# Changement de variable trigonométrique : 3 cas et exemples

> Le changement de variable trigonométrique : lequel des trois choisir, comment construire le triangle de référence et comment revenir à la variable x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/changement-de-variable-trigonometrique
Mis à jour : 2026-09-06

## À retenir

- Posez $x = a\sin\theta$ pour $\sqrt{a^2 - x^2}$, $x = a\tan\theta$ pour $\sqrt{a^2 + x^2}$, et $x = a\sec\theta$ pour $\sqrt{x^2 - a^2}$.
- Chaque changement de variable transforme la racine carrée en une seule fonction trigonométrique grâce à une identité de Pythagore.
- Un triangle rectangle construit à partir du changement de variable permet de réécrire toute expression trigonométrique en $\theta$ en fonction de $x$.
- Essayez d'abord un changement de variable simple : si la dérivée de l'intérieur de la racine est présente, le changement de variable trigonométrique est superflu.

L'intégrale $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ a l'air inoffensive, pourtant le changement de variable classique échoue (il n'y a pas de $x$ hors de la racine pour absorber $du$) et l'intégration par parties ne mène nulle part. Le **changement de variable trigonométrique** élimine complètement la racine carrée en remplaçant $x$ par une fonction trigonométrique, et c'est la méthode standard pour intégrer les expressions contenant $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ et $\sqrt{x^2 - a^2}$.

## Qu'est-ce que le changement de variable trigonométrique ?

Le changement de variable trigonométrique remplace $x$ par $a\sin\theta$, $a\tan\theta$ ou $a\sec\theta$ pour qu'une identité de Pythagore réduise la racine carrée à un seul terme. Par exemple, avec $x = 2\sin\theta$ :

$$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$$

La racine a disparu, et il reste une intégrale trigonométrique. À la fin, on utilise un triangle rectangle pour réécrire la réponse en fonction de $x$.

## Les trois changements de variable trigonométriques

| Expression        | Substitution         | $dx$                              | Identité utilisée                       | La racine devient   |
| ----------------- | -------------------- | --------------------------------- | ----------------------------------- | -------------- |
| $\sqrt{a^2-x^2}$  | $x = a\sin\theta$    | $a\cos\theta\,d\theta$            | $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$     | $a\cos\theta$  |
| $\sqrt{a^2+x^2}$  | $x = a\tan\theta$    | $a\sec^2\theta\,d\theta$          | $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$     | $a\sec\theta$  |
| $\sqrt{x^2-a^2}$  | $x = a\sec\theta$    | $a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$  | $\sec^2\theta-1 = \tan^2\theta$     | $a\tan\theta$  |

Un moyen rapide de s'en souvenir : **moins $x^2$ appelle le sinus, plus appelle la tangente, et $x^2$ moins appelle la sécante** (l'inverse du cosinus).

Ces substitutions s'accompagnent d'intervalles d'angles restreints ($-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ pour le sinus, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ pour la tangente, et $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ pour la sécante quand $x \ge a$). Sur ces intervalles, $\cos\theta$, $\sec\theta$ et $\tan\theta$ sont positifs ou nuls, c'est pourquoi les racines carrées se simplifient sans valeur absolue.

## Les triangles de référence, décrits en mots

Pour revenir à $x$, dessinez un triangle rectangle d'angle $\theta$ et placez deux côtés directement à partir de votre substitution. Le troisième côté vient du théorème de Pythagore, et c'est toujours la racine carrée de l'énoncé.

- **Cas du sinus, $x = a\sin\theta$.** Comme $\sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, placez $x$ sur le côté opposé à $\theta$ et $a$ sur l'hypoténuse. Le côté adjacent vaut $\sqrt{a^2 - x^2}$.
- **Cas de la tangente, $x = a\tan\theta$.** Comme $\tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$, placez $x$ sur le côté opposé et $a$ sur le côté adjacent. L'hypoténuse vaut $\sqrt{a^2 + x^2}$.
- **Cas de la sécante, $x = a\sec\theta$.** Comme $\sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}}$, placez $x$ sur l'hypoténuse et $a$ sur le côté adjacent. Le côté opposé vaut $\sqrt{x^2 - a^2}$.

Une fois le triangle annoté, toute fonction trigonométrique de $\theta$ est un rapport de deux côtés. Par exemple, dans le triangle du sinus, $\cot\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposé}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$.

## La méthode en cinq étapes

1. **Identifiez la forme** et choisissez la substitution dans le tableau.
2. **Substituez** $x$, $dx$ et la racine.
3. **Simplifiez** et calculez l'intégrale trigonométrique en $\theta$.
4. **Construisez le triangle** à partir de votre substitution.
5. **Revenez** à $x$ à l'aide du triangle (et de $\theta = \arcsin\frac{x}{a}$ ou équivalent pour tout $\theta$ seul).

