# Dérivées partielles : notations, interprétation et exemples corrigés > Calculer des dérivées partielles, les lire comme pentes de traces, trouver les dérivées secondes, et le théorème de Schwarz sur les dérivées croisées. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/derivees-partielles Mis à jour : 2026-09-02 ## À retenir - Pour trouver $\frac{\partial f}{\partial x}$, on considère toutes les autres variables comme des constantes et on dérive par rapport à $x$ avec les règles habituelles. - Géométriquement, $f_x(a, b)$ est la pente de la courbe obtenue en coupant la surface $z = f(x, y)$ par le plan $y = b$. - Une fonction $f(x, y)$ a quatre dérivées partielles secondes : $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ et $f_{yx}$. - Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) : si les dérivées croisées sont continues, alors $f_{xy} = f_{yx}$, ce qui permet de vérifier vos calculs. Une fonction comme $f(x, y) = x^2 y + y^3$ dépend de deux entrées à la fois, donc « la dérivée » n'est plus un seul nombre. Si l'on modifie un peu $x$, la sortie varie d'une certaine façon. Si l'on modifie un peu $y$, elle varie autrement. Les dérivées partielles mesurent chacun de ces taux séparément, et la bonne nouvelle, c'est que vous connaissez déjà toutes les règles nécessaires. Ce guide présente ce que signifient les dérivées partielles, leurs notations, comment les calculer (y compris avec la dérivation en chaîne), comment les lire comme des pentes sur une surface, et les dérivées secondes avec le théorème de Schwarz. ## Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ? La **dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$** est le taux de variation de $f$ quand $x$ varie et que toutes les autres variables sont fixées. Pour une fonction de deux variables, elle est définie par une limite, comme une dérivée ordinaire : $$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$$ $$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$$ Une seule variable bouge dans chaque limite. C'est toute l'idée : on fige les autres et on prend une dérivée normale. ## Notations des dérivées partielles Vous rencontrerez plusieurs notations équivalentes pour la même chose : | Signification | Indice | Leibniz | Opérateur | | --- | --- | --- | --- | | taux dans la direction de $x$ | $f_x$ | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | $\partial_x f$ | | taux dans la direction de $y$ | $f_y$ | $\frac{\partial f}{\partial y}$ | $\partial_y f$ | | valeur en un point | $f_x(a, b)$ | $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)}$ | | Si $z = f(x, y)$, on voit aussi $\frac{\partial z}{\partial x}$ ou $z_x$. ## Comment calculer des dérivées partielles La règle d'or : **toutes les variables sauf celle par rapport à laquelle on dérive sont des constantes.** Ainsi $y^3$, $5y$ et $\sin y$ se comportent tous comme des nombres quand on calcule $\frac{\partial}{\partial x}$. ### Exemple corrigé 1 : un polynôme Trouvez $f_x$ et $f_y$ pour $f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x$. **Étape 1. Dériver par rapport à $x$, en gardant $y$ constant.** - $3x^2 y$ : la constante $3y$ suit, et $x^2$ devient $2x$, ce qui donne $6xy$. - $y^3$ : pas de $x$ du tout, c'est donc une constante et sa dérivée vaut $0$. - $-4x$ : dérivée $-4$. $$f_x = 6xy - 4$$ **Étape 2. Dériver par rapport à $y$, en gardant $x$ constant.** - $3x^2 y$ : la constante $3x^2$ suit, et $y$ devient $1$, ce qui donne $3x^2$. - $y^3$ : dérivée $3y^2$. - $-4x$ : pas de $y$, donc $0$. $$f_y = 3x^2 + 3y^2$$ ### Exemple corrigé 2 : avec la dérivation en chaîne Trouvez $f_x$ et $f_y$ pour $f(x, y) = \sin(x^2 y)$. La fonction extérieure est $\sin u$ et la fonction intérieure est $u = x^2 y$, donc la [règle de dérivation en chaîne](/blog/chain-rule) s'applique exactement comme pour une variable. **Étape 1. Par rapport à $x$.** La dérivée de l'intérieur est $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$. $$f_x = \cos(x^2 y) \cdot 2xy = 2xy\cos(x^2 y)$$ **Étape 2. Par rapport à $y$.