# Approximation affine : estimer avec la tangente et les différentielles > L'approximation affine pas à pas : formule de la tangente, estimation de racines comme √4,1, différentielles, erreur, et estimation par excès ou par défaut. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/approximation-affine Mis à jour : 2026-10-10 ## À retenir - L'approximation affine de $f$ en $a$ est la tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ : elle donne une bonne estimation de $f(x)$ quand $x$ est proche de $a$. - Choisissez $a$ de sorte que $f(a)$ et $f'(a)$ se calculent facilement et exactement, par exemple un carré parfait pour une racine carrée. - Les différentielles disent la même chose dans une autre notation : $dy = f'(x)\,dx$ estime la variation $\Delta y$. - Si $f$ est concave, la tangente est au-dessus de la courbe et l'estimation est par excès ; si elle est convexe, l'estimation est par défaut. Vous avez besoin de $\sqrt{4.1}$, de $\sin(0.1)$ ou de l'erreur sur le volume d'une sphère mesurée, et vous n'avez pas de calculatrice (ou votre examen l'interdit). L'**approximation affine** ramène tout cela à une ligne de calcul en utilisant la tangente à la place de la courbe. C'est aussi l'idée derrière les estimations d'erreur en physique et en ingénierie. ## Qu'est-ce que l'approximation affine ? Zoomez suffisamment sur n'importe quelle courbe régulière, et elle finit par ressembler à une droite. Cette droite, c'est la tangente. L'**approximation affine** consiste à utiliser la tangente en un point $a$ pour estimer la valeur de la fonction aux points voisins. La tangente en $x = a$ s'appelle la **linéarisation** de $f$ en $a$ : $$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ et pour $x$ proche de $a$, $$f(x) \approx L(x)$$ Lisez la formule ainsi : on part de la hauteur connue $f(a)$, puis on avance le long de la tangente de pente $f'(a)$ sur une distance horizontale $x - a$. ```graph title: 'Courbe de y = √x et sa tangente en x = 4, utilisée pour estimer √4,1' caption: 'Au voisinage de $x = 4$, la tangente $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ se distingue à peine de $\sqrt{x}$, donc $L(4.1)$ est une excellente estimation de $\sqrt{4.1}$.' x: [-0.5, 9] y: [-0.5, 3.5] functions: - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: 2 + (x - 4)/4 label: tangente en x = 4 dashed: true points: - [4, 2, '(4, 2)'] ``` Remarquez que la tangente est légèrement au-dessus de la courbe des deux côtés. Ce détail indique si votre estimation est trop grande ou trop petite ; nous y reviendrons plus bas. ## Pourquoi la tangente donne une bonne estimation La dérivée est définie comme une limite de taux d'accroissement : $$f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Donc quand $x$ est proche de $a$, le quotient $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ est proche de $f'(a)$. Multipliez les deux membres par $(x - a)$ et ajoutez $f(a)$ : vous obtenez exactement $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. L'approximation affine n'est rien d'autre que la définition de la dérivée lue à l'envers. Cette propriété des fonctions régulières, paraître droites de près, s'appelle la **linéarité locale**. Cela explique aussi pourquoi l'estimation se dégrade quand on s'éloigne de $a$ : le taux d'accroissement s'écarte de plus en plus de $f'(a)$, et la courbe s'éloigne de la droite. ## Faire une approximation affine en 4 étapes 1. **Choisissez $f$.** Déterminez de quelle fonction provient le nombre, par exemple $f(x) = \sqrt{x}$ pour $\sqrt{4.1}$. 2. **Choisissez un $a$ proche** où $f(a)$ se calcule facilement et exactement. Pour les racines carrées, prenez un carré parfait ; en trigonométrie, un angle comme $0$ ou $\frac{\pi}{6}$. 3. **Calculez $f(a)$ et $f'(a)$** et écrivez $L(x)$. 4. **Remplacez** par la valeur voulue. Tout le savoir-faire est dans l'étape 2. Un bon choix de $a$ rend le calcul trivial et garde l'erreur petite. ## Exemple corrigé 1 : estimer la racine carrée de 4,1 **Étape 1.** Soit $f(x) = \sqrt{x}$. Alors $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. **Étape 2.** Le carré parfait le plus proche de $4.1$ est $4$, donc $a = 4$. **Étape 3.** $f(4) = 2$ et $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Donc $$L(x) = 2 + \tfrac{1}{4}(x - 4)$$ **Étape 4.