# Décomposition en éléments simples : décomposer et intégrer

> Les éléments simples pour facteurs du premier degré, facteurs répétés et trinômes irréductibles, la méthode du cache et des intégrales corrigées.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/decomposition-en-elements-simples
Mis à jour : 2026-09-22

## À retenir

- La décomposition en éléments simples découpe une fonction rationnelle en morceaux simples comme $\frac{A}{x-a}$, qui s'intègrent chacun en un logarithme, une puissance ou une arctangente.
- Avant de décomposer, vérifiez que le numérateur est de degré inférieur au dénominateur. Sinon, faites d'abord la division euclidienne.
- Un facteur répété $(x-a)^2$ demande deux termes, $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$, et un trinôme irréductible demande un numérateur du premier degré, $\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$.
- La méthode du cache donne en une ligne la constante associée à chaque facteur du premier degré distinct : on cache ce facteur et on évalue en sa racine.

On peut additionner $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$ pour obtenir $\frac{5x-1}{x^2-x-2}$ en quelques lignes. Mais si une intégrale vous donne $\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx$, aucune règle de base ne s'applique. La **décomposition en éléments simples** fait cette addition à l'envers, en cassant une fraction difficile en morceaux simples que l'on intègre d'un coup d'œil.

## Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples ?

Une **fonction rationnelle** est un polynôme divisé par un autre. La **décomposition en éléments simples** réécrit une fonction rationnelle comme une somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont les facteurs du dénominateur de départ. Par exemple :

$$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$$

Chaque morceau de droite s'intègre en logarithme népérien, donc l'intégrale devient une routine :

$$\int \frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C$$

## Étape 0 : la fraction est-elle propre ?

La décomposition en éléments simples ne fonctionne que si le degré du numérateur est **strictement inférieur** à celui du dénominateur. Sinon, faites d'abord la division euclidienne des polynômes.

Par exemple, $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ a des degrés égaux. La division donne

$$\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1},$$

et seul $\frac{2}{x^2-1}$ doit être décomposé.

## Les formes des éléments simples

Factorisez complètement le dénominateur. Chaque type de facteur apporte son propre type de terme :

| Facteur du dénominateur          | Termes de la décomposition                                           |
| ---------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
| Premier degré distinct $(x-a)$            | $\frac{A}{x-a}$                                                      |
| Premier degré répété $(x-a)^2$          | $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$                                  |
| Premier degré répété $(x-a)^3$          | $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{(x-a)^3}$              |
| Trinôme irréductible $x^2+bx+c$   | $\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$                                        |

Un trinôme est **irréductible** quand il ne se factorise pas dans les réels, c'est-à-dire quand $b^2 - 4c < 0$. Par exemple $x^2 + 1$ et $x^2 + 2x + 5$.

## Cas 1 : facteurs du premier degré distincts

### Exemple corrigé 1

Calculez $\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx$.

**Étape 1. Vérifier que la fraction est propre.** Degré 1 sur degré 2. Parfait.

**Étape 2. Factoriser le dénominateur.** $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

**Étape 3. Écrire la forme.**

$$\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$$

**Étape 4. Chasser les dénominateurs.** On multiplie les deux membres par $(x-2)(x+1)$ :

$$5x - 1 = A(x+1) + B(x-2)$$

**Étape 5. Remplacer par des valeurs pratiques.** En $x = 2$, le terme en $B$ disparaît : $9 = 3A$, donc $A = 3$. En $x = -1$, le terme en $A$ disparaît : $-6 = -3B$, donc $B = 2$.

**Étape 6. Intégrer.**

$$\int \left(\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}\right)dx = 3\ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C$$

```graph
title: 'Courbe de y = (5x − 1)/((x − 2)(x + 1)) avec des asymptotes verticales en x = 2 et x = −1'
caption: 'Chaque facteur du dénominateur donne une asymptote verticale, et chacun devient sa propre fraction simple : $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$.'
x: [-6, 5]
y: [-10, 10]
functions:
  - expr: (5x-1)/((x-2)(x+1))
    label: y = (5x − 1)/((x − 2)(x + 1))
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = −1'}
  - {x: 2, label: 'x = 2'}
```

## La méthode du cache : un raccourci pour les facteurs du premier degré

Pour un **facteur du premier degré distinct** $(x-a)$, il existe un raccourci en une ligne. Cachez ce facteur dans la fraction de départ, puis remplacez $x = a$ dans ce qui reste.

Pour $\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$ :

- Pour trouver $A$ au-dessus de $(x-2)$ : on cache $(x-2)$, il reste $\frac{5x-1}{x+1}$. En $x = 2$ : $\frac{9}{3} = 3$.
- Pour trouver $B$ au-dessus de $(x+1)$ : on cache $(x+1)$, il reste $\frac{5x-1}{x-2}$. En $x = -1$ : $\frac{-6}{-3} = 2$.