** La dérivée de l'intérieur est $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$. $$f_y = x^2\cos(x^2 y)$$ ### Exemple corrigé 3 : un logarithme et trois variables Trouvez $\frac{\partial f}{\partial x}$ pour $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$, puis $g_z$ pour $g(x, y, z) = x y^2 z^3$. **Étape 1.** Pour le logarithme, on dérive $\ln u$ en $\frac{1}{u}$ et on multiplie par $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$ : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **Étape 2.** Avec trois variables, rien ne change : on fixe $x$ et $y$ et on dérive $z^3$. $$g_z = 3x y^2 z^2$$ ## Ce que signifie une dérivée partielle : la pente des traces Le graphe de $z = f(x, y)$ est une surface. Coupez-la par le plan vertical $y = b$ et vous obtenez une courbe, appelée **trace**, qui ne dépend que de $x$ : $z = f(x, b)$. La dérivée partielle $f_x(a, b)$ est la **pente de cette courbe** en $x = a$. Prenons le dôme $f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2$ au point $(1, 1)$, où $f(1, 1) = 3$. **Étape 1. Couper par $y = 1$.** La trace est $z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2$. **Étape 2. Dériver.** $f_x = -2x$, donc $f_x(1, 1) = -2$. La trace descend avec une pente $-2$ quand $x$ augmente. **Étape 3. Tangente dans la coupe.** $z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x$. ```graph title: 'La trace z = 4 − x² de la surface z = 6 − x² − 2y² dans le plan y = 1, de pente −2 en x = 1' caption: 'Couper $z = 6 - x^2 - 2y^2$ en $y = 1$ donne $z = 4 - x^2$. Sa tangente en $x = 1$ a pour pente $f_x(1, 1) = -2$. L''axe vertical est ici $z$.' x: [-3, 3.5] y: [-2, 6] functions: - expr: 4 - x^2 label: trace z = f(x, 1) = 4 − x² - expr: 5 - 2x label: tangente, pente f_x(1, 1) = −2 dashed: true points: - [1, 3, '(1, 3)'] ``` En coupant dans l'autre sens, par $x = 1$, on obtient la trace $z = 5 - 2y^2$. Sa pente en $y = 1$ vaut $f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4$. En ce point, le dôme descend donc deux fois plus fort dans la direction de $y$ que dans celle de $x$. Concrètement, $f_x$ répond à la question « de combien la sortie varie-t-elle par unité de $x$, si rien d'autre ne change ? ». Si $P(L, K)$ est la production d'une usine en fonction du travail $L$ et du capital $K$, alors $P_L$ est la production supplémentaire obtenue avec une unité de travail de plus, à capital fixé. ## Dérivées partielles secondes Chaque dérivée partielle première est encore une fonction de $x$ et $y$, on peut donc la dériver partiellement à son tour. Une fonction de deux variables a quatre dérivées partielles secondes : $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$$ Les deux dernières sont les **dérivées croisées**. Les indices se lisent de gauche à droite : $f_{xy}$ signifie « d'abord $x$, puis $y$ ». La notation de Leibniz écrit les variables de droite à gauche, donc $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ signifie aussi « d'abord $x$, puis $y$ ». $f_{xx}$ mesure la convexité de la trace en $x$, et $f_{yy}$ celle de la trace en $y$. Pour le dôme ci-dessus, $f_{xx} = -2$ et $f_{yy} = -4$, toutes deux négatives : la surface est courbée vers le bas dans les deux directions. ### Exemple corrigé 4 : les quatre dérivées secondes Trouvez toutes les dérivées partielles secondes de $f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4$. **Étape 1. Dérivées premières.** $$f_x = 3x^2 y^2 + 2y^4, \qquad f_y = 2x^3 y + 8xy^3$$ **Étape 2. Dériver $f_x$.** $$f_{xx} = 6xy^2, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2 y^2 + 2y^4\right) = 6x^2 y + 8y^3$$ **Étape 3. Dériver $f_y$.** $$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x^3 y + 8xy^3\right) = 6x^2 y + 8y^3, \qquad f_{yy} = 2x^3 + 24xy^2$$ **Étape 4. Comparer les dérivées croisées.** $f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3$. Elles sont égales. ## Le théorème de Schwarz : pourquoi les dérivées croisées sont égales L'égalité de l'exemple 4 n'était pas un hasard. > **Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) :** si $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont toutes deux continues sur un disque ouvert centré en $(a, b)$, alors $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. Les polynômes, les exponentielles, les sinus, les cosinus et leurs combinaisons ont des dérivées partielles continues partout où ils sont définis : en pratique, l'ordre de dérivation n'a donc pas d'importance. Cela apporte deux avantages concrets : 1. **Une vérification gratuite.