# Intégration par parties : formule, règle LIATE et exemples

> Maîtrisez l'intégration par parties : la formule, le choix de u avec LIATE, la méthode du tableau, la boucle de e^x sin x et des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/integration-par-parties-methode
Mis à jour : 2026-10-08

## À retenir

- L'intégration par parties inverse la règle du produit : $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Utilisez LIATE (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) pour choisir $u$ : prenez le type qui vient en premier.
- Quand $u$ est un polynôme, la méthode du tableau enchaîne les intégrations par parties successives en un seul tableau.
- Si l'intégrale de départ réapparaît après deux passages, traitez-la comme une inconnue et résolvez l'équation obtenue.

Le changement de variable règle facilement $\int 2x e^{x^2}\,dx$. Mais transformez-la en $\int x e^x\,dx$ et aucun changement de variable n'aide, car les deux facteurs n'ont rien à voir l'un avec l'autre. L'**intégration par parties** est faite exactement pour cette situation : un produit de deux types de fonctions différents.

## Qu'est-ce que l'intégration par parties ?

L'intégration par parties est la **règle du produit à l'envers**. La règle du produit dit que $(uv)' = u'v + uv'$. Intégrez les deux membres et réorganisez : vous obtenez la formule d'intégration par parties :

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Ici, $u$ est une fonction que vous allez **dériver** (pour obtenir $du$), et $dv$ est la partie que vous allez **intégrer** (pour obtenir $v$). La formule échange l'intégrale de départ $\int u\,dv$ contre une nouvelle, $\int v\,du$. Tout l'enjeu est de choisir $u$ et $dv$ pour que la nouvelle intégrale soit plus facile.

Pour les intégrales définies, la même formule s'écrit

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du.$$

## Quand utiliser l'intégration par parties

Pensez à l'intégration par parties après avoir écarté un [changement de variable](/blog/u-substitution) plus simple. Bons indices que c'est le bon outil :

- L'intégrande est un **produit de deux types de fonctions différents**, comme un polynôme fois une exponentielle ou un polynôme fois une fonction trigonométrique.
- L'intégrande est une **seule fonction facile à dériver mais difficile à intégrer**, comme $\ln x$, $\arctan x$ ou $\arcsin x$.
- Aucun facteur n'est la dérivée de quelque chose à l'intérieur de l'autre. (Si c'était le cas, un changement de variable marcherait.)

## Comment choisir u : la règle LIATE

Un bon $u$ se **simplifie** quand on le dérive, et un bon $dv$ doit être quelque chose qu'on **sait intégrer**. La règle LIATE classe les types de fonctions. Choisissez pour $u$ le facteur qui apparaît en premier :

| Lettre | Type                       | Exemples                       |
| ------ | -------------------------- | ------------------------------ |
| L      | Logarithme                 | $\ln x$, $\log_2 x$            |
| I      | Inverse trigonométrique    | $\arctan x$, $\arcsin x$       |
| A      | Algébrique                 | $x$, $x^2$, $3x + 1$           |
| T      | Trigonométrique            | $\sin x$, $\cos 2x$            |
| E      | Exponentielle              | $e^x$, $e^{3x}$, $2^x$         |

Pourquoi cet ordre ? Les logarithmes et les fonctions trigonométriques réciproques sont difficiles à intégrer mais ont des dérivées simples, donc ils ont leur place dans $u$. Les exponentielles et les sinus sont aussi faciles à intégrer qu'à dériver, donc ils font un $dv$ naturel.

> **Astuce :** LIATE est un guide solide, pas une loi. Si votre choix rend la nouvelle intégrale pire, échangez $u$ et $dv$ et recommencez.

## Exemple corrigé 1 : x fois e^x

Calculez $\int x e^x\,dx$.

