# Étude de fonction avec les dérivées : tests de f' et de f''

> Tracer une courbe avec les dérivées : variations, extremums locaux, convexité, points d'inflexion et une étude complète d'une fonction cubique.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/etude-de-fonction-avec-les-derivees
Mis à jour : 2026-10-26

## À retenir

- Le signe de $f'$ indique où $f$ est croissante ($f' > 0$) ou décroissante ($f' < 0$) ; un changement de signe en un point critique signale un maximum ou un minimum local.
- Le signe de $f''$ indique la convexité : convexe là où $f'' > 0$, concave là où $f'' < 0$.
- Un point d'inflexion est un point où la convexité change réellement, pas n'importe quel point où $f'' = 0$.
- Le test de la dérivée seconde est rapide mais échoue quand $f''(c) = 0$ ; on revient alors au test de la dérivée première.

Une calculatrice graphique trace une courbe en une seconde, alors pourquoi la tracer à la main ? Parce que la calculatrice ne vous dit pas **pourquoi** la courbe a cette allure, où exactement elle change de sens, ni si une ondulation hors de l'écran cache un maximum. Les dérivées répondent à tout cela. Avec $f'$ et $f''$, vous pouvez prévoir la forme exacte d'une courbe avant de placer le moindre point, et les questions d'examen sur ce thème comptent parmi les points les plus prévisibles à gagner.

## Ce que disent la dérivée première et la dérivée seconde

**Étudier une fonction** pour tracer sa courbe, c'est utiliser les dérivées pour trouver où la courbe monte et descend, où elle change de sens et comment elle se courbe. Chaque dérivée répond à une question :

- La **dérivée première** $f'$ est la pente. Là où $f'(x) > 0$, la fonction est **croissante** ; là où $f'(x) < 0$, elle est **décroissante**.
- La **dérivée seconde** $f''$ est le taux de variation de la pente. Là où $f''(x) > 0$, la courbe est **convexe** (en forme de coupe) ; là où $f''(x) < 0$, elle est **concave** (en forme de chapeau).

Un **point critique** est un $x$ du domaine de définition où $f'(x) = 0$ ou bien où $f'(x)$ n'existe pas. Ce sont les seuls endroits où une fonction régulière peut changer de sens de variation. Un **point d'inflexion** est un point de la courbe où la convexité change.

## Le test de la dérivée première

Soit $c$ un point critique. Regardez le signe de $f'$ juste à gauche et juste à droite de $c$ :

$$f' \text{ passe de } + \to - \;\Rightarrow\; \text{max local} \qquad f' \text{ passe de } - \to + \;\Rightarrow\; \text{min local}$$

Si $f'$ a le même signe des deux côtés, il n'y a pas d'extremum en $c$ : la courbe s'aplatit un instant puis continue.

La raison est simple. Un maximum local est l'endroit où la courbe cesse de monter et commence à descendre, donc la pente doit passer du positif au négatif.

## Le test de la dérivée seconde

Si $f'(c) = 0$, vous pouvez souvent vous passer du tableau de signes et calculer $f''(c)$ :

$$f''(c) < 0 \;\Rightarrow\; \text{max local} \qquad f''(c) > 0 \;\Rightarrow\; \text{min local}$$

Une tangente horizontale sur une courbe concave est forcément le sommet d'une colline ; une tangente horizontale sur une coupe en est forcément le fond. Mais si $f''(c) = 0$, le test **ne permet pas de conclure**. Cela ne veut pas dire « pas d'extremum ». Revenez au test de la dérivée première.

## Exemple corrigé 1 : l'étude complète d'une fonction cubique

Tracez la courbe de $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

**Étape 1. Domaine et intersections.** Un polynôme est défini pour tout réel $x$. L'intersection avec l'axe des $y$ est $f(0) = 5$.

**Étape 2. Dérivée première et points critiques.**

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$$

Donc $f'(x) = 0$ en $x = -1$ et $x = 3$.

**Étape 3. Tableau de signes de $f'$.** Testez une valeur dans chaque intervalle :

| Intervalle       | Valeur test | $f'(x)$                  | Variations de $f$ |
| ---------------- | ----------- | ------------------------ | ----------------- |
| $(-\infty, -1)$  | $x = -2$    | $3(-5)(-1) = 15 > 0$     | croissante        |
| $(-1, 3)$        | $x = 0$     | $3(-3)(1) = -9 < 0$      | décroissante      |
| $(3, \infty)$    | $x = 4$     | $3(1)(5) = 15 > 0$       | croissante        |

D'après le test de la dérivée première, $f$ admet un **maximum local** en $x = -1$ (du plus au moins) et un **minimum local** en $x = 3$ (du moins au plus).