## Exemple corrigé 1 : la substitution par le sinus

Calculez $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}$.

**Étape 1. Identifier la forme.** $\sqrt{9 - x^2}$ est de la forme $\sqrt{a^2 - x^2}$ avec $a = 3$, donc on pose $x = 3\sin\theta$.

**Étape 2. Substituer.** $dx = 3\cos\theta\,d\theta$, $x^2 = 9\sin^2\theta$ et $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$ :

$$\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\sin^2\theta\cdot 3\cos\theta} = \frac19\int \frac{d\theta}{\sin^2\theta} = \frac19\int \csc^2\theta\,d\theta$$

**Étape 3. Intégrer.** $\int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta$, donc le résultat est $-\frac19\cot\theta + C$.

**Étape 4. Construire le triangle.** $\sin\theta = \frac{x}{3}$ : côté opposé $x$, hypoténuse $3$, côté adjacent $\sqrt{9 - x^2}$.

**Étape 5. Revenir à x.** $\cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$, donc

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} = -\frac{\sqrt{9-x^2}}{9x} + C$$

## Exemple corrigé 2 : l'aire d'un quart de disque

Calculez $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

La courbe $y = \sqrt{4 - x^2}$ est le demi-cercle supérieur de rayon 2, donc cette intégrale devrait valoir un quart de l'aire du disque, $\frac14\pi(2)^2 = \pi$. Vérifions-le.

**Étape 1.** On pose $x = 2\sin\theta$, donc $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$.

**Étape 2. Changer les bornes.** Quand $x = 0$, $\sin\theta = 0$, donc $\theta = 0$. Quand $x = 2$, $\sin\theta = 1$, donc $\theta = \frac{\pi}{2}$.

**Étape 3. Substituer.**

$$\int_0^{\pi/2} 2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$$

**Étape 4. Utiliser la formule de linéarisation** $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ :

$$4\int_0^{\pi/2}\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = 2\left[\theta + \tfrac12\sin 2\theta\right]_0^{\pi/2} = 2\left(\tfrac{\pi}{2} + 0\right) - 0 = \pi$$

Comme on a changé les bornes, inutile de revenir à $x$.

```graph
title: 'Quart de disque sous y = √(4 − x²) de x = 0 à x = 2'
caption: 'La région ombrée est un quart de disque de rayon 2, et le changement de variable trigonométrique confirme que $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = \pi$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: sqrt(4-x^2)
    label: y = √(4 − x²)
shade: {expr: sqrt(4-x^2), from: 0, to: 2}
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [2, 0, '(2, 0)']
```

## Exemple corrigé 3 : la substitution par la tangente

Calculez $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$.

**Étape 1.** La forme est $\sqrt{a^2 + x^2}$ avec $a = 2$. On pose $x = 2\tan\theta$.

**Étape 2.** $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ et $\sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta$ :

$$\int \frac{2\sec^2\theta\,d\theta}{2\sec\theta} = \int \sec\theta\,d\theta$$

**Étape 3.** $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$.

**Étape 4. Triangle.** $\tan\theta = \frac{x}{2}$ : côté opposé $x$, côté adjacent $2$, hypoténuse $\sqrt{x^2 + 4}$. Donc $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$.

**Étape 5. Revenir à x.**

$$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2} + \frac{x}{2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) - \ln 2 + C$$

Le $-\ln 2$ est une constante, il s'absorbe donc dans $C$ :

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) + C$$

## Exemple corrigé 4 : la substitution par la sécante

Calculez $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx$ pour $x > 1$.

**Étape 1.** La forme est $\sqrt{x^2 - a^2}$ avec $a = 1$. On pose $x = \sec\theta$ avec $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$.

**Étape 2.** $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ et $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$ :

$$\int \frac{\tan\theta}{\sec\theta}\cdot\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta$$

**Étape 3.** On utilise $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$ :

$$\int(\sec^2\theta - 1)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$

**Étape 4. Triangle.** $\sec\theta = x$ : hypoténuse $x$, côté adjacent $1$, côté opposé $\sqrt{x^2-1}$. Donc $\tan\theta = \sqrt{x^2-1}$, et $\theta = \operatorname{arcsec} x$.

**Étape 5.**

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-1} - \operatorname{arcsec} x + C$$

## Exemple corrigé 5 : revenir à x depuis un angle double

Calculez $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.

