# Dérivée de l'exponentielle et du logarithme : e^x, a^x et ln x > Les dérivées de e^x, a^x, ln x et du logarithme de base a, pourquoi e est spécial, et la dérivation logarithmique pour x^x et les produits compliqués. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/derivee-exponentielle-et-logarithme Mis à jour : 2026-10-18 ## À retenir - $e^x$ est sa propre dérivée, et $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. - Pour les autres bases, un logarithme népérien apparaît : $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$ et $\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$. - Avec une fonction intérieure, $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = g'(x)e^{g(x)}$ et $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$. - La dérivation logarithmique (on prend le $\ln$ des deux membres, puis on dérive) est l'outil pour $x^x$ et pour les longs produits et quotients. La règle de la puissance règle le cas de $x^2$, mais elle ne sert à rien pour $2^x$, où la variable se trouve dans l'exposant. Les exponentielles et les logarithmes modélisent la croissance, la décroissance, les intérêts et les demi-vies, donc vous aurez sans cesse besoin de leurs dérivées. Il n'y a que quatre formules à retenir, et elles découlent toutes d'une propriété remarquable du nombre $e$. ## Les quatre formules Une **fonction exponentielle** a la variable dans l'exposant, comme $e^x$ ou $3^x$. Un **logarithme** est sa fonction réciproque, comme $\ln x$ ou $\log_2 x$. Leurs dérivées sont : $$\frac{d}{dx}e^x = e^x \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$ $$\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}$$ Ici $a > 0$, $a \neq 1$, et $\ln$ désigne le logarithme népérien (de base $e$). Remarquez que les deux formules en base $e$ sont le cas particulier $a = e$ des formules générales, car $\ln e = 1$. ## Pourquoi e^x est sa propre dérivée Essayez de dériver une exponentielle quelconque $a^x$ avec la [définition par la limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) : $$\frac{d}{dx}a^x = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$$ La dérivée de $a^x$ est $a^x$ multiplié par une constante. Cette constante est simplement la pente de $a^x$ en $x = 0$. Pour $a = 2$, elle vaut environ $0.693$. Pour $a = 3$, environ $1.099$. Quelque part entre 2 et 3, il existe une base pour laquelle la pente en 0 vaut exactement 1, et cette base est $e \approx 2.71828$. Ainsi, $e$ est *défini* par la propriété qui rend l'analyse si simple : la pente de $e^x$ en chaque point est égale à sa hauteur. Et la mystérieuse constante des autres bases se révèle être $\ln a$, ce qui donne $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$. ```graph title: 'Courbe de y = eˣ et sa tangente y = x + 1 en x = 0' caption: 'La pente de $e^x$ en $x = 0$ vaut exactement 1, et en chaque point la pente est égale à la hauteur $e^x$.' x: [-3, 2.5] y: [-1, 7] functions: - expr: e^x label: y = eˣ - expr: x + 1 label: tangente en x = 0 dashed: true points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1, 2.7183, '(1, e)'] ``` ## Pourquoi la dérivée de ln x est 1/x Posons $y = \ln x$. Cela signifie $e^y = x$. Dérivez les deux membres par rapport à $x$, en utilisant la dérivation en chaîne à gauche (c'est de la [dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation)) : $$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$ Une conséquence élégante : $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ pour tout $x \neq 0$, et c'est pourquoi $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Pour les autres bases, réécrivez avec la formule de changement de base $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Comme $\frac{1}{\ln a}$ est simplement une constante, la dérivée est $\frac{1}{x \ln a}$. ```graph title: 'Courbe de y = ln x avec ses tangentes en x = 1 et x = 4' caption: 'La pente de $\ln x$ vaut $\frac{1}{x}$ : elle vaut 1 en $x = 1$ mais seulement $\frac{1}{4}$ en $x = 4$, donc la courbe continue de monter tout en s''aplatissant.' x: [-0.5, 7] y: [-3, 3] functions: - expr: ln(x) label: y = ln x - expr: x - 1 label: tangente en x = 1 dashed: true - expr: x/4 - 1 + ln(4) label: tangente en x = 4 dashed: true points: - [1, 0, '(1, 0)'] - [4, 1.3863, '(4, ln 4)'] ``` ## Exemple corrigé 1 : e avec une fonction intérieure Dérivez $y = e^{x^2}$. **Étape 1.