**Étape 1. Choisir $u$ et $dv$.** Algébrique passe avant exponentielle, donc $u = x$ et $dv = e^x\,dx$.

**Étape 2. Calculer $du$ et $v$.** $du = dx$ et $v = e^x$.

**Étape 3. Appliquer la formule.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx$$

**Étape 4. Terminer l'intégrale plus facile.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

**Vérification :** la dérivée de $e^x(x-1)$ vaut $e^x(x-1) + e^x = x e^x$. C'est juste.

Si vous aviez choisi $u = e^x$ et $dv = x\,dx$, la nouvelle intégrale aurait été $\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx$, qui est pire. C'est LIATE qui vous sauve.

## Exemple corrigé 2 : x fois cos x

Calculez $\int x\cos x\,dx$.

**Étape 1.** $u = x$ (algébrique), $dv = \cos x\,dx$ (trigonométrique).

**Étape 2.** $du = dx$, $v = \sin x$.

**Étape 3.**

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

Attention au signe : $\int \sin x\,dx = -\cos x$, et le soustraire donne $+\cos x$.

## Exemple corrigé 3 : la primitive de ln x

Calculez $\int \ln x\,dx$.

Il semble n'y avoir qu'un seul facteur, mais on peut toujours écrire $dv = dx$.

**Étape 1.** $u = \ln x$, $dv = dx$.

**Étape 2.** $du = \frac1x\,dx$, $v = x$.

**Étape 3.**

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

La même astuce traite $\int \arctan x\,dx$. Avec $u = \arctan x$ et $dv = dx$, on obtient $x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$, et un rapide [changement de variable](/blog/u-substitution) termine le calcul :

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2) + C$$

## Exemple corrigé 4 : une intégrale définie

Calculez $\int_1^e \ln x\,dx$.

Avec la primitive de l'exemple 3 :

$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

```graph
title: 'L''aire sous y = ln x de x = 1 à x = e vaut 1'
caption: 'L''intégration par parties montre que l''aire grisée vaut exactement $\int_1^e \ln x\,dx = 1$.'
x: [0, 4]
y: [-1.5, 1.8]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
shade: {expr: ln(x), from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
vertical:
  - {x: 2.71828, label: 'x = e'}
```

## La méthode du tableau pour les intégrations par parties successives

Quand $u$ est un polynôme comme $x^3$, il faudrait appliquer l'intégration par parties trois fois, en baissant la puissance de un à chaque fois. La **méthode du tableau** (parfois appelée méthode DI) fait tous les passages d'un coup.

1. Dans la colonne de gauche, écrivez $u$ et continuez à **dériver** jusqu'à obtenir $0$.
2. Dans la colonne de droite, écrivez $dv$ et continuez à **intégrer**, une ligne par dérivée.
3. Tracez des diagonales de chaque case de gauche vers la case de droite de la ligne suivante, avec des signes alternés $+, -, +, -, \dots$
4. Additionnez les produits en diagonale.

### Exemple corrigé 5 : méthode du tableau pour x³ sin x

Calculez $\int x^3\sin x\,dx$.

| Signe | Dériver $u$       | Intégrer $dv$  |
| ----- | ----------------- | -------------- |
| $+$   | $x^3$             | $\sin x$       |
| $-$   | $3x^2$            | $-\cos x$      |
| $+$   | $6x$              | $-\sin x$      |
| $-$   | $6$               | $\cos x$       |
|       | $0$               | $\sin x$       |

Multipliez chaque case de gauche par la case de droite de la ligne suivante, avec le signe de sa ligne :

$$\int x^3\sin x\,dx = (+)x^3(-\cos x) + (-)3x^2(-\sin x) + (+)6x(\cos x) + (-)6(\sin x)$$

$$= -x^3\cos x + 3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C$$

**Vérification :** en dérivant, on obtient $-3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x$. Tout le reste se simplifie.

La méthode du tableau marche sans accroc dès que $u$ finit par se dériver en zéro et que $dv$ s'intègre facilement encore et encore, donc pour un polynôme fois $e^{ax}$, $\sin(ax)$ ou $\cos(ax)$.

## Le cas de la boucle : e^x sin x

Certaines intégrales ne se réduisent jamais à zéro. Au lieu de cela, après deux intégrations par parties, l'**intégrale de départ revient**. Ce n'est pas une impasse. C'est la solution.