**Étape 1.** La forme est $\sqrt{a^2 - x^2}$ avec $a = 1$. On pose $x = \sin\theta$.

**Étape 2.** $dx = \cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$ :

$$\int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \sin^2\theta\,d\theta$$

**Étape 3.** On utilise $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ :

$$\int \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} + C$$

**Étape 4. Réécrire l'angle double.** Le triangle ne donne que des fonctions de $\theta$, pas de $2\theta$, donc on utilise $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ :

$$\frac{\theta}{2} - \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$

**Étape 5. Revenir à x.** Le triangle pour $\sin\theta = x$ a pour côté opposé $x$, pour hypoténuse $1$ et pour côté adjacent $\sqrt{1-x^2}$, donc $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$. Et $\theta = \arcsin x$.

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$

> **Astuce :** dès que votre réponse en $\theta$ contient $\sin 2\theta$ ou $\cos 2\theta$, développez-la avec une formule de l'angle double avant d'utiliser le triangle.

## Passer d'abord à la forme canonique

Si la racine contient un trinôme quelconque, passez à la forme canonique pour retrouver l'une des trois formes. Pour $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}$ :

$$x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$$

On pose $u = x + 1$ (donc $du = dx$). L'intégrale devient $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}$, qui est exactement l'exemple 3 :

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \ln\left(x + 1 + \sqrt{x^2+2x+5}\right) + C$$

## Quand ne pas utiliser le changement de variable trigonométrique

Cherchez toujours d'abord une méthode plus simple. Dans $\int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$, le facteur $x$ est (à une constante près) la dérivée de $9 - x^2$, donc un [changement de variable](/blog/u-substitution) avec $u = 9 - x^2$ donne $-\sqrt{9 - x^2} + C$ en deux lignes. Le changement de variable trigonométrique marcherait, mais c'est le chemin le plus long. De même, une fonction rationnelle sans racine relève généralement de la [décomposition en éléments simples](/blog/partial-fractions).

## Erreurs fréquentes avec le changement de variable trigonométrique

1. **Choisir la mauvaise substitution.** $\sqrt{x^2 - 9}$ demande la sécante, pas le sinus. Regardez attentivement les signes.
2. **Oublier de substituer $dx$.** $dx$ devient $a\cos\theta\,d\theta$ (ou l'expression correspondante), et non $d\theta$.
3. **Laisser la réponse en $\theta$.** Une intégrale indéfinie doit se terminer en $x$. Utilisez le triangle.
4. **Mal annoter le triangle.** Écrivez le rapport de définition ($\sin\theta = \frac{x}{a}$, par exemple) et placez les côtés à partir de lui, plutôt que de mémoire.
5. **Garder les anciennes bornes.** Pour les intégrales définies, convertissez les bornes en valeurs de $\theta$, ou revenez à $x$ avant d'évaluer.

## Entraînez-vous sur les trois cas jusqu'au déclic

Le changement de variable trigonométrique comporte beaucoup d'étapes, mais chaque exercice suit les cinq mêmes. Le moyen le plus rapide de prendre de l'aisance est d'enchaîner plusieurs exercices pour que les triangles deviennent automatiques. La leçon interactive ci-dessous vous donne une correction immédiate pour chaque substitution et vous montre le triangle dès que vous bloquez.

## Questions fréquentes

### Quand utiliser un changement de variable trigonométrique ?

Utilisez-le quand l'intégrande contient $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ ou $\sqrt{x^2 - a^2}$ (ou ces expressions élevées à une puissance) et qu'un changement de variable simple ne marche pas. La substitution élimine la racine carrée grâce à une identité de Pythagore.

### Comment savoir quel changement de variable trigonométrique utiliser ?

Regardez la forme sous la racine. Une constante moins $x^2$ appelle le sinus, une constante plus $x^2$ la tangente, et $x^2$ moins une constante la sécante. Dans chaque cas, l'identité $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ ou $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ fait le travail.

### Comment revenir à x après un changement de variable trigonométrique ?

Dessinez un triangle rectangle qui correspond à votre substitution. Pour $x = a\sin\theta$, le côté opposé vaut $x$, l'hypoténuse vaut $a$, et le côté adjacent vaut $\sqrt{a^2 - x^2}$ d'après le théorème de Pythagore. Lisez ensuite n'importe quelle fonction trigonométrique de $\theta$ comme un rapport de côtés.

### Que faire si l'expression sous la racine n'est pas de la forme a² ± x² ?

Passez d'abord à la forme canonique. Par exemple $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$, donc avec $u = x + 1$ la racine devient $\sqrt{u^2 + 4}$ et vous pouvez poser $u = 2\tan\theta$.

### Le changement de variable trigonométrique, est-ce la même chose qu'un changement de variable classique ?

Les deux changent de variable, mais dans des sens opposés. Dans un changement de variable classique, on pose $u$ égal à une fonction de $x$. Dans un changement de variable trigonométrique, on pose $x$ égal à une fonction de $\theta$, c'est pourquoi il faut un triangle pour revenir à $x$ à la fin.