# Critères de convergence des séries : lequel utiliser et quand

> Tous les critères de convergence des séries avec exemples : terme général, intégrale, Riemann, comparaison, d'Alembert, Cauchy et séries alternées.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/criteres-de-convergence-des-series
Mis à jour : 2026-10-22

## À retenir

- Commencez toujours par le critère du terme général : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge, et c'est terminé.
- Comparez à une série géométrique ou à une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^p}$ (qui converge exactement quand $p > 1$) dès que les termes ressemblent à une puissance de $n$.
- Utilisez le critère de d'Alembert pour les factorielles et les exponentielles, le critère de Cauchy pour les termes élevés à la puissance $n$, et le critère des séries alternées quand les signes alternent.
- Si le critère de d'Alembert ou de Cauchy donne une limite exactement égale à 1, il ne permet pas de conclure. Changez de critère.

Vous avez sous les yeux $\sum \frac{3^n}{n!}$ et vous savez qu'il existe huit critères de convergence différents, mais lequel choisir ? La plupart des exercices sur les séries ne sont pas difficiles une fois le bon critère choisi. Le plus dur, c'est justement de choisir. Ce guide présente chaque **critère de convergence** classique avec un exemple corrigé, puis vous donne un tableau de décision pour choisir rapidement.

## Que signifie la convergence d'une série ?

Une série $\sum a_n$ **converge** si ses sommes partielles $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ tendent vers un nombre fini quand $N \to \infty$. Sinon, elle **diverge**.

La plupart du temps, on ne peut pas calculer la somme exactement (les [séries géométriques](/blog/geometric-series) sont la grande exception). Les critères de convergence répondent à une question plus simple : la somme existe-t-elle ? Chaque critère ci-dessous rend un verdict **converge**, **diverge** ou **ne permet pas de conclure**.

## 1. Le critère du terme général (divergence grossière)

$$\text{Si } \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \text{ (ou si la limite n'existe pas), alors } \sum a_n \text{ diverge.}$$

**Exemple.** $\sum \frac{n}{2n+1}$. Les termes tendent vers $\frac12$, pas vers 0. Additionner une infinité de nombres proches de $\frac12$ ne peut pas donner un total fini, donc la série diverge.

> **Astuce :** ce critère ne peut **jamais** prouver la convergence. Si $a_n \to 0$, le critère ne dit rien et il faut en essayer un autre.

## 2. Les séries géométriques

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n \text{ converge vers } \frac{a}{1-r} \text{ si } |r| < 1, \text{ et diverge si } |r| \ge 1.$$

**Exemple.** $\sum \frac{5}{4^n}$ a pour raison $r = \frac14$, donc elle converge.

## 3. Le critère des séries de Riemann

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ converge si } p > 1 \text{ et diverge si } p \le 1.$$

**Exemples.** $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge ($p = 1.5$). $\sum \frac{1}{\sqrt n}$ diverge ($p = 0.5$). La **série harmonique** $\sum \frac1n$ ($p = 1$) diverge, alors même que ses termes tendent vers 0.

La série harmonique diverge extrêmement lentement. Ses sommes partielles croissent comme $\ln N$ : il faut plus de 12 000 termes rien que pour dépasser 10. Le graphique montre les sommes partielles coincées entre deux courbes logarithmiques, qui tendent toutes les deux vers l'infini.

```graph
title: 'Les sommes partielles de la série harmonique croissent comme ln n'
caption: 'Les sommes partielles $H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n$ (points) sont comprises entre $\ln(n+1)$ et $1 + \ln n$. Les deux bornes croissent sans limite, donc la série harmonique diverge.'
x: [0, 12]
y: [0, 4]
functions:
  - expr: 1 + ln(x)
    label: y = 1 + ln x
    dashed: true
  - expr: ln(x+1)
    label: y = ln(x + 1)
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 1.5, '1.5']
  - [3, 1.8333]
  - [4, 2.0833]
  - [6, 2.45, '2.45']
  - [10, 2.929, '2.93']
```

## 4. Le critère de l'intégrale (comparaison série-intégrale)

Si $f$ est **positive, continue et décroissante** pour $x \ge N$, et si $a_n = f(n)$, alors

$$\sum_{n=N}^\infty a_n \text{ et } \int_N^\infty f(x)\,dx \text{ convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.}$$

**Exemple.** La série $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ converge-t-elle ?

**Étape 1. Vérifier les conditions.** $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ est positive, continue et décroissante pour $x \ge 2$.

