# AP Calculus BC unité 9 : paramétriques, polaires et vecteurs

> Révision de l'unité 9 d'AP Calculus BC : dérivées et longueur d'arc paramétriques, mouvement vectoriel, pentes et aires polaires, avec exemples et exercices.

Source : https://practicecalculus.com/fr/ap-calculus/unite-9-parametriques-polaires-vectorielles
Mis à jour : 2026-11-06

## En bref

- **Poids à l'examen AB:** Absente de l'examen AB
- **Poids à l'examen BC:** 10–15 %
- **Idées clés:** Dérivées paramétriques, longueur d'arc, mouvement dans le plan, aire en polaire
- **BC uniquement:** Toute l'unité
- **Avant:** L'unité 10, suites et séries
- **S'entraîner ici:** [Analyse 2 : paramétriques et polaires](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves)

## À retenir

- L'unité 9 est propre au BC et compte pour 10 à 15 pour cent de l'examen BC.
- Pour une courbe paramétrée, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, et $\frac{d^2y}{dx^2}$ est la dérivée de $\frac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, divisée par $\frac{dx}{dt}$.
- La vitesse scalaire dans le plan vaut $\sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}$, et intégrer la vitesse scalaire donne la distance parcourue.
- L'aire intérieure à une courbe polaire vaut $\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

**L'unité 9 d'AP Calculus, équations paramétriques, coordonnées polaires et fonctions vectorielles (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions)**, est la première des deux unités propres au BC. Elle fait sortir dérivées et intégrales de l'axe des $x$ pour les emmener dans le plan : une particule qui suit une trajectoire, une courbe donnée par son angle et sa distance à l'origine, une position écrite sous forme de vecteur. L'analyse est la même. Ce qui change, c'est la mise en équation.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Poids à l'examen | absente de l'examen AB | 10–15 % (BC uniquement) |
| Notions en plus | aucune | toute l'unité est propre au BC |

## Ce que couvre l'unité 9

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
| --- | --- | --- |
| Équations paramétriques | Pentes $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ et tangentes | [Courbes paramétrées](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Dérivées secondes des équations paramétriques | Convexité d'une courbe paramétrée | [Courbes paramétrées](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Longueur d'arc des courbes paramétrées | $\int_a^b \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$ | [Longueur d'arc en paramétrique](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) |
| Fonctions vectorielles | Dériver $\langle x(t), y(t)\rangle$ | [Mouvement paramétrique](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Intégrer des fonctions vectorielles | La position à partir de la vitesse, composante par composante | [Mouvement paramétrique](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Mouvement dans le plan | Vitesse, vitesse scalaire, accélération et distance parcourue | [Mouvement paramétrique](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Coordonnées polaires et dérivation | Changements de coordonnées, et pentes des courbes polaires | [Pentes en polaire](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) |
| Aire d'une région polaire | $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ pour une courbe | [Aire en polaire](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |
| Aire entre deux courbes polaires | Rayon extérieur au carré moins rayon intérieur au carré | [Aire en polaire](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |

## Les idées clés

**Une courbe paramétrée est une trajectoire parcourue au cours du temps.** $x$ et $y$ dépendent tous deux d'un paramètre $t$. La pente est un rapport de taux :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

```graph
title: 'Le cercle paramétré x = 2cos t, y = 2sin t'
caption: 'Quand $t$ va de 0 à $2\pi$, le point parcourt une fois le cercle $x^2 + y^2 = 4$, dans le sens direct. Sa longueur d''arc de $t = 0$ à $t = \pi$ vaut $2\pi$.'
x: [-3, 3]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: sqrt(4 - x^2)
    label: moitié supérieure (0 ≤ t ≤ π)
    domain: [-2, 2]
  - expr: -sqrt(4 - x^2)
    label: moitié inférieure (π ≤ t ≤ 2π)
    domain: [-2, 2]
    dashed: true
points:
  - [2, 0, 't = 0']
  - [0, 2, 't = π/2']
```

**Les vecteurs regroupent le mouvement.** Si la position est $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$, alors la vitesse est $\vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle$ et l'accélération $\vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle$. La vitesse scalaire est la norme du vecteur vitesse, et la distance totale est l'intégrale de la vitesse scalaire.

