# Dérivée d'une fonction composée : méthode et exemples corrigés > La dérivation en chaîne pas à pas : ce qu'elle dit, pourquoi elle marche, comment repérer l'intérieur, et des exemples avec puissances, trigo, e^x et ln. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/derivee-fonction-composee Mis à jour : 2026-11-03 ## À retenir - La règle de dérivation en chaîne dérive une fonction à l'intérieur d'une autre : $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - On travaille de l'extérieur vers l'intérieur : on dérive la fonction extérieure, on garde l'intérieur intact, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. - Si vous pouvez nommer une fonction intérieure qui n'est pas simplement $x$, il faut la dérivation en chaîne. - L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur. La règle de la puissance règle $x^5$ en une ligne. Mais que faire de $(3x+1)^5$ ? Le développer prendrait une page de calculs. La **règle de dérivation en chaîne** y arrive en une étape, et c'est la règle que vous utiliserez le plus souvent en analyse. Ce guide explique ce que dit la règle de dérivation en chaîne, pourquoi elle fonctionne, comment trouver la fonction « intérieure », et détaille des exemples corrigés à suivre ligne par ligne. ## Ce que dit la règle de dérivation en chaîne Une **fonction composée** est une fonction placée dans une autre, notée $f(g(x))$. On appelle $g$ la fonction **intérieure** et $f$ la fonction **extérieure**. La règle de dérivation en chaîne dit : $$\frac{d}{dx}\, f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ Lisez-la comme une recette : 1. Dérivez la fonction **extérieure**, en laissant l'intérieur exactement tel qu'il est. 2. Multipliez par la dérivée de la fonction **intérieure**. C'est toute la règle. Le reste n'est qu'entraînement à repérer ce qui est à l'intérieur. En notation de Leibniz, si $y = f(u)$ et $u = g(x)$, la même règle s'écrit $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ ce qui ressemble à des fractions qui se simplifient. Ce ne sont pas vraiment des fractions, mais c'est un excellent moyen de s'en souvenir. ## Pourquoi ça marche : les taux se multiplient Imaginez trois engrenages. L'engrenage $u$ fait 3 tours pour chaque tour de l'engrenage $x$. L'engrenage $y$ fait 2 tours pour chaque tour de l'engrenage $u$. Combien de tours fait $y$ pour chaque tour de $x$ ? Six : $2 \cdot 3$. Les dérivées sont des taux de variation, et des taux de variation enchaînés se multiplient exactement de la même façon. C'est tout ce que dit la règle de dérivation en chaîne : le taux de la chaîne entière est le produit des taux de chaque maillon. ```graph title: "La courbe de sin(x²) oscille de plus en plus vite quand x grandit, car la fonction intérieure x² croît de plus en plus vite" caption: "$y = \\sin(x^2)$ ondule de plus en plus vite. Sa pente est $2x\\cos(x^2)$ : le facteur supplémentaire $2x$ vient de la fonction intérieure." x: [-3.2, 3.2] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x^2) label: y = sin(x²) ``` La courbe montre pourquoi l'intérieur compte. Si vous dériviez $\sin(x^2)$ en écrivant simplement $\cos(x^2)$, la pente ne pourrait jamais dépasser 1. Or la courbe devient clairement plus raide à mesure qu'on s'éloigne de 0. C'est le facteur $2x$ venu de l'intérieur qui traduit cela. ## Comment trouver la fonction intérieure Demandez-vous : **qu'est-ce que je calculerais en dernier** si j'évaluais cette expression à la calculatrice ? Cette dernière opération est la fonction extérieure. Ce sur quoi elle agit est l'intérieur. | Fonction | Extérieur | Intérieur | | -------------- | ---------- | --------- | | $(3x+1)^5$ | $u^5$ | $3x + 1$ | | $\sin(x^2)$ | $\sin u$ | $x^2$ | | $e^{4x}$ | $e^u$ | $4x$ | | $\sqrt{x^2+9}$ | $\sqrt{u}$ | $x^2 + 9$ | | $\ln(\cos x)$ | $\ln u$ | $\cos x$ | Un test rapide : si l'intérieur est simplement $x$, vous n'avez pas besoin de la dérivation en chaîne (la dérivée de l'intérieur vaudrait 1). Dès que l'intérieur est quelque chose de plus, il la faut. ## Exemple corrigé 1 : une puissance d'un polynôme Dérivez $y = (3x+1)^5$. **Étape 1. Nommer les morceaux.** Extérieur : $u^5$. Intérieur : $u = 3x+1$. **Étape 2. Dériver l'extérieur, garder l'intérieur.** La dérivée de $u^5$ est $5u^4$, donc on obtient $5(3x+1)^4$. **Étape 3. Multiplier par la dérivée de l'intérieur.** La dérivée de $3x + 1$ est $3$. $$\frac{dy}{dx} = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ Remarquez qu'on n'a jamais développé $(3x+1)^5$. C'est toute la force de la dérivation en chaîne. ## Exemple corrigé 2 : une fonction trigonométrique Dérivez $y = \sin(x^2)$. - Extérieur : $\sin u$, de dérivée $\cos u$. - Intérieur : $u = x^2$, de dérivée $2x$. $$\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ Une erreur fréquente consiste à écrire $\cos(2x)$. L'intérieur reste $x^2$ dans le cosinus. Le $2x$ se place à l'extérieur, en facteur. ## Exemple corrigé 3 : exponentielles et logarithmes Dérivez $y = e^{4x}$. La dérivée de $e^u$ est $e^u$ elle-même, donc la partie extérieure donne $e^{4x}$. L'intérieur $4x$ a pour dérivée $4$ : $$\frac{dy}{dx} = 4e^{4x}$$ Dérivez maintenant $y = \ln(x^2 + 1)$. La dérivée de $\ln