# AP Calculus unité 2 : révision des bases de la dérivation

> Révision de l'unité 2 d'AP Calculus AB et BC : dérivée par la définition, dérivabilité, dérivée d'une puissance, d'un produit, d'un quotient et trigonométrie.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-2-derivation-definition-proprietes
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** 10–15 %
- **Poids à l'examen BC:** 5–10 %
- **Idées clés:** La dérivée comme limite, la dérivabilité, les règles de dérivation de base
- **BC uniquement:** Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 2
- **Avant:** L'unité 3, la dérivation en chaîne, les fonctions implicites et réciproques
- **S'entraîner ici:** [Analyse 1 : la dérivée](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition)

## À retenir

- L'unité 2 compte pour 10 à 15 pour cent de l'examen AB et 5 à 10 pour cent de l'examen BC, avec les mêmes notions dans les deux.
- La dérivée est une limite de taux d'accroissement : $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
- Dérivable implique continue, mais continue n'implique pas dérivable : $|x|$ a un point anguleux en 0.
- L'unité se termine par les règles essentielles : puissance, somme, multiple constant, produit, quotient, et les dérivées de $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $e^x$ et $\ln x$.

**L'unité 2 d'AP Calculus, la dérivation : définition et propriétés fondamentales (Differentiation: Definition and Fundamental Properties)**, introduit la dérivée. Elle part d'une question : à quelle vitesse une grandeur varie-t-elle à un instant donné ? La réponse est une limite de taux de variation moyens, et à la fin de l'unité vous savez calculer la plupart des dérivées avec quelques règles rapides au lieu d'une limite.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | 10–15 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |

## Ce que couvre l'unité 2

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| Taux moyen et instantané | Pentes des sécantes, et ce qui se passe quand l'intervalle rétrécit | [Taux de variation instantané](/learn/calculus-1/the-derivative/instantaneous-rate-of-change) |
| Définir la dérivée | La définition par la limite et les notations $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ | [La définition par la limite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) |
| Estimer une dérivée | À partir de graphes et de tableaux de valeurs | [Taux de variation moyen](/learn/calculus-1/the-derivative/average-rate-of-change) |
| Dérivabilité et continuité | Points anguleux, points de rebroussement, tangentes verticales et sauts | [Dérivabilité](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) |
| Règle de la puissance | $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | [Règle de la puissance](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) |
| Somme, différence, constantes | Dériver terme à terme | [Somme et constantes](/learn/calculus-1/derivative-rules/sum-and-constant-rules) |
| $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$ | Les premières dérivées de fonctions non polynomiales | [Dérivées trigonométriques](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) |
| Règle du produit | $(fg)' = f'g + fg'$ | [Règle du produit](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) |
| Règle du quotient | $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ | [Règle du quotient](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule) |
| $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$ | Obtenues avec la règle du quotient | [Dérivées trigonométriques](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) |

## Les idées clés

**La dérivée est la pente de la tangente.** Le taux de variation moyen de $f$ sur $[x, x + h]$ est la pente d'une sécante. Quand $h \to 0$, la sécante devient la tangente :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

```graph
title: 'La tangente à y = x² en x = 3'
caption: 'La dérivée $f''(3) = 6$ est la pente de la tangente $y = 6x - 9$, qui touche la courbe en $(3, 9)$.'
x: [-1, 5]
y: [-2, 18]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 6x - 9
    label: y = 6x − 9
    dashed: true
points:
  - [3, 9, '(3, 9)']
```

**La dérivée est aussi un taux.** Si $s(t)$ est une position, $s'(t)$ est une vitesse. Si $V(t)$ est un volume en litres et $t$ est en minutes, $V'(t)$ est en litres par minute. Les unités permettent de vérifier n'importe quelle réponse.

**Dérivable signifie lisse.** Si $f$ est dérivable en $c$, elle est continue en $c$. La réciproque est fausse : $|x|$ est continue en 0 mais a un point anguleux, donc les pentes à gauche et à droite ($-1$ et $1$) ne concordent pas.

**Les règles remplacent la limite.** Travaillez la [règle de la puissance](/rules/power-rule), la [règle du produit](/rules/product-rule) et la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) jusqu'à ce qu'elles deviennent automatiques. Apprenez ensuite par cœur les six dérivées trigonométriques, ainsi que $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ et $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.

## Exemples de questions

**1. Utiliser la définition par la limite.** Pour $f(x) = x^2$ :

$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$$

**2. Estimer à partir d'un tableau.** Une fonction vérifie $f(1) = 5$ et $f(3) = 11$. La meilleure estimation de $f'(2)$ est le taux de variation moyen sur $[1, 3]$ :

$$f'(2) \approx \frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$$

**3. Règle du produit.** $\frac{d}{dx}\left(x^2 \sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x$.

**4. Règle du quotient.** $\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right) = \frac{x e^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$.

**5. Reconnaître une dérivée.** La limite $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - 1}{h}$ est la dérivée de $\ln x$ en $x = e$, car $\ln e = 1$. La réponse est $\frac{1}{e}$.

## Comment réviser l'unité 2

- **Repérez les dérivées cachées.** Quand une limite a la forme $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$, identifiez $f$ et $a$, puis dérivez. Cela tombe à presque tous les examens.
- **Donnez toujours les unités.** « La dérivée vaut 3 » perd le point de contexte. « La température augmente de 3 degrés par minute à $t = 2$ » le gagne.
- **Connaissez les cas de non-dérivabilité.** Dessinez un point anguleux, un point de rebroussement, une tangente verticale et un saut jusqu'à savoir les repérer sur un graphe.
- **Entraînez-vous sur les règles.** Utilisez le [catalogue des dérivées](/derivatives) et le [formulaire d'analyse](/formulas) pour vérifier votre travail.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices sur la dérivée par la définition](/practice-problems/limit-definition-of-the-derivative), les [exercices sur la règle de la puissance](/practice-problems/power-rule) et les [exercices sur les règles du produit et du quotient](/practice-problems/product-and-quotient-rules), tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 2 d'AP Calculus ?

L'unité 2 définit la dérivée comme limite de taux de variation moyens, apprend à l'estimer à partir de graphes et de tableaux, relie la dérivabilité à la continuité, et construit les règles de base pour les puissances, sommes, produits, quotients, fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmes.

### Quelle part de l'examen AP représente l'unité 2 ?

L'unité 2 représente 10 à 15 pour cent de la note du QCM en AP Calculus AB et 5 à 10 pour cent en AP Calculus BC. Les règles de cette unité servent dans presque toutes les questions suivantes, donc son poids réel est bien plus élevé.

### Faut-il utiliser la définition par la limite à l'examen AP ?

Il faut savoir la reconnaître. Une question fréquente présente une limite comme $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi/3 + h) - \sin(\pi/3)}{h}$ et demande sa valeur. C'est la dérivée de $\sin x$ en $\pi/3$, soit $\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$.

### Quand une fonction n'est-elle pas dérivable ?

Une fonction n'est pas dérivable en un point où elle est discontinue, où elle a un point anguleux ou un point de rebroussement, ou une tangente verticale. L'exemple classique est $|x|$ en $x = 0$.