** On remplace par $x = 4.1$ : $$\sqrt{4.1} \approx L(4.1) = 2 + \tfrac{1}{4}(0.1) = 2.025$$ La vraie valeur est $\sqrt{4.1} = 2.024846\ldots$, donc l'estimation est fausse d'environ $0.00015$. Pas mal pour du calcul mental. ## Exemple corrigé 2 : estimer la racine cubique de 27,3 **Étape 1.** Soit $f(x) = x^{1/3}$, donc $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Étape 2.** $27$ est un cube parfait proche de $27.3$, donc $a = 27$. **Étape 3.** $f(27) = 3$. Pour la pente, $27^{2/3} = 9$, donc $f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}$. La linéarisation est $$L(x) = 3 + \tfrac{1}{27}(x - 27)$$ **Étape 4.** $$\sqrt[3]{27.3} \approx 3 + \frac{0.3}{27} = 3 + \frac{1}{90} \approx 3.01111$$ La vraie valeur est environ $3.01109$. L'estimation est juste à quatre décimales près. ## Exemple corrigé 3 : estimer sin(0,1) et e^0,1 Pour $f(x) = \sin x$ en $a = 0$ : $f(0) = 0$ et $f'(0) = \cos 0 = 1$, donc $L(x) = x$. Par conséquent $$\sin(0.1) \approx 0.1$$ La vraie valeur est $0.09983\ldots$ C'est la célèbre **approximation des petits angles** $\sin x \approx x$ (avec $x$ en radians), utilisée partout en physique, par exemple pour le pendule simple. Pour $f(x) = e^x$ en $a = 0$ : $f(0) = 1$ et $f'(0) = 1$, donc $L(x) = 1 + x$ et $$e^{0.1} \approx 1.1$$ à comparer avec la vraie valeur $1.10517\ldots$ ## Par excès ou par défaut ? Utilisez la convexité La dérivée seconde indique de quel côté de la courbe se trouve la tangente : - Si $f''(a) < 0$ (fonction concave), la courbe passe **sous** la tangente, donc $L(x)$ est une **estimation par excès**. - Si $f''(a) > 0$ (fonction convexe), la courbe passe **au-dessus** de la tangente, donc $L(x)$ est une **estimation par défaut**. Vérifions sur l'exemple 1 : $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$, qui est négative en $x = 4$. Donc $2.025$ doit être trop grand, et c'est bien le cas ($2.025 > 2.02485$). Pour $e^x$, la dérivée seconde est $e^x > 0$, donc $1.1$ est trop petit, ce qui correspond à $1.1 < 1.10517$. > **Astuce :** les sujets d'examen adorent demander « votre estimation est-elle par excès ou par défaut, et pourquoi ? ». La réponse porte toujours sur le signe de $f''$ au voisinage de $a$. ## Différentielles : la même idée dans une autre notation Notons $dx$ une petite variation de $x$. La **différentielle** $dy$ est la variation de hauteur le long de la tangente : $$dy = f'(x)\,dx$$ La vraie variation de la fonction est $\Delta y = f(x + dx) - f(x)$. L'approximation affine dit que, pour $dx$ petit, $$\Delta y \approx dy$$ C'est exactement la linéarisation réécrite : $f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx$. Les différentielles sont surtout utiles quand la question porte sur une **variation** ou une **erreur**, plutôt que sur une valeur. ## Exemple corrigé 4 : erreur sur le volume d'une sphère Le rayon d'une sphère est mesuré à $10$ cm, avec une erreur possible de $\pm 0.1$ cm. Estimez l'erreur maximale sur le volume calculé. **Étape 1. Écrire la formule.** $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. **Étape 2. Prendre la différentielle.** $dV = 4\pi r^2\,dr$. **Étape 3. Remplacer** par $r = 10$ et $dr = 0.1$ : $$dV = 4\pi (10)^2 (0.1) = 40\pi \approx 125.7 \text{ cm}^3$$ **Étape 4. Erreur relative.** Le volume vaut $V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8$ cm³, donc $$\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2\,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\,\frac{dr}{r} = 3(0.01) = 0.03$$ Une erreur de $1\%$ sur le rayon devient une erreur d'environ $3\%$ sur le volume. Le facteur 3 vient de l'exposant de $r^3$, un schéma à retenir. ## Exemple corrigé 5 : comparer dy et la vraie variation Un carré a pour côté $s = 5$ cm. Utilisez les différentielles pour estimer l'augmentation de son aire quand le côté passe à $5.02$ cm, et comparez avec la variation exacte. **Étape 1.** $A = s^2$, donc $dA = 2s\,ds$. **Étape 2.** Avec $s = 5$ et $ds = 0.02$ : $dA = 2(5)(0.02) = 0.2$ cm². **Étape 3. Variation exacte.