** Extérieur : $e^u$, dont la dérivée est elle-même, $e^{x^2}$. **Étape 2.** Intérieur : $u = x^2$, de dérivée $2x$. **Étape 3.** Multipliez, d'après la [règle de dérivation en chaîne](/blog/chain-rule) : $$y' = 2x\,e^{x^2}$$ L'exposant reste exactement le même. Seul le facteur $2x$ passe devant. ## Exemple corrigé 2 : une exponentielle d'une autre base Dérivez $y = 5^{3x}$. **Étape 1.** La dérivée de $5^u$ est $5^u \ln 5$, donc la partie extérieure donne $5^{3x}\ln 5$. **Étape 2.** L'intérieur $3x$ a pour dérivée 3. $$y' = 3\ln 5 \cdot 5^{3x}$$ N'utilisez pas la règle de la puissance ici. $3x \cdot 5^{3x-1}$ est faux, car la base est constante et l'exposant variable, ce qui est l'inverse de la situation de la règle de la puissance. ## Exemple corrigé 3 : logarithmes de produits et de composées Dérivez $y = \ln(3x)$ et $y = \log_2(x^2 + 4)$. **Première fonction.** Par la dérivation en chaîne, $y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}$. Cela paraît surprenant jusqu'à ce qu'on utilise une propriété du logarithme : $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$, et $\ln 3$ est une constante. La constante disparaît, il reste $\frac{1}{x}$. **Deuxième fonction.** L'extérieur est $\log_2 u$, de dérivée $\frac{1}{u \ln 2}$. L'intérieur $x^2 + 4$ a pour dérivée $2x$ : $$y' = \frac{2x}{(x^2+4)\ln 2}$$ > **Astuce :** avant de dériver un logarithme, développez-le avec les propriétés du logarithme. $\ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1)$, dont la dérivée $\frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)}$ ne demande aucune règle du produit. ## Ce que signifient ces dérivées : une croissance proportionnelle à la taille La règle $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ traduit un phénomène physique : le taux de variation est proportionnel à la quantité présente. C'est exactement le comportement des populations, des intérêts composés et de la désintégration radioactive. Supposons qu'une culture de bactéries compte $P(t) = 500e^{0.04t}$ cellules après $t$ heures. Alors $$P'(t) = 500 \cdot 0.04\, e^{0.04t} = 20e^{0.04t} = 0.04\,P(t)$$ À chaque instant, la culture croît de 4 % de sa taille actuelle par heure. En $t = 0$, cela fait 20 cellules par heure. Quand la culture a doublé pour atteindre 1000 cellules (en $t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3$ heures), elle croît de 40 cellules par heure. Les grandes populations croissent plus vite, et $e^{kx}$ est la fonction qui traduit parfaitement ce phénomène. Les logarithmes font l'inverse. Comme $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ diminue quand $x$ augmente, $\ln x$ croît indéfiniment mais de plus en plus lentement. C'est pourquoi les échelles logarithmiques (décibels, échelle de Richter, pH) compressent d'immenses plages de valeurs en petits nombres lisibles. ## La dérivation logarithmique Certaines fonctions sont impossibles à dériver avec les règles de base, comme $x^x$, où la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant. D'autres sont possibles mais pénibles, comme un long produit de puissances. La **dérivation logarithmique** règle les deux cas : 1. Écrivez $y = f(x)$ et prenez le $\ln$ des deux membres. 2. Utilisez les propriétés du logarithme pour transformer produits, quotients et puissances en sommes. 3. Dérivez les deux membres. Le membre de gauche devient $\frac{y'}{y}$. 4. Multipliez les deux membres par $y$, puis remplacez par la fonction d'origine $f(x)$. ### Exemple corrigé 4 : la dérivée de x^x Posons $y = x^x$ pour $x > 0$. **Étape 1.** $\ln y = \ln(x^x) = x\ln x$. **Étape 2.** Dérivez. Le membre de droite demande la règle du produit : $$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$ **Étape 3.