**Étape 4. Hauteurs des extremums.**

$$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10, \qquad f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$

**Étape 5. Dérivée seconde et convexité.**

$$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$$

$f''(x) < 0$ pour $x < 1$ (concave) et $f''(x) > 0$ pour $x > 1$ (convexe). La convexité change en $x = 1$, donc il y a un **point d'inflexion** en $(1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6)$.

**Étape 6. Confirmer avec le test de la dérivée seconde.** $f''(-1) = -12 < 0$, donc $x = -1$ est un maximum. $f''(3) = 12 > 0$, donc $x = 3$ est un minimum. Les deux concordent avec l'étape 3.

**Étape 7. Comportement aux bornes.** Le terme dominant $x^3$ l'emporte, donc $f(x) \to -\infty$ quand $x \to -\infty$ et $f(x) \to \infty$ quand $x \to \infty$.

**Étape 8. Tracer.** On monte depuis le bas à gauche en se courbant comme un chapeau, on culmine en $(-1, 10)$, on passe par $(0, 5)$, on descend en traversant le point d'inflexion $(1, -6)$ où la courbure devient celle d'une coupe, on atteint le fond en $(3, -22)$, puis on remonte vers le haut à droite.

```graph
title: 'Courbe de f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 avec son maximum local, son minimum local et son point d''inflexion'
caption: 'Maximum local en $(-1, 10)$, point d''inflexion en $(1, -6)$, minimum local en $(3, -22)$. La courbe est concave à gauche de $x = 1$ et convexe à droite.'
x: [-4, 6]
y: [-30, 25]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 5
    label: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
points:
  - [-1, 10, 'max local (-1, 10)']
  - [1, -6, 'inflexion (1, -6)']
  - [3, -22, 'min local (3, -22)']
  - [0, 5, '(0, 5)']
```

Remarquez que le point d'inflexion se trouve exactement à mi-chemin entre les deux extremums. C'est vrai pour toute fonction cubique qui a deux points critiques, et c'est une vérification pratique.

## Exemple corrigé 2 : quand le test de la dérivée seconde échoue

Étudiez $f(x) = x^4 - 4x^3$.

**Étape 1. Points critiques.**

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$

Points critiques : $x = 0$ et $x = 3$.

**Étape 2. Essayer le test de la dérivée seconde.**

$$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$

En $x = 3$ : $f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0$, donc il y a un minimum local en $(3, 81 - 108) = (3, -27)$.

En $x = 0$ : $f''(0) = 0$. Le test **ne permet pas de conclure**.

**Étape 3. Utiliser le test de la dérivée première en $x = 0$.** Le facteur $4x^2$ n'est jamais négatif, donc le signe de $f'$ près de 0 vient de $x - 3$, qui est négatif des deux côtés de 0. Ainsi $f'$ est négative des deux côtés : $f$ est décroissante en passant par $x = 0$, et il n'y a **pas d'extremum** à cet endroit, juste un palier.

**Étape 4. Convexité et points d'inflexion.** $f'' = 12x(x - 2)$ change de signe en $x = 0$ et en $x = 2$ :

| Intervalle      | Signe de $f''$ | Convexité    |
| --------------- | -------------- | ------------ |
| $(-\infty, 0)$  | $+$            | convexe      |
| $(0, 2)$        | $-$            | concave      |
| $(2, \infty)$   | $+$            | convexe      |

Ce sont deux points d'inflexion : $(0, 0)$ et $(2, 16 - 32) = (2, -16)$. Le palier à l'origine est donc aussi un point d'inflexion, et c'est pourquoi ce n'est ni un maximum ni un minimum.

```graph
title: 'Courbe de f(x) = x⁴ - 4x³ avec un point d''inflexion à tangente horizontale à l''origine et un minimum en x = 3'
caption: 'En $x = 0$, la tangente est horizontale mais la courbe continue de descendre : c''est un point d''inflexion, pas un extremum. Le seul minimum local est $(3, -27)$.'
x: [-2, 5]
y: [-35, 25]
functions:
  - expr: x^4 - 4x^3
    label: f(x) = x^4 - 4x³
points:
  - [0, 0, 'inflexion (0, 0)']
  - [2, -16, 'inflexion (2, -16)']
  - [3, -27, 'min local (3, -27)']
```

## Exemple corrigé 3 : une courbe exponentielle

Étudiez $f(x) = x e^{-x}$.

**Étape 1. Dérivée première** (règle du produit) :

$$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'$ est celui de $1 - x$ : croissante pour $x < 1$, décroissante pour $x > 1$. Maximum local en $\left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37)$.

**Étape 2. Dérivée seconde.**

$$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)$$

Concave pour $x < 2$, convexe pour $x > 2$. Point d'inflexion en $\left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27)$.