**Les courbes polaires utilisent un angle et une distance.** Un point s'écrit $(r, \theta)$ avec $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$. Pour les pentes, dérivez $x$ et $y$ par rapport à $\theta$ et divisez. Pour l'aire, additionnez de fins secteurs :

$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$$

## Exemples de questions

**1. Pente et convexité en paramétrique.** Pour $x = t^2$ et $y = t^3 - 3t$ :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{2t} = \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{t}\right)$$

En $t = 2$, la pente vaut $\frac{9}{4}$. La courbe a des tangentes horizontales en $t = \pm 1$. Pour la convexité, $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)$, donc en $t = 2$ :

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}{4} = \frac{15}{32}$$

**2. Longueur d'arc en paramétrique.** Pour $x = 2\cos t$ et $y = 2\sin t$ sur $[0, \pi]$, $(x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4$, donc la longueur vaut $\int_0^\pi 2\,dt = 2\pi$, la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 2.

**3. Mouvement dans le plan.** Une particule a pour position $\vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle$. Alors $\vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle$ et $\vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle$. En $t = 2$, la vitesse scalaire vaut $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

**4. Aire en polaire.** L'aire intérieure à la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ vaut

$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\left(2\pi + 0 + \pi\right) = \frac{3\pi}{2}$$

en utilisant $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$ et $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

## Comment réviser l'unité 9

- **Divisez deux fois par $\frac{dx}{dt}$.** Ce facteur apparaît dans la dérivée première et de nouveau dans la dérivée seconde. L'oublier dans $\frac{d^2y}{dx^2}$ est l'erreur la plus fréquente de l'unité 9.
- **Traitez les vecteurs composante par composante.** Dérivez, intégrez et ajoutez les positions initiales séparément pour $x$ et pour $y$.
- **Trouvez d'abord les intersections en polaire.** Pour l'aire entre deux courbes polaires, égalez les valeurs de $r$ pour obtenir les bornes en $\theta$, puis utilisez $\frac{1}{2}\int \left(r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2\right)d\theta$.
- **Utilisez la calculatrice quand elle est autorisée.** Beaucoup d'intégrales d'aire polaire et de longueur d'arc n'ont pas de primitive simple, elles figurent donc dans la partie avec calculatrice.
- **Travaillez des séries d'exercices.** Essayez les [exercices sur les courbes paramétrées et polaires](/practice-problems/parametric-and-polar), tous avec solutions complètes.

Pour le plan complet du cours, consultez le [guide AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), ou comparez les deux cours avec le [guide AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.

## Questions fréquentes

### Que contient l'unité 9 d'AP Calculus ?

L'unité 9 étend l'analyse à des courbes qui ne sont pas des graphes de $y = f(x)$. Vous calculez les dérivées première et seconde et la longueur d'arc des courbes paramétrées, étudiez le mouvement avec des fonctions vectorielles, et calculez pentes et aires pour des courbes en coordonnées polaires.

### L'unité 9 est-elle au programme de l'AP Calculus AB ?

Non. L'unité 9 n'existe qu'en AP Calculus BC, où elle représente 10 à 15 pour cent de la note du QCM. Elle apparaît aussi dans les réponses rédigées, en général sous la forme d'une particule se déplaçant dans le plan ou d'une région polaire.

### Quelle est la partie la plus difficile de l'unité 9 ?

La dérivée seconde paramétrique et l'aire en polaire. Pour $\frac{d^2y}{dx^2}$, beaucoup d'élèves oublient de diviser par $\frac{dx}{dt}$. Pour l'aire en polaire, les erreurs fréquentes sont d'oublier le $\frac{1}{2}$ et de prendre de mauvaises bornes en $\theta$.

### Faut-il convertir les courbes polaires en coordonnées cartésiennes ?

Parfois. Utilisez $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$ pour trouver les pentes des courbes polaires. Pour l'aire, restez en polaire et utilisez $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$.