Mêmes réponses, presque sans calcul. C'est exactement l'étape 5 faite de tête.

### Exemple corrigé 2 : méthode du cache et division euclidienne

Décomposez $\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}$.

- On cache $(x-1)$ et on évalue $\frac{2}{x+1}$ en $x = 1$ : $A = 1$.
- On cache $(x+1)$ et on évalue $\frac{2}{x-1}$ en $x = -1$ : $B = -1$.

$$\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$$

En combinant avec la division euclidienne de l'étape 0 :

$$\int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx = x + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C = x + \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$$

> **Astuce :** la méthode du cache donne le coefficient de tout facteur du premier degré distinct, et celui de la **plus haute** puissance d'un facteur répété. Pour les puissances inférieures d'un facteur répété et pour les trinômes, utilisez une autre méthode.

### Exemple corrigé 3 : trois facteurs du premier degré distincts

Calculez $\int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx$.

**Étape 1. Factoriser le dénominateur.** On met $x$ en facteur, puis on factorise le trinôme :

$$x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x-1)(x+2)$$

**Étape 2. Écrire la forme.**

$$\frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}$$

**Étape 3. Cacher chaque facteur.**

- On cache $x$ et on évalue $\frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)}$ en $x = 0$ : $\frac{-2}{(-1)(2)} = 1$, donc $A = 1$.
- On cache $(x-1)$ et on évalue $\frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)}$ en $x = 1$ : $\frac{6}{3} = 2$, donc $B = 2$.
- On cache $(x+2)$ et on évalue $\frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)}$ en $x = -2$ : $\frac{-6}{6} = -1$, donc $C = -1$.

**Étape 4. Intégrer.**

$$\int \left(\frac1x + \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2}\right)dx = \ln|x| + 2\ln|x-1| - \ln|x+2| + C$$

Avec trois facteurs du premier degré, résoudre un système d'équations prendrait plusieurs lignes. La méthode du cache demande trois évaluations rapides.

### Exemple corrigé 4 : une intégrale définie

Calculez $\int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx$.

D'après l'exemple 2, $\frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$, donc

$$\int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx = \Big[\ln|x-1| - \ln|x+1|\Big]_2^3 = (\ln 2 - \ln 4) - (\ln 1 - \ln 3)$$

On simplifie avec les propriétés du logarithme : $\ln 2 - \ln 4 = -\ln 2$ et $\ln 1 - \ln 3 = -\ln 3$, donc la valeur est $-\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405$.

Remarquez que l'intervalle $[2, 3]$ reste loin des asymptotes en $x = \pm 1$. Si une borne tombait sur une asymptote, ce serait une [intégrale impropre](/blog/improper-integrals) et il faudrait passer par une limite.

## Deux façons de trouver les constantes

Vous avez maintenant vu les deux méthodes classiques. Il est utile de savoir laquelle est la plus rapide selon le cas.

- **Remplacer par les racines (ou méthode du cache).** Substituez la racine de chaque facteur du premier degré dans l'égalité sans dénominateurs. Chaque substitution annule tous les termes sauf un, et on lit directement une constante. C'est la méthode la plus rapide pour les facteurs du premier degré distincts.
- **Identifier les coefficients.** Développez le membre de droite, regroupez les puissances de $x$, et égalez chaque coefficient au coefficient correspondant à gauche. Cela marche toujours, et c'est la seule option pour les trinômes et pour les puissances inférieures d'un facteur répété.

En pratique, on combine souvent les deux : on remplace par les racines pour obtenir le plus de constantes possible, puis on identifie un ou deux coefficients pour finir.

## Cas 2 : facteurs du premier degré répétés

### Exemple corrigé 5

Calculez $\int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx$.

**Étape 1. Écrire la forme.** Le facteur $(x+1)$ est au carré, il a donc droit à deux termes :

$$\frac{4x}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$

**Étape 2. Chasser les dénominateurs.**

$$4x = A(x+1)^2 + B(x-1)(x+1) + C(x-1)$$

**Étape 3. Remplacer par les racines.** En $x = 1$ : $4 = 4A$, donc $A = 1$. En $x = -1$ : $-4 = -2C$, donc $C = 2$.

**Étape 4. Identifier un coefficient pour la dernière constante.** Les termes en $x^2$ à droite sont $Ax^2 + Bx^2$, et le membre de gauche n'a pas de terme en $x^2$, donc $A + B = 0$ et $B = -1$.