**Étape 2. Calculer l'[intégrale impropre](/blog/improper-integrals).** Avec $u = \ln x$, $du = \frac1x\,dx$ :

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^b = \lim_{b\to\infty}\left(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right) = \infty$$

**Étape 3. Conclure.** L'intégrale diverge, donc la série diverge.

C'est aussi du critère de l'intégrale que vient la règle des séries de Riemann : $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ converge exactement quand $p > 1$.

## 5. Le critère de comparaison directe

Supposons que $0 \le a_n \le b_n$ pour tout $n$ assez grand.

- Si $\sum b_n$ converge, alors la plus petite, $\sum a_n$, converge.
- Si $\sum a_n$ diverge, alors la plus grande, $\sum b_n$, diverge.

**Exemple (convergence).** $\sum \frac{1}{n^2 + 5}$. Comme $n^2 + 5 > n^2$, on a $\frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc cette série converge.

**Exemple (divergence).** $\sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}$. Pour $n \ge 3$, $\ln n > 1$, donc $\frac{\ln n}{n} > \frac1n$. La série harmonique diverge, donc cette série diverge.

## 6. Le critère de comparaison par passage à la limite (équivalents)

La comparaison directe exige une inégalité dans le bon sens, ce qui peut être pénible. La comparaison par passage à la limite demande seulement que les termes se comportent de la même façon. Si $a_n, b_n > 0$ et

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \quad \text{avec } 0 < L < \infty,$$

alors $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.

**Exemple.** La série $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$ converge-t-elle ?

**Étape 1. Choisir $b_n$ à partir des termes dominants.** Pour $n$ grand, $\frac{2n+3}{n^3+1}$ se comporte comme $\frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}$. Prenez $b_n = \frac1{n^2}$.

**Étape 2. Calculer la limite.**

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)/(n^3+1)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^3 + 3n^2}{n^3 + 1} = 2$$

**Étape 3. Conclure.** $L = 2$ est strictement positif et fini, et $\sum\frac1{n^2}$ converge, donc la série de départ converge.

## 7. Le critère de d'Alembert

Posons

$$L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$

Si $L < 1$, la série converge (absolument). Si $L > 1$, elle diverge. Si $L = 1$, le critère **ne permet pas de conclure**.

**Exemple.** La série $\sum \frac{3^n}{n!}$ converge-t-elle ?

**Étape 1. Former le rapport.**

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}$$

**Étape 2. Passer à la limite.** $\frac{3}{n+1} \to 0$.

**Étape 3. Conclure.** $L = 0 < 1$, donc la série converge.

Le critère de d'Alembert brille avec les **factorielles** et les **exponentielles**, car presque toute l'expression se simplifie. Il est inutile pour les séries de Riemann et les fractions rationnelles en $n$ : $\sum\frac1n$ et $\sum\frac1{n^2}$ donnent toutes les deux $L = 1$.

## 8. Le critère de Cauchy (règle de la racine)

Posons

$$L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

Les verdicts sont les mêmes que pour le critère de d'Alembert : $L < 1$ converge, $L > 1$ diverge, $L = 1$ ne permet pas de conclure.

**Exemple.** La série $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ converge-t-elle ?

$$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12$$

Comme $L = \frac12 < 1$, la série converge. Utilisez le critère de Cauchy dès que le terme entier est élevé à la puissance $n$.

## 9. Le critère des séries alternées

Une série alternée est de la forme $\sum (-1)^{n+1} b_n$ avec $b_n > 0$. Elle converge si

1. $b_{n+1} \le b_n$ pour tout $n$ assez grand (les valeurs absolues finissent par décroître), et
2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

**Exemple.** La série harmonique alternée $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$ a $b_n = \frac1n$, qui décroît vers 0. Elle converge donc (en fait vers $\ln 2$).

**Majoration du reste.** Pour une série qui vérifie ce critère, s'arrêter après $N$ termes donne une erreur au plus égale au terme suivant : $|S - S_N| \le b_{N+1}$. Par exemple, les 99 premiers termes de la série harmonique alternée donnent $\ln 2$ à moins de $\frac{1}{100}$ près.

### Convergence absolue et semi-convergence

Si $\sum |a_n|$ converge, alors $\sum a_n$ converge aussi. On parle de **convergence absolue**. La série harmonique alternée converge, mais $\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n$ diverge, donc elle n'est que **semi-convergente**. À l'inverse, $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ converge absolument, car $\sum\frac{1}{n^2}$ converge.

