# AP Calculus unité 3 : dérivation en chaîne et implicite

> Révision de l'unité 3 d'AP Calculus AB et BC : dérivation en chaîne, dérivation implicite, dérivées des réciproques et des arcs, dérivées d'ordre supérieur.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-3-composees-implicites-reciproques
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** 5–10 %
- **Poids à l'examen BC:** 5–10 %
- **Idées clés:** Dérivation en chaîne, dérivation implicite, fonctions réciproques, dérivées secondes
- **BC uniquement:** Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 3
- **Avant:** L'unité 4, les dérivées en contexte, et l'unité 5, l'étude de fonctions
- **S'entraîner ici:** [Analyse 1 : règles de dérivation](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general)

## À retenir

- L'unité 3 compte pour 5 à 10 pour cent des examens AB et BC, mais la règle de dérivation en chaîne qu'elle enseigne sert dans presque toutes les unités suivantes.
- La règle de dérivation en chaîne : $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$. Dérivez la fonction extérieure, gardez l'intérieur, multipliez par la dérivée de l'intérieur.
- Si $g$ est la réciproque de $f$ et $f(a) = b$, alors $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.
- La dérivation implicite traite $y$ comme une fonction de $x$, donc chaque terme en $y$ reçoit un facteur $\frac{dy}{dx}$.

**L'unité 3 d'AP Calculus, dérivation des fonctions composées, implicites et réciproques (Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions)**, complète la boîte à outils des règles de dérivation. La dérivation en chaîne permet de dériver une fonction à l'intérieur d'une autre. La dérivation implicite traite les courbes qui ne s'écrivent pas sous la forme $y = f(x)$. Les fonctions réciproques ont leur propre formule de dérivation. C'est une unité courte, mais vous l'utiliserez tous les jours jusqu'à la fin du cours.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | 5–10 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |

## Ce que couvre l'unité 3

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| La dérivation en chaîne | Dériver $f(g(x))$ | [Dérivation en chaîne : cas général](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) |
| Dérivation en chaîne avec puissances et trigonométrie | $(3x + 1)^5$, $\sin(x^2)$, $\cos^3 x$ | [Dérivation en chaîne : puissances](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) |
| Dérivation en chaîne avec exponentielles | $e^{x^2}$, $\ln(\sin x)$ | [Dérivation en chaîne : exponentielles](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials) |
| Dérivation implicite | Trouver $\frac{dy}{dx}$ pour $x^2 + y^2 = 25$ | [Dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |
| Dériver une fonction réciproque | $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ quand $f(a) = b$ | [Dérivée d'une réciproque](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives) |
| Fonctions trigonométriques réciproques | Dérivées de $\arcsin x$, $\arctan x$ et des autres | [Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) |
| Choisir la méthode | Trouver la bonne règle pour une expression mixte | [Entraînement sur les règles de dérivation](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |
| Dérivées d'ordre supérieur | $f''(x)$, y compris les dérivées secondes implicites | [Entraînement sur les règles de dérivation](/learn/calculus-1/derivative-rules/derivative-rules-practice) |

## Les idées clés

**La dérivation en chaîne va de l'extérieur vers l'intérieur.** Pour $y = f(g(x))$ :

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Dérivez la fonction extérieure en laissant l'intérieur tel quel, puis multipliez par la dérivée de l'intérieur. Lisez la page complète sur la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) pour une démonstration et d'autres variantes.

**La dérivation implicite donne la pente sur une courbe.** Dérivez les deux membres par rapport à $x$. Chaque fois que vous dérivez un terme en $y$, multipliez par $\frac{dy}{dx}$. Isolez ensuite $\frac{dy}{dx}$.

```graph
title: 'Tangente à x² + y² = 25 en (3, 4)'
caption: 'La dérivation implicite donne $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, donc la pente en $(3, 4)$ vaut $-\frac{3}{4}$.'
x: [-6, 8]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: moitié supérieure de x² + y² = 25
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: moitié inférieure
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: tangente y = −(3/4)x + 25/4
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Les fonctions réciproques inversent la pente.** Si $f$ et $g$ sont réciproques l'une de l'autre, leurs courbes sont symétriques par rapport à $y = x$, donc les pentes aux points correspondants sont inverses. Voir la [dérivée de la fonction réciproque](/rules/inverse-function-rule).

**Les dérivées secondes arrivent ensuite.** La dérivée seconde $f''(x)$ est le taux de variation de $f'(x)$. Dans l'unité 4, elle devient l'accélération et dans l'unité 5, elle renseigne sur la convexité.

## Exemples de questions

**1. Dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = \cos(x^3)\cdot 3x^2 = 3x^2\cos(x^3)$.

**2. Dérivation implicite.** Pour $x^2 + y^2 = 25$, dérivez les deux membres :

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

En $(3, 4)$, la pente vaut $-\frac{3}{4}$.

**3. Une dérivée seconde implicite.** Dérivez $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ avec la règle du quotient et substituez :

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} = -\frac{25}{y^3}$$

**4. Fonction réciproque à partir de valeurs.** Soit $f(x) = x^3 + x$ et $g$ sa réciproque. Comme $f(1) = 2$ et $f'(x) = 3x^2 + 1$ :

$$g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$$

**5. Fonction trigonométrique réciproque et dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}\cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

## Comment réviser l'unité 3

- **Nommez la fonction intérieure à voix haute.** Avant de dériver, dites quelle est la fonction intérieure. La plupart des erreurs de dérivation en chaîne viennent d'un oubli de multiplier par sa dérivée.
- **Simplifiez les dérivées secondes implicites.** Après avoir dérivé deux fois, remplacez $\frac{dy}{dx}$ et utilisez l'équation de départ pour simplifier, comme dans l'exemple 3.
- **Entraînez-vous sur les réciproques avec des tableaux.** Trouvez d'abord la ligne où $f(a) = b$. Les élèves remplacent souvent $b$ dans $f'$ par erreur.
- **Mélangez les règles.** Les vraies questions d'examen combinent la dérivation en chaîne avec la règle du produit ou du quotient. Faites des séries mixtes, pas une règle à la fois.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices sur la dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule), les [exercices sur la dérivation implicite](/practice-problems/implicit-differentiation) et les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives), tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 3 d'AP Calculus ?

L'unité 3 étend les règles de dérivation aux fonctions composées avec la dérivation en chaîne, aux courbes comme les cercles avec la dérivation implicite, aux fonctions réciproques et aux fonctions trigonométriques réciproques, ainsi qu'aux dérivées secondes et d'ordre supérieur.

### Quelle part de l'examen AP représente l'unité 3 ?

L'unité 3 représente 5 à 10 pour cent de la note du QCM en AP Calculus AB comme en BC. La dérivation en chaîne apparaît dans les taux de variation liés, le changement de variable, les équations différentielles et les séries, donc elle compte bien plus que son poids officiel.

### Comment dériver une fonction réciproque à l'examen AP ?

En général, vous n'avez pas de formule pour la réciproque. Trouvez l'antécédent $a$ tel que $f(a) = b$, puis utilisez $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$. Les tableaux de valeurs de $f$ et $f'$ sont un format très courant pour cette question.

### Quelles dérivées des fonctions trigonométriques réciproques faut-il connaître ?

Apprenez $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ et $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$. Le programme mentionne aussi $\arccos$, $\operatorname{arccot}$, $\operatorname{arcsec}$ et $\operatorname{arccsc}$, mais arcsinus et arctangente sont de loin les plus fréquentes.