# Intégrales impropres : convergence, intégrales de Riemann, exemples > Calculer une intégrale impropre (borne infinie ou fonction non bornée), la règle des intégrales de Riemann, le critère de comparaison et des exemples. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/integrales-impropres Mis à jour : 2026-10-24 ## À retenir - Une intégrale impropre se définit comme une limite : on remplace la borne infinie ou le point problématique par une variable, on intègre, puis on passe à la limite. - Si la limite est un nombre fini, l'intégrale converge. Si elle est infinie ou n'existe pas, l'intégrale diverge. - $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ converge exactement quand $p > 1$, tandis que $\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$ converge exactement quand $p < 1$. - Vérifiez toujours s'il y a des discontinuités à l'intérieur de l'intervalle : en ignorer une peut produire une réponse assurée mais complètement fausse. Un domaine qui s'étend à l'infini peut-il avoir une aire finie ? Étonnamment, souvent oui. Le domaine sous $y = \frac{1}{x^2}$ à droite de $x = 1$ ne finit jamais, et pourtant son aire vaut exactement 1. Les **intégrales impropres** (ou généralisées) sont l'outil de l'analyse pour mesurer de telles aires, et on les retrouve partout, des probabilités au critère de l'intégrale pour les séries. ## Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ? Une intégrale définie ordinaire $\int_a^b f(x)\,dx$ demande un intervalle fini et une fonction qui y reste finie. Une **intégrale impropre** enfreint l'une de ces règles : - **Type 1 : une borne d'intégration infinie**, comme $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$. - **Type 2 : une discontinuité infinie**, où l'intégrande explose quelque part dans $[a, b]$, comme $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx$. Dans les deux cas, la solution est la même : on remplace l'endroit problématique par une variable, on calcule une intégrale ordinaire, et on passe à la limite. $$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$ Si la limite est un nombre fini, l'intégrale **converge** vers ce nombre. Si la limite est infinie ou n'existe pas, l'intégrale **diverge**. ## Type 1 : bornes d'intégration infinies ### Exemple corrigé 1 : 1/x² de 1 à l'infini Calculez $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$. **Étape 1. L'écrire comme une limite.** $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx$$ **Étape 2. Intégrer sur $[1, b]$.** $$\int_1^b x^{-2}\,dx = \left[-\frac1x\right]_1^b = -\frac1b + 1$$ **Étape 3. Passer à la limite.** Quand $b\to\infty$, $\frac1b\to 0$ : $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = 1$$ L'intégrale converge vers 1. ### Exemple corrigé 2 : 1/x de 1 à l'infini Calculez $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$. $$\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac1x\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln x\Big]_1^b = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty$$ L'intégrale diverge. L'aire sous $\frac1x$ croît sans limite, simplement très lentement. ```graph title: 'Courbes de y = 1/x² et y = 1/x pour x ≥ 1, avec l''aire finie sous 1/x²' caption: 'Les deux courbes tendent vers 0, mais l''aire sous $\frac{1}{x^2}$ de 1 à l''infini vaut exactement 1, alors que l''aire sous $\frac1x$ est infinie.' x: [0, 8] y: [0, 2] functions: - expr: 1/x^2 label: y = 1/x² - expr: 1/x label: y = 1/x dashed: true shade: {expr: 1/x^2, from: 1, to: 8} points: - [1, 1, '(1, 1)'] ``` La figure montre à quel point ces deux cas sont proches. Les deux courbes passent par $(1, 1)$ et tendent toutes deux vers zéro. La différence est la vitesse : $\frac{1}{x^2}$ diminue assez vite pour que l'aire totale se stabilise, et $\frac1x$ non. ### Exemple corrigé 3 : une queue exponentielle Calculez $\int_0^\infty e^{-x}\,dx$. $$\lim_{b\to\infty}\int_0^b e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[-e^{-x}\Big]_0^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$$ L'intégrale converge vers 1. La décroissance exponentielle est si rapide que ses queues convergent presque toujours. ### Exemple corrigé 4 : deux bornes infinies Calculez $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx$. Quand les deux bornes sont infinies, **découpez l'intégrale** en un point pratique (0 est le plus simple) et calculez chaque moitié séparément : $$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b\to\infty}\arctan b = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{a\to-\infty}\left(0 - \arctan a\right) = \frac{\pi}{2}$$ Les deux moitiés convergent, donc l'intégrale entière converge vers $\pi$. Si