** Multipliez par $y = x^x$ : $$y' = x^x(\ln x + 1)$$ Vérification en $x = 1$ : $y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1$. La même méthode donne $\frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$. ### Exemple corrigé 5 : un produit et un quotient compliqués Dérivez $y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}}$ pour $x > 1$. **Étape 1. Prendre le logarithme et développer.** $$\ln y = 2\ln x + 3\ln(x+1) - \tfrac{1}{2}\ln(x-1)$$ **Étape 2. Dériver chaque terme.** $$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{2(x-1)}$$ **Étape 3. Multiplier par $y$.** $$y' = \frac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}}\left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{1}{2(x-1)}\right)$$ Faire ce calcul avec la règle du quotient, la règle du produit et deux dérivations en chaîne prendrait une page entière. Les logarithmes l'ont réduit à trois termes faciles. ## Les erreurs fréquentes 1. **Appliquer la règle de la puissance à $a^x$.** $\frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}$. La règle de la puissance ne s'applique qu'à une base variable et un exposant constant. 2. **Oublier $\ln a$.** $\frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3$, et non $3^x$. Seule la base $e$ se passe de ce facteur. 3. **Modifier l'exposant.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}$, et non $e^{2x}$ ni $x^2 e^{x^2 - 1}$. 4. **Écrire $\frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$.** La bonne forme est $\frac{g'(x)}{g(x)}$ : l'intérieur va au dénominateur, sa dérivée au numérateur. 5. **Oublier de multiplier par $y$** à la fin d'une dérivation logarithmique, en laissant la réponse sous la forme $\frac{y'}{y}$. ## Aide-mémoire | Fonction | Dérivée | Avec une fonction intérieure $g(x)$ | | -------------- | ----------------------------- | ----------------------------------- | | $e^x$ | $e^x$ | $g'(x)\,e^{g(x)}$ | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | $g'(x)\,a^{g(x)}\ln a$ | | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | | $\ln\lvert x\rvert$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | | $\log_a x$ | $\frac{1}{x\ln a}$ | $\frac{g'(x)}{g(x)\ln a}$ | | $x^x$ | $x^x(\ln x + 1)$ | utilisez la dérivation logarithmique | ## Prenez l'habitude grâce à l'entraînement Les formules sont courtes, mais les pièges (règle de la puissance sur $2^x$, un $\ln a$ oublié, un exposant modifié) sont faciles à commettre sous la pression d'un examen. La leçon interactive ci-dessous travaille précisément ces points, avec un retour immédiat sur chaque réponse, pour que le bon réflexe devienne automatique avant le jour de l'épreuve. ## Questions fréquentes ### Quelle est la dérivée de e^x ? La dérivée de $e^x$ est $e^x$. C'est la seule fonction exponentielle (à une constante multiplicative près) égale à sa propre dérivée, et c'est précisément pour cela que le nombre $e \approx 2.718$ est si important en analyse. ### Quelle est la dérivée de ln x ? La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$ pour $x > 0$. Plus généralement, $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ pour tout $x \neq 0$. ### Quelle est la dérivée de 2^x ? La dérivée de $2^x$ est $2^x \ln 2$. En général, $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$. Une erreur fréquente consiste à utiliser la règle de la puissance et à écrire $x \cdot 2^{x-1}$, ce qui est faux car la variable est dans l'exposant. ### Quelle est la dérivée de x^x ? Utilisez la dérivation logarithmique. Prenez le $\ln$ des deux membres pour obtenir $\ln y = x\ln x$, dérivez pour obtenir $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, puis multipliez par $y$ : la dérivée est $x^x(\ln x + 1)$. ### Quelle est la dérivée du logarithme décimal de x ? La dérivée de $\log_{10} x$ est $\frac{1}{x \ln 10}$. Tout logarithme est un multiple constant de $\ln x$, puisque $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$, donc sa dérivée est $\frac{1}{x}$ multiplié par cette même constante.