**Étape 5. Intégrer chaque morceau.** Le dernier terme est une puissance, pas un logarithme :

$$\int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}\right)dx = \ln|x-1| - \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C$$

Le terme $(x+1)^{-2}$ s'intègre en $\frac{(x+1)^{-1}}{-1}$, d'où le $-\frac{2}{x+1}$.

## Cas 3 : trinômes irréductibles

### Exemple corrigé 6

Calculez $\int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx$.

**Étape 1. Écrire la forme.** $x^2 + 1$ ne se factorise pas, il a donc droit à un numérateur du premier degré :

$$\frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2+1}$$

**Étape 2. Chasser les dénominateurs et développer.**

$$2x^2 + 2x + 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A$$

**Étape 3. Identifier les coefficients.** Terme constant : $A = 1$. Terme en $x$ : $C = 2$. Terme en $x^2$ : $A + B = 2$, donc $B = 1$.

**Étape 4. Séparer le morceau du trinôme.**

$$\int \left(\frac{1}{x} + \frac{x}{x^2+1} + \frac{2}{x^2+1}\right)dx$$

Le morceau du milieu se traite par [changement de variable](/blog/u-substitution) avec $u = x^2+1$, ce qui donne $\tfrac12\ln(x^2+1)$. Le dernier morceau est une arctangente classique.

**Étape 5. Rassembler.**

$$\int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx = \ln|x| + \tfrac12\ln(x^2+1) + 2\arctan x + C$$

> **Astuce :** si le trinôme ressemble à $x^2 + 2x + 5$, passez à la forme canonique pour obtenir $(x+1)^2 + 4$, puis utilisez $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C$.

## Erreurs fréquentes avec les éléments simples

1. **Sauter la division euclidienne.** Si la fraction n'est pas propre, la forme de la décomposition est fausse et les constantes ne donneront pas de système cohérent.
2. **Ne donner qu'un terme à un facteur répété.** $(x+1)^2$ demande à la fois $\frac{B}{x+1}$ et $\frac{C}{(x+1)^2}$.
3. **Mettre une constante au-dessus d'un trinôme.** Un trinôme irréductible demande $Bx + C$ au numérateur, pas seulement $B$.
4. **Intégrer $\frac{1}{(x+1)^2}$ en logarithme.** C'est une puissance : $-\frac{1}{x+1}$.
5. **Ne pas factoriser complètement.** $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ a trois facteurs du premier degré, pas un facteur du premier degré et un trinôme.
6. **Oublier les valeurs absolues** dans les logarithmes.

## Mémo : intégrer chaque morceau

| Morceau                      | Intégrale                                         |
| -------------------------- | ------------------------------------------------ |
| $\frac{A}{x-a}$            | $A\ln\lvert x-a\rvert + C$                       |
| $\frac{A}{(x-a)^n}$, $n\ge 2$ | $\frac{-A}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C$             |
| $\frac{x}{x^2+a^2}$        | $\tfrac12\ln(x^2+a^2) + C$                       |
| $\frac{1}{x^2+a^2}$        | $\frac1a\arctan\frac{x}{a} + C$                  |

## Faites de la décomposition un réflexe

La décomposition en éléments simples est une procédure, et les procédures s'ancrent par la répétition. Après une douzaine de décompositions, choisir la bonne forme et utiliser la méthode du cache deviendra automatique. Essayez la leçon interactive ci-dessous : elle vérifie chaque constante au fur et à mesure et vous montre exactement où une mise en place s'est trompée.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples ?

C'est l'inverse de l'addition de fractions. Une fonction rationnelle comme $\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}$ est réécrite comme une somme de fractions plus simples, ici $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$, chacune facile à intégrer.

### Quand utiliser la décomposition en éléments simples pour intégrer ?

Utilisez-la pour une fonction rationnelle (un polynôme divisé par un polynôme) dont le dénominateur se factorise et pour laquelle un changement de variable ne marche pas directement. Si le numérateur est déjà la dérivée du dénominateur, un simple changement de variable est plus rapide.

### Que faire si le degré du numérateur est trop élevé ?

Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, commencez par la division euclidienne des polynômes. Vous obtenez un polynôme plus une fraction propre, et seule la fraction propre doit être décomposée.

### Comment fonctionne la méthode du cache ?

Pour un facteur du premier degré distinct $(x-a)$, cachez-le dans la fraction de départ et évaluez ce qui reste en $x = a$. Le résultat est la constante $A$ au-dessus de $(x-a)$. Cela ne marche que pour les facteurs du premier degré non répétés, ou pour la plus haute puissance d'un facteur répété.

### Comment traiter un trinôme irréductible ?

Donnez-lui un numérateur du premier degré : $\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$. Pour l'intégrer, séparez-le en une partie qui s'intègre en logarithme par changement de variable et une partie qui s'intègre en arctangente, en passant à la forme canonique si nécessaire.