** Calculez les deux dérivées croisées. Si elles diffèrent, vous avez fait une erreur de calcul. 2. **Un raccourci.** Choisissez l'ordre le plus facile. Pour $f(x, y) = y e^{x^2} + x$, trouver $f_{yx}$ est plus rapide : $f_y = e^{x^2}$, donc $f_{yx} = 2x e^{x^2}$. D'après Schwarz, $f_{xy}$ est la même. ## Erreurs fréquentes avec les dérivées partielles 1. **Dériver la variable « constante ».** Dans $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3)$, le $y^3$ reste $y^3$. La réponse est $2xy^3$, pas $6xy^2$. 2. **Garder des termes qui devraient disparaître.** Tout terme sans $x$, comme $y^3$ ou $\sin y$, a une $\frac{\partial}{\partial x} = 0$. 3. **Utiliser la règle du produit quand elle est inutile.** $x^2 y^3$ est une constante fois $x^2$ quand on dérive par rapport à $x$, donc pas besoin de règle du produit. 4. **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** $\frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}$, et non $e^{xy}$. 5. **Confondre l'ordre** entre $f_{xy}$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$. Avec Schwarz, cela change rarement le résultat, mais cela change les calculs que vous montrez. ## Mémo : dérivées partielles | Fonction | $f_x$ | $f_y$ | | --- | --- | --- | | $x^m y^n$ | $m x^{m-1} y^n$ | $n x^m y^{n-1}$ | | $e^{xy}$ | $y e^{xy}$ | $x e^{xy}$ | | $\sin(xy)$ | $y\cos(xy)$ | $x\cos(xy)$ | | $\ln(x^2 + y^2)$ | $\frac{2x}{x^2+y^2}$ | $\frac{2y}{x^2+y^2}$ | | $\frac{x}{y}$ | $\frac{1}{y}$ | $-\frac{x}{y^2}$ | | $g(x) + h(y)$ | $g'(x)$ | $h'(y)$ | ## Rendez-les automatiques par l'entraînement Les dérivées partielles sont la base de tout le reste en analyse à plusieurs variables : le [gradient et les dérivées directionnelles](/blog/gradient-and-directional-derivatives), les plans tangents, l'optimisation et les [multiplicateurs de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). La leçon interactive ci-dessous vous propose des fonctions à dériver une variable à la fois, avec une correction immédiate qui vous indique quelle variable vous avez dérivée par erreur. ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce qu'une dérivée partielle, en termes simples ? Une dérivée partielle mesure comment varie une fonction de plusieurs variables quand on ne fait varier qu'une seule variable en gardant toutes les autres fixes. Pour $f(x, y)$, $f_x$ est le taux de variation dans la direction de $x$ et $f_y$ le taux de variation dans la direction de $y$. ### Comment calcule-t-on une dérivée partielle ? Choisissez la variable par rapport à laquelle vous dérivez et faites comme si toutes les autres étaient des nombres. Utilisez ensuite les règles de dérivation habituelles : puissance, produit, quotient et dérivation en chaîne. Par exemple, $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) = 2x y^3$ car $y^3$ se comporte comme une constante. ### Que signifie le symbole ∂ ? Le $\partial$ arrondi (lu « d rond ») signale une dérivée partielle : $\frac{\partial f}{\partial x}$ signifie « la dérivée de $f$ par rapport à $x$, les autres variables étant fixées ». Il distingue les dérivées partielles des dérivées ordinaires, écrites avec un $d$ droit. ### Les dérivées croisées sont-elles toujours égales ? Pour presque toutes les fonctions rencontrées en cours d'analyse, oui. Le théorème de Schwarz garantit $f_{xy} = f_{yx}$ dès que les deux dérivées croisées sont continues au voisinage du point. Il existe des fonctions artificielles pour lesquelles elles diffèrent, mais elles ont toujours une dérivée croisée discontinue. ### Quelle est la différence entre f_xy et f_yx ? Les indices se lisent de gauche à droite : $f_{xy}$ signifie dériver d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$. En notation fractionnaire, l'ordre s'inverse : $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial x}$. Avec le théorème de Schwarz, les deux ordres donnent de toute façon le même résultat.