u$ est $\frac{1}{u}$, et l'intérieur $x^2+1$ a pour dérivée $2x$ : $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$$ ```graph title: "La courbe de ln(x² + 1) et sa tangente en x = 1" caption: "En $x = 1$, la pente de $\\ln(x^2+1)$ vaut $\\frac{2(1)}{1^2+1} = 1$, donc la tangente est $y = x - 1 + \\ln 2$." x: [-4, 4] y: [-1.5, 3.5] functions: - expr: ln(x^2+1) label: y = ln(x² + 1) - expr: x - 1 + ln(2) label: tangente en x = 1 dashed: true points: - [1, 0.6931, "(1, ln 2)"] ``` ## Exemple corrigé 4 : une racine carrée Dérivez $y = \sqrt{x^2 + 9}$. Réécrivez d'abord la racine comme une puissance : $y = (x^2+9)^{1/2}$. Ensuite : $$\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ Réécrire les racines comme des puissances fractionnaires rend la dérivation en chaîne (et la règle de la puissance) beaucoup plus simple à appliquer. ## Appliquer la dérivation en chaîne plusieurs fois Certaines fonctions ont plusieurs couches, comme un oignon. Épluchez-les une par une de l'extérieur vers l'intérieur, et multipliez toutes les dérivées entre elles. Dérivez $y = \sin^3(2x)$, c'est-à-dire $\left(\sin(2x)\right)^3$. 1. Couche la plus extérieure, le cube : $3\sin^2(2x)$. 2. Couche du milieu, le sinus : $\cos(2x)$. 3. Couche la plus intérieure, $2x$ : $2$. $$\frac{dy}{dx} = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$$ > **Astuce :** dites les couches à voix haute. « Le cube du sinus de deux x. » Puis dérivez dans ce même ordre. ## Dérivation en chaîne et règle du produit Beaucoup de vrais exercices mélangent les règles. Dérivez $y = x^2 \sin(3x)$. C'est un produit, donc on commence par la règle du produit, $(uv)' = u'v + uv'$, et on utilise la dérivation en chaîne à l'intérieur pour $\sin(3x)$ : $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x)$$ La dérivation en chaîne n'est intervenue qu'à un seul endroit : la dérivée de $\sin(3x)$ est $3\cos(3x)$. ## Les erreurs fréquentes avec la dérivation en chaîne Voici les erreurs que notre correcteur rencontre le plus souvent, dans l'ordre : 1. **Oublier la dérivée de l'intérieur.** Écrire $\frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4$. Le facteur $3$ manquant est de loin l'erreur la plus courante avec cette règle. 2. **Modifier l'intérieur.** Écrire $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x)$. L'intérieur reste le même dans la dérivée de l'extérieur. 3. **L'appliquer quand ce n'est pas nécessaire.** $\frac{d}{dx}\sin x$ vaut simplement $\cos x$. Il n'y a pas de facteur supplémentaire, car l'intérieur est simplement $x$. 4. **S'arrêter une couche trop tôt.** Dans $\sin^3(2x)$, on oublie facilement le dernier facteur $2$. Une bonne habitude : une fois fini, comptez vos couches et vérifiez que vous avez bien un facteur dérivé pour chacune. ## Aide-mémoire | Fonction | Dérivée | | ------------- | ---------------------------- | | $(g(x))^n$ | $n(g(x))^{n-1}\, g'(x)$ | | $\sin(g(x))$ | $\cos(g(x))\, g'(x)$ | | $\cos(g(x))$ | $-\sin(g(x))\, g'(x)$ | | $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)}\, g'(x)$ | | $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | | $\sqrt{g(x)}$ | $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ | ## L'entraînement la rend automatique La dérivation en chaîne devient naturelle à force de répétition. Après vingt ou trente exercices, vous repérerez la fonction intérieure sans y penser. Essayez la leçon interactive ci-dessous : chaque question vous donne un retour immédiat, vous indique précisément quel facteur vous avez oublié et détaille la solution pas à pas. ## Questions fréquentes ### Que dit la règle de dérivation en chaîne, en termes simples ? Pour dériver une fonction placée à l'intérieur d'une autre, on prend la dérivée de la fonction extérieure (sans toucher à l'intérieur) et on la multiplie par la dérivée de l'intérieur. En symboles, $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ### Comment savoir quand utiliser la dérivation en chaîne ? Utilisez-la dès que quelque chose d'autre que $x$ tout seul se trouve à l'intérieur d'une fonction : dans une puissance, une racine, une fonction trigonométrique, une exponentielle ou un logarithme. Par exemple $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ et $e^{4x}$ demandent la dérivation en chaîne, mais pas $x^5$, $\sin x$ ni $e^x$. ### Quelle est la différence entre la dérivation en chaîne et la règle du produit ? La règle du produit sert pour deux fonctions multipliées entre elles, comme $x^2 \sin x$. La dérivation en chaîne sert pour une fonction à l'intérieur d'une autre, comme $\sin(x^2)$. Certaines fonctions demandent les deux, comme $x^2 \sin(3x)$. ### Peut-on appliquer la dérivation en chaîne plusieurs fois ? Oui. S'il y a plusieurs couches, comme dans $\sin^3(2x)$, on l'applique une fois par couche et on multiplie toutes les dérivées, en allant de l'extérieur vers l'intérieur. ### Pourquoi la dérivation en chaîne fonctionne-t-elle ? Les taux de variation se multiplient. Si $u$ varie 3 fois plus vite que $x$, et $y$ varie 2 fois plus vite que $u$, alors $y$ varie $2 \cdot 3 = 6$ fois plus vite que $x$. En notation de Leibniz, cela donne $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.