# AP Calculus unité 5 : révision de l'étude de fonctions

> Révision de l'unité 5 d'AP Calculus AB et BC : accroissements finis, extremums, sens de variation, convexité, tracé de courbes et optimisation.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-5-applications-analytiques-derivation
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** 15–20 %
- **Poids à l'examen BC:** 10–15 %
- **Idées clés:** Théorème des accroissements finis, extremums, tests de la dérivée première et seconde, optimisation
- **BC uniquement:** Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 5
- **Avant:** L'unité 6, l'intégration et l'accumulation
- **S'entraîner ici:** [Analyse 1 : applications de la dérivée](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points)

## À retenir

- L'unité 5 compte pour 15 à 20 pour cent de l'examen AB, à égalité pour la plus grande part, et 10 à 15 pour cent de l'examen BC.
- Le théorème des accroissements finis : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, il existe $c$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- $f$ admet un maximum local là où $f'$ passe du positif au négatif, et un minimum local là où $f'$ passe du négatif au positif.
- Pour trouver un extremum global sur un intervalle fermé, comparez $f$ en chaque point critique et aux deux bornes.

**L'unité 5 d'AP Calculus, applications analytiques de la dérivation (Analytical Applications of Differentiation)**, apprend à lire une fonction à travers ses dérivées. La dérivée première indique où une fonction monte et descend. La dérivée seconde indique comment elle se courbe. Ensemble, elles permettent de trouver les maximums et les minimums, ce qui est tout l'enjeu de l'optimisation. C'est l'une des plus grosses unités de l'examen AB.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | 15–20 % | 10–15 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |

## Ce que couvre l'unité 5

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| Théorème des accroissements finis | Le taux moyen est égal au taux instantané en un certain point | [Approximation affine et accroissements finis](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) |
| Théorème des bornes atteintes et points critiques | Quand les extremums existent forcément, et où les chercher | [Points critiques](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points) |
| Croissance et décroissance | Utiliser le signe de $f'$ | [Croissance et décroissance](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Test de la dérivée première | Extremums locaux à partir des changements de signe de $f'$ | [Croissance et décroissance](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Test des candidats | Extremums globaux sur un intervalle fermé | [Extremums globaux](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) |
| Convexité | Utiliser le signe de $f''$, et les points d'inflexion | [Dérivée seconde](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Test de la dérivée seconde | Classer un point critique avec $f''$ | [Dérivée seconde](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Tracer $f$, $f'$ et $f''$ | Passer d'un graphe à l'autre | [Entraînement sur les applications](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice) |
| Optimisation | Construire et maximiser une fonction à partir d'un énoncé | [Optimisation](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) |
| Relations implicites | Tangentes horizontales et verticales sur des courbes comme les cercles | [Dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |

## Les idées clés

**Le théorème des accroissements finis garantit une pente égale.** Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, au moins un point a une tangente parallèle à la sécante. Lisez les pages sur le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) et le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem) pour les conditions exactes.

**$f'$ donne le sens de variation, $f''$ donne la forme.** $f' > 0$ signifie croissante et $f' < 0$ décroissante. $f'' > 0$ signifie convexe et $f'' < 0$ concave. Un point d'inflexion est un point où $f''$ change de signe.

```graph
title: 'f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2'
caption: 'Les points critiques sont $x = -1$ (maximum local) et $x = 3$ (minimum local). La convexité change en $x = 1$.'
x: [-3, 5]
y: [-30, 15]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 2
    label: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2
points:
  - [-1, 7, 'maximum local (−1, 7)']
  - [3, -25, 'minimum local (3, −25)']
  - [1, -9, 'inflexion (1, −9)']
```

**L'optimisation, ce sont des extremums avec un énoncé.** Écrivez la grandeur à maximiser ou minimiser en fonction d'une seule variable, trouvez ses points critiques, et justifiez que votre réponse est un maximum ou un minimum, avec le test de la dérivée première, celui de la dérivée seconde ou le test des candidats.