** $\Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004$ cm². La différentielle ne rate que le minuscule carré du coin, $(ds)^2 = 0.0004$. Imaginez le carré qui grandit : deux fines bandes d'aire $s\,ds$ chacune forment $dA$, et le petit morceau du coin est ce que l'estimation affine néglige. Ce reste est toujours de l'ordre de $(ds)^2$, c'est pourquoi l'approximation est si bonne pour de petites variations. ## Mémo : approximations affines usuelles au voisinage de 0 Elles viennent toutes de $L(x) = f(0) + f'(0)x$ et marchent le mieux pour $x$ petit : | Fonction | Approximation affine au voisinage de $x = 0$ | | ------------- | --------------------------------- | | $\sin x$ | $x$ | | $\tan x$ | $x$ | | $\cos x$ | $1$ | | $e^x$ | $1 + x$ | | $\ln(1 + x)$ | $x$ | | $(1 + x)^k$ | $1 + kx$ | | $\sqrt{1+x}$ | $1 + \frac{x}{2}$ | Les deux dernières sont la même règle. Par exemple, $(1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2$, proche de la vraie valeur $1.219$. ## Erreurs fréquentes avec l'approximation affine 1. **Mal choisir $a$.** Prendre $a = 0$ pour $\sqrt{4.1}$ échoue, car $\sqrt{x}$ n'est même pas dérivable en $0$. Choisissez toujours un point proche où les valeurs sont exactes. 2. **Remplacer $x$ dans la pente.** La pente est le nombre $f'(a)$, pas la fonction $f'(x)$. Dans l'exemple 1, la pente vaut $\frac{1}{4}$, point final. 3. **Oublier le $(x - a)$.** Écrire $L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1)$ n'a aucun sens. On multiplie la pente par la distance à $a$, qui vaut $0.1$. 4. **Travailler en degrés en trigonométrie.** $\sin x \approx x$ ne marche qu'en radians. $\sin(5^\circ)$ vaut environ $0.087$, pas $5$. 5. **Lui faire confiance loin de $a$.** La tangente s'écarte de la courbe quand on s'éloigne de $a$. $\sqrt{9} \approx L(9) = 3.25$ est nettement faux. ## Pourquoi l'approximation affine compte L'approximation affine est plus qu'une astuce pour les racines carrées. C'est grâce à elle que fonctionnent les calculatrices, les formules de physique et les méthodes numériques : la méthode de Newton utilise des tangentes de façon répétée pour résoudre des équations, et les polynômes de Taylor (voir les [séries de Taylor](/blog/taylor-series)) étendent l'idée des droites aux paraboles et au-delà. Elle est aussi liée au [théorème des accroissements finis](/blog/mean-value-theorem), qui garantit qu'une certaine tangente a exactement la pente moyenne. ## Entraînez-vous à estimer avec la tangente Les étapes sont toujours les mêmes : choisir $f$, choisir un $a$ pratique, trouver $f(a)$ et $f'(a)$, puis remplacer. Une douzaine d'exercices suffit généralement pour que cela devienne automatique. La leçon interactive ci-dessous vous donne une correction immédiate pour chaque estimation et vous montre exactement où une pente ou une distance s'est trompée. ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce que l'approximation affine en analyse ? L'approximation affine remplace une courbe par sa tangente au voisinage d'un point. Comme une courbe régulière paraît presque droite quand on zoome, la valeur sur la tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ est très proche de $f(x)$ pour $x$ proche de $a$. ### Comment estimer la racine carrée de 4,1 avec l'analyse ? Prenez $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$, où $f(4) = 2$ et $f'(4) = \frac{1}{4}$. L'approximation affine donne $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$, très proche de la vraie valeur $2.02485\ldots$ ### Approximation affine et linéarisation, est-ce la même chose ? Oui. La linéarisation est la fonction $L(x)$, c'est-à-dire la tangente elle-même. L'approximation affine consiste à utiliser $L(x)$ comme estimation de $f(x)$. Certains manuels parlent aussi d'approximation par la tangente. ### Comment savoir si une approximation affine est une estimation par excès ou par défaut ? Étudiez la convexité avec la dérivée seconde. Si $f''(a) < 0$, la courbe passe sous sa tangente, donc l'estimation est trop grande. Si $f''(a) > 0$, la courbe passe au-dessus de sa tangente, donc l'estimation est trop petite. ### Quelle est la différence entre dy et delta y ? La quantité $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ est la vraie variation de la fonction. La différentielle $dy = f'(x)\,dx$ est la variation le long de la tangente. Pour $dx$ petit, les deux sont presque égales, c'est pourquoi on utilise $dy$ pour estimer $\Delta y$.