## Quel critère de convergence utiliser ?

Parcourez ce tableau depuis le haut. La première ligne qui correspond est en général le chemin le plus rapide.

| Si la série ressemble à...                                  | Essayez ce critère          | Exemple                              |
| ----------------------------------------------------------- | --------------------------- | ------------------------------------ |
| Des termes qui ne tendent clairement pas vers 0             | Terme général (diverge)     | $\sum \frac{n}{2n+1}$                |
| $ar^n$, un rapport constant                                 | Série géométrique           | $\sum \frac{5}{4^n}$                 |
| $\frac{1}{n^p}$                                             | Série de Riemann            | $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$             |
| Une expression rationnelle ou avec des racines en $n$       | Comparaison par passage à la limite avec $\frac{1}{n^p}$ | $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$  |
| Proche d'une série connue, avec une inégalité facile        | Comparaison directe         | $\sum \frac{1}{n^2+5}$               |
| Des factorielles ou $c^n$                                   | Critère de d'Alembert       | $\sum \frac{3^n}{n!}$                |
| Le terme entier élevé à la puissance $n$                    | Critère de Cauchy           | $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ |
| Des signes qui alternent                                    | Critère des séries alternées | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$         |
| Une fonction facile à intégrer, comme $\frac{1}{n\ln n}$    | Critère de l'intégrale      | $\sum \frac{1}{n\ln n}$              |

> **Astuce :** pour trouver la bonne série de Riemann de comparaison, ne gardez que la plus haute puissance de $n$ au numérateur et au dénominateur. $\frac{2n+3}{n^3+1}$ se comporte comme $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$.

## Les erreurs fréquentes avec les critères de convergence

1. **Utiliser le critère du terme général pour prouver la convergence.** $a_n \to 0$ ne prouve rien. La série harmonique est le contre-exemple classique.
2. **Prendre $L = 1$ pour un verdict.** Pour les critères de d'Alembert et de Cauchy, $L = 1$ veut dire qu'il faut changer de critère.
3. **Comparer dans le mauvais sens.** Être plus petite qu'une série divergente, ou plus grande qu'une série convergente, ne dit rien.
4. **Oublier les conditions du critère de l'intégrale.** La fonction doit être positive et décroissante (au moins à partir d'un certain rang).
5. **Confondre la série et la suite.** « Les termes tendent vers 0 » et « la série converge » sont deux affirmations différentes.
6. **Ignorer les valeurs absolues.** Les critères de d'Alembert et de Cauchy utilisent $|a_n|$, et une série alternée peut converger sans converger absolument.

## Entraînez-vous à choisir le bon critère

Reconnaître le critère adapté est une compétence de reconnaissance de motifs, et elle ne devient rapide qu'avec la répétition. Après quelques dizaines de séries, vous verrez $\frac{3^n}{n!}$ et penserez « critère de d'Alembert » avant même d'avoir fini de lire. La leçon interactive ci-dessous mélange des séries de tous les types et vous donne un retour immédiat sur votre choix de critère comme sur votre conclusion.

## Questions fréquentes

### Comment savoir quel critère de convergence utiliser ?

Regardez la forme des termes. Des factorielles ou $c^n$ font penser au critère de d'Alembert, une puissance $n$-ième au critère de Cauchy, une fraction rationnelle en $n$ à une comparaison par passage à la limite avec une série de Riemann, et des signes alternés au critère des séries alternées. Vérifiez toujours d'abord que les termes tendent vers 0.

### Si les termes d'une série tendent vers 0, la série converge-t-elle ?

Pas forcément. La série harmonique $\sum \frac1n$ a des termes qui tendent vers 0, et pourtant elle diverge. Que les termes tendent vers 0 est nécessaire pour la convergence, mais pas suffisant : le critère du terme général ne peut donc prouver que la divergence.

### Quelle est la différence entre convergence absolue et semi-convergence ?

Une série converge absolument si $\sum |a_n|$ converge. Elle est semi-convergente si $\sum a_n$ converge mais que $\sum |a_n|$ diverge. Par exemple, $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ est semi-convergente, tandis que $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ converge absolument.

### Que se passe-t-il quand le critère de d'Alembert donne 1 ?

Le critère ne permet pas de conclure. $\sum \frac1n$ (divergente) et $\sum \frac1{n^2}$ (convergente) donnent toutes les deux une limite du rapport égale à 1, donc cette valeur ne peut pas les distinguer. Essayez plutôt une comparaison, le critère de l'intégrale ou la règle des séries de Riemann.

### Qu'est-ce que le critère des séries de Riemann ?

Une série de Riemann est de la forme $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$. Elle converge quand $p > 1$ et diverge quand $p \le 1$. C'est la série de référence la plus utilisée dans les critères de comparaison.