## Exemples de questions

**1. Théorème des accroissements finis.** Pour $f(x) = x^2$ sur $[1, 3]$, le taux de variation moyen vaut $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$. Poser $f'(c) = 2c = 4$ donne $c = 2$, qui est bien dans l'intervalle.

**2. Extremums locaux.** Pour $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ :

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$$

$f'$ passe du positif au négatif en $x = -1$, donc $f(-1) = 7$ est un maximum local. Elle passe du négatif au positif en $x = 3$, donc $f(3) = -25$ est un minimum local. Comme $f''(x) = 6x - 6$ change de signe en $x = 1$, il y a un point d'inflexion en $(1, -9)$.

**3. Test des candidats.** Sur $[-2, 4]$, examinez les bornes et les points critiques : $f(-2) = 0$, $f(-1) = 7$, $f(3) = -25$ et $f(4) = -18$. Le maximum global vaut 7 en $x = -1$ et le minimum global vaut $-25$ en $x = 3$.

**4. Optimisation.** Un agriculteur dispose de 100 m de clôture pour fermer un rectangle le long d'une rivière, en ne clôturant que trois côtés. Avec une largeur $x$, l'aire vaut $A(x) = x(100 - 2x)$. Alors $A'(x) = 100 - 4x = 0$ en $x = 25$, et $A''(x) = -4 < 0$, donc c'est un maximum. La meilleure aire est $25 \times 50 = 1250$ m².

## Comment réviser l'unité 5

- **Entraînez-vous avec le graphe de $f'$.** Beaucoup de questions à réponse rédigée ne donnent que $f'$. Lisez la croissance là où $f'$ est au-dessus de l'axe, et la convexité là où $f'$ croît.
- **Justifiez par les changements de signe.** Écrivez « car $f'$ passe du négatif au positif en $x = 3$ ». Les correcteurs veulent la raison, pas seulement la réponse.
- **N'oubliez jamais les bornes.** Sur un intervalle fermé, le maximum global se trouve souvent à une borne.
- **Vérifiez d'abord les hypothèses du théorème des accroissements finis.** Énoncez la continuité et la dérivabilité avant de conclure quoi que ce soit.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices d'optimisation](/practice-problems/optimization), les [exercices sur l'étude de fonctions](/practice-problems/curve-sketching) et les [exercices sur le théorème des accroissements finis](/practice-problems/mean-value-theorem), tous avec solutions complètes. Le guide sur le [tracé de courbes avec les dérivées](/blog/curve-sketching-with-derivatives) rassemble toute l'unité.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) ou le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 5 d'AP Calculus ?

L'unité 5 utilise les dérivées première et seconde pour étudier une fonction. Vous appliquez le théorème des accroissements finis et le théorème des bornes atteintes, trouvez où une fonction croît, décroît et change de convexité, localisez les extremums locaux et globaux, tracez des courbes et résolvez des problèmes d'optimisation.

### Quelle part de l'examen AP représente l'unité 5 ?

L'unité 5 représente 15 à 20 pour cent de la note du QCM en AP Calculus AB et 10 à 15 pour cent en AP Calculus BC. Presque chaque examen contient aussi une question à réponse rédigée qui donne le graphe de $f'$ et demande d'étudier $f$.

### Qu'est-ce que le test des candidats ?

Le test des candidats, aussi appelé méthode de l'intervalle fermé, permet de trouver les extremums globaux sur $[a, b]$. Listez les points critiques à l'intérieur de l'intervalle et les deux bornes, calculez $f$ en chacun, et retenez la plus grande et la plus petite valeur.

### Comment justifier un maximum local à l'examen AP ?

Dites ce que fait $f'$ et où. Par exemple : « $f$ admet un maximum local en $x = -1$ car $f'$ y passe du positif au négatif. » Écrire seulement « $f'(-1) = 0$ » ne rapporte pas le point.