taylor et les séries entières pour approcher des fonctions et majorer l'erreur.

### L'unité 10 est-elle au programme de l'AP Calculus AB ?

Non. L'unité 10 n'existe qu'en AP Calculus BC, où elle représente 15 à 20 pour cent de la note du QCM. Il y a aussi presque toujours une question complète à réponse rédigée sur les séries de Taylor et l'intervalle de convergence.

### Quel critère de convergence utiliser ?

Commencez par le critère du terme général pour écarter la divergence. Regardez ensuite la forme : les séries géométriques et de Riemann ont leurs propres règles, des signes alternés suggèrent le critère des séries alternées, et des factorielles ou des puissances comme $3^n$ suggèrent le critère de d'Alembert. Les critères de comparaison conviennent aux termes qui ressemblent à une série connue.

### Quelles séries de Maclaurin faut-il connaître par cœur ?

Apprenez les séries de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\frac{1}{1 - x}$. Beaucoup de questions d'examen construisent de nouvelles séries à partir de celles-ci par substitution, dérivation ou intégration terme à terme.