l'une des moitiés divergeait, l'intégrale entière divergerait. ### Diverger sans exploser Une intégrale peut diverger même si l'aire ne devient jamais infinie. Considérons $\int_0^\infty \cos x\,dx$ : $$\lim_{b\to\infty}\int_0^b \cos x\,dx = \lim_{b\to\infty}\sin b$$ La valeur de $\sin b$ oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$, donc la limite n'existe pas et l'intégrale diverge. La convergence exige que la limite se fixe sur un seul nombre fini. ## Type 2 : discontinuités infinies Quand l'intégrande explose en une borne, on approche cette borne par une limite depuis l'intérieur de l'intervalle. ### Exemple corrigé 5 : 1/√x de 0 à 1 Calculez $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx$. L'intégrande est infinie en $x = 0$. $$\lim_{t\to 0^+}\int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t\to 0^+}\Big[2\sqrt x\Big]_t^1 = \lim_{t\to 0^+}\left(2 - 2\sqrt t\right) = 2$$ L'intégrale converge vers 2, alors même que la courbe file vers l'infini sur le bord gauche. ```graph title: 'Aire sous y = 1/√x de 0 à 1, un domaine non borné d''aire finie' caption: 'La courbe monte en flèche le long de l''axe des $y$, et pourtant l''aire grisée vaut $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx = 2$.' x: [-0.6, 2] y: [0, 5] functions: - expr: 1/sqrt(x) label: y = 1/√x shade: {expr: 1/sqrt(x), from: 0.0001, to: 1} points: - [1, 1, '(1, 1)'] ``` ### Exemple corrigé 6 : ln x de 0 à 1 Calculez $\int_0^1 \ln x\,dx$. Ici $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$. **Étape 1. Écrire la limite.** $\displaystyle\lim_{t\to0^+}\int_t^1 \ln x\,dx$. **Étape 2. Trouver une primitive.** L'[intégration par parties](/blog/integration-by-parts) donne $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$. **Étape 3. Évaluer sur $[t, 1]$.** $$\Big[x\ln x - x\Big]_t^1 = (0 - 1) - (t\ln t - t) = -1 - t\ln t + t$$ **Étape 4. Passer à la limite.** Quand $t\to0^+$, $t \to 0$, et $t\ln t \to 0$ aussi (écrivez-le $\frac{\ln t}{1/t}$ et utilisez la [règle de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule)). Donc $$\int_0^1 \ln x\,dx = -1$$ La réponse est négative car $\ln x < 0$ sur $(0, 1)$ : le domaine est sous l'axe des $x$. ### Exemple corrigé 7 : le piège de la discontinuité cachée Calculez $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$. Si vous ignorez le problème en $x = 0$ et remplacez à l'aveugle, vous obtenez $\left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2$. Ce ne peut pas être juste : l'intégrande est positive partout, donc l'aire ne peut pas être négative. La bonne méthode consiste à découper à la discontinuité : $$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2} = \int_{-1}^0 \frac{dx}{x^2} + \int_0^1 \frac{dx}{x^2}$$ La moitié droite vaut $\lim_{t\to0^+}\left[-\frac1x\right]_t^1 = \lim_{t\to0^+}\left(-1 + \frac1t\right) = \infty$. Comme une moitié diverge, l'intégrale entière **diverge**. > **Astuce :** avant de calculer toute intégrale définie, parcourez l'intervalle à la recherche de points où un dénominateur s'annule, où un logarithme atteint zéro ou où une tangente atteint $\frac{\pi}{2}$. Le théorème fondamental de l'analyse ne s'applique que si la fonction est continue sur tout l'intervalle. ## La règle des intégrales de Riemann Les exemples précédents sont des cas particuliers d'une règle qui mérite d'être retenue. Pour $p > 0$ : | Intégrale | Converge quand | Valeur | Diverge quand | | -------------------------------- | -------------- | ------------------- | ------------- | | $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ | $p > 1$ | $\frac{1}{p-1}$ | $p \le 1$ | | $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ | $p < 1$ | $\frac{1}{1-p}$ | $p \ge 1$ | Remarquez que $p = 1$ (la fonction $\frac1x$) diverge sur les deux intervalles. Elle se trouve exactement à la frontière. ## Le critère de comparaison pour les intégrales impropres Beaucoup d'intégrandes n'ont pas de primitive simple. On peut quand même décider de la convergence en les comparant à quelque chose de connu, en général une intégrale de Riemann ou une exponentielle. Supposons que $0 \le g(x) \le f(x)$ pour $x \ge a$ : - Si $\int_a^\infty f(x)\,dx$ **converge**, alors la plus petite, $\int_a^\infty g(x)\,dx$, converge aussi. - Si $\int_a^\infty g(x)\,dx$ **diverge**, alors la plus grande, $\int_a^\infty f(x)\,dx$, diverge aussi. Retenez : « plus petit que fini, c'est fini ; plus grand qu'infini, c'est infini ». ### Exemple corrigé 8 : comparer pour montrer la convergence L'intégrale $\int_1^\infty \frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx$ converge-t-elle ? Comme $\cos x \le 1$, le numérateur vaut au plus 