**Étape 3. Vérification par le test de la dérivée seconde.** $f''(1) = e^{-1}(-1) < 0$, ce qui confirme le maximum.

Quand $x \to \infty$, $e^{-x}$ décroît bien plus vite que $x$ ne croît, donc la courbe s'aplatit vers 0 (voir [limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity)).

## Les erreurs fréquentes en étude de fonction

1. **Voir un point d'inflexion dès que $f''(c) = 0$.** $f(x) = x^4$ a $f''(0) = 0$ mais elle est convexe partout. Vérifiez que le signe change.
2. **Conclure « pas d'extremum » quand le test de la dérivée seconde échoue.** $f''(c) = 0$ veut dire « utilisez un autre test », pas « il ne se passe rien ». Pour $x^4$, $x = 0$ est un minimum.
3. **Confondre le rôle de chaque dérivée.** $f'$ donne les variations ; $f''$ donne la convexité. Une fonction peut être croissante et concave en même temps.
4. **Tester le signe aux points critiques eux-mêmes.** Choisissez des valeurs test strictement à l'intérieur de chaque intervalle.
5. **Ne donner que les valeurs de $x$.** Un maximum local est un point. Donnez $(-1, 10)$, pas seulement $x = -1$, sauf si la question ne demande que l'abscisse.
6. **Oublier les points où $f'$ n'est pas définie.** Pour $f(x) = x^{2/3}$, $f'(0)$ n'existe pas, et pourtant $x = 0$ est un minimum (un point de rebroussement).

## Aide-mémoire

| Vous trouvez          | Condition                                  | Signification                     |
| --------------------- | ------------------------------------------ | --------------------------------- |
| Croissante            | $f'(x) > 0$                                | la courbe monte de gauche à droite |
| Décroissante          | $f'(x) < 0$                                | la courbe descend de gauche à droite |
| Point critique        | $f'(c) = 0$ ou non définie                 | candidat pour un max ou un min    |
| Maximum local         | $f'$ : $+ \to -$, ou $f''(c) < 0$          | sommet d'une colline              |
| Minimum local         | $f'$ : $- \to +$, ou $f''(c) > 0$          | fond d'une vallée                 |
| Convexe               | $f''(x) > 0$                               | se courbe comme une coupe         |
| Concave               | $f''(x) < 0$                               | se courbe comme un chapeau        |
| Point d'inflexion     | $f''$ change de signe                      | la courbure change de sens        |

Pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur absolue d'une grandeur réelle, les mêmes outils servent aux [problèmes d'optimisation](/blog/optimization-problems).

## Entraînez-vous à lire une courbe à partir des dérivées

L'étude de fonction est une routine : points critiques, tableau de signes, dérivée seconde, tableau de signes, tracé. Cette routine ne devient rapide qu'avec la répétition. La leçon interactive ci-dessous vous permet de travailler la convexité et la dérivée seconde avec un retour immédiat, pour prendre l'habitude de vérifier le changement de signe avant de parler de point d'inflexion.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que le test de la dérivée première ?

En un point critique $c$, regardez le signe de $f'$ de chaque côté. S'il passe du positif au négatif, $f$ admet un maximum local en $c$. S'il passe du négatif au positif, un minimum local. Si le signe ne change pas, il n'y a pas d'extremum.

### Qu'est-ce que le test de la dérivée seconde ?

En un point critique où $f'(c) = 0$, calculez $f''(c)$. Si elle est négative, la courbe est concave et $c$ est un maximum local ; si elle est positive, un minimum local. Si $f''(c) = 0$, le test ne dit rien et il faut le test de la dérivée première.

### Comment trouver les points d'inflexion ?

Cherchez où $f''(x) = 0$ ou n'est pas définie, puis vérifiez que le signe de $f''$ change réellement à cet endroit. Seuls les points où la convexité change sont des points d'inflexion. Par exemple $f(x) = x^4$ a $f''(0) = 0$ mais pas de point d'inflexion, car elle est convexe des deux côtés.

### Que veut dire convexe ?

Une courbe est convexe là où elle se courbe vers le haut comme une coupe, ce qui arrive quand sa pente augmente, donc quand $f''(x) > 0$. Concave veut dire qu'elle se courbe comme un chapeau, avec une pente qui diminue et $f''(x) < 0$.

### Quelles sont les étapes d'une étude de fonction ?

Trouvez le domaine de définition et les points d'intersection avec les axes, cherchez les points critiques à partir de $f'$ et dressez le tableau de signes pour les variations, cherchez les points d'inflexion possibles à partir de $f''$ et dressez le tableau de convexité, placez les points clés, puis reliez-les en suivant la forme décrite par les tableaux.