3, donc $0 < \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}$. Et $\int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3$ converge (une intégrale de Riemann avec $p = 2$). Par comparaison, l'intégrale de départ converge. ### Exemple corrigé 9 : comparer pour montrer la divergence L'intégrale $\int_2^\infty \frac{1}{\ln x}\,dx$ diverge-t-elle ? Pour $x \ge 2$, $\ln x < x$, donc $\frac{1}{\ln x} > \frac{1}{x}$. Comme $\int_2^\infty \frac1x\,dx$ diverge, l'intégrale plus grande diverge aussi. La même idée, appliquée à des sommes plutôt qu'à des aires, donne les critères de comparaison pour les séries. Voir les [critères de convergence](/blog/convergence-tests) pour comprendre le lien. ## Pourquoi les intégrales impropres comptent Les intégrales impropres ne sont pas une simple curiosité de manuel. Elles apparaissent partout où une grandeur s'accumule sur un domaine illimité : - **Probabilités.** Une densité de probabilité doit avoir une aire totale égale à 1 sur toute la droite réelle. La célèbre courbe en cloche repose sur $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$. - **Physique.** Le travail nécessaire pour éloigner une fusée infiniment loin de la Terre est une intégrale de $\frac{1}{r^2}$ jusqu'à l'infini, et elle converge. C'est cette valeur finie qui rend possible la vitesse de libération. - **Séries.** Le critère de l'intégrale décide si une somme comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge en examinant l'intégrale impropre correspondante. ## Les erreurs fréquentes sur les intégrales impropres 1. **Manquer une discontinuité intérieure.** Comme le montre l'exemple 7, on obtient alors une réponse finie pour une intégrale divergente. 2. **Traiter $\infty$ comme un nombre.** Écrivez la limite. Des expressions comme $-\frac{1}{\infty}$ sont au mieux un raccourci, et elles cachent des erreurs. 3. **Découper $\int_{-\infty}^\infty$ avec une seule limite.** $\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx$ n'est pas la définition. Les fonctions impaires comme $x$ donnent 0 de cette façon, mais $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ diverge. 4. **Comparer dans le mauvais sens.** Être plus petite qu'une intégrale divergente ne prouve rien, pas plus qu'être plus grande qu'une intégrale convergente. 5. **Oublier que la règle de Riemann s'inverse sur $[0, 1]$.** $\int_0^1 \frac{dx}{x^2}$ diverge alors que $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}$ converge. ## Entraînez-vous à repérer la convergence Les intégrales impropres deviennent intuitives une fois qu'on en a vu suffisamment : vous commencez à sentir que $\frac{1}{x^2}$ se stabilise et que $\frac1x$ non, avant même d'écrire la moindre limite. La leçon interactive ci-dessous vous guide à travers chaque type avec un retour immédiat, pour que vous développiez cet instinct en même temps que la technique. ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce qui rend une intégrale impropre ? Une intégrale est impropre si l'une de ses bornes est infinie, comme $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$, ou si l'intégrande devient infinie quelque part sur l'intervalle, comme $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx$ en $x = 0$. Dans les deux cas, l'intégrale définie ordinaire ne s'applique pas directement. ### Comment savoir si une intégrale impropre converge ? Réécrivez-la comme une limite et calculez. Si la limite est un nombre fini, elle converge vers ce nombre. Quand vous ne trouvez pas de primitive, comparez l'intégrande à une fonction plus simple, comme une intégrale de Riemann, dont vous connaissez déjà le comportement. ### Pourquoi l'intégrale de 1/x² converge-t-elle alors que celle de 1/x diverge ? Les deux courbes tendent vers zéro, mais $\frac{1}{x^2}$ le fait beaucoup plus vite. L'aire sous $\frac1x$ de 1 à $b$ vaut $\ln b$, qui croît sans limite, tandis que l'aire sous $\frac{1}{x^2}$ vaut $1 - \frac1b$, qui se stabilise à 1. ### Qu'est-ce que la règle des intégrales de Riemann ? Pour $p > 0$, $\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx$ converge vers $\frac{1}{p-1}$ quand $p > 1$ et diverge quand $p \le 1$. Sur l'intervalle $[0, 1]$, la condition s'inverse : $\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$ converge vers $\frac{1}{1-p}$ quand $p < 1$ et diverge quand $p \ge 1$. ### Une intégrale impropre peut-elle porter sur un domaine infini mais d'aire finie ? Oui. Le domaine sous $y = \frac{1}{x^2}$ de $x = 1$ à l'infini s'étend sans fin, et pourtant son aire totale vaut exactement 1. La convergence dépend de la vitesse à laquelle la fonction diminue, pas du fait que le domaine soit borné.