### Exemple corrigé 6 : intégrer e^x sin x

Calculez $I = \int e^x\sin x\,dx$.

**Étape 1. Premier passage.** Posez $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$. Alors $du = \cos x\,dx$, $v = e^x$ :

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

**Étape 2. Deuxième passage, même schéma.** Dans la nouvelle intégrale, posez $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$. Alors $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$ :

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$

**Étape 3. Remplacer.**

$$I = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + I\right) = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$

**Étape 4. Résoudre en $I$.** Ajoutez $I$ aux deux membres : $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, donc

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

**Vérification :** la dérivée vaut $\tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x$.

> **Astuce :** au deuxième passage, gardez le même type de fonction pour $u$ (trigonométrique les deux fois). Si vous changez et prenez $u = e^x$, vous défaites la première étape et vous aboutissez à $I = I$.

## Les erreurs fréquentes en intégration par parties

1. **Choisir $u$ à l'envers.** Poser $u = e^x$ dans $\int x e^x\,dx$ rend l'intégrale plus difficile. Suivez LIATE.
2. **Les erreurs de signe.** La formule contient un signe moins, et $\int\sin x\,dx = -\cos x$ en ajoute un autre. La plupart des mauvaises réponses viennent de là.
3. **Oublier $v$ dans le terme $uv$.** C'est $uv$, et non $u\,dv$.
4. **Oublier l'alternance des signes dans la méthode du tableau.** Une diagonale sur deux est négative.
5. **Changer de type dans la boucle.** Dans $\int e^x\sin x\,dx$, gardez la fonction trigonométrique comme $u$ les deux fois.
6. **Oublier le $+C$**, ou oublier d'évaluer $uv$ aux deux bornes dans une intégrale définie.

## Aide-mémoire

| Intégrale                | Choisir $u$ | Résultat                                       |
| ------------------------ | ----------- | ---------------------------------------------- |
| $\int x e^x\,dx$         | $x$         | $e^x(x-1) + C$                                 |
| $\int x\cos x\,dx$       | $x$         | $x\sin x + \cos x + C$                         |
| $\int x\sin x\,dx$       | $x$         | $-x\cos x + \sin x + C$                        |
| $\int \ln x\,dx$         | $\ln x$     | $x\ln x - x + C$                               |
| $\int \arctan x\,dx$     | $\arctan x$ | $x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$           |
| $\int e^x\sin x\,dx$     | $\sin x$    | $\frac12 e^x(\sin x - \cos x) + C$             |
| $\int e^x\cos x\,dx$     | $\cos x$    | $\frac12 e^x(\sin x + \cos x) + C$             |

## Entraînez-vous jusqu'à ce que LIATE devienne automatique

L'intégration par parties récompense la répétition plus que toute autre technique : la formule est courte, mais bien choisir $u$ et ne pas se tromper de signe ne devient naturel qu'avec l'entraînement. La leçon interactive ci-dessous vous donne un retour immédiat à chaque étape, pour que vous repériez un signe inversé avant qu'il ne devienne une habitude.

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de l'intégration par parties ?

La formule est $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. On découpe l'intégrande en une partie $u$ qu'on dérive et une partie $dv$ qu'on intègre, en espérant que la nouvelle intégrale $\int v\,du$ soit plus facile que celle de départ.

### Comment choisir u et dv ?

Suivez l'ordre LIATE : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique (polynômes), Trigonométrique, Exponentielle. Le facteur qui apparaît le plus tôt dans cette liste devient $u$, et tout le reste, y compris $dx$, devient $dv$. Le but est un $u$ qui se simplifie en le dérivant et un $dv$ qu'on sait réellement intégrer.

### Quand utiliser l'intégration par parties plutôt qu'un changement de variable ?

Essayez d'abord un changement de variable. Si l'intégrande est un produit de deux fonctions sans lien, comme $x e^x$ ou $x\cos x$, où aucun facteur n'est la dérivée de quelque chose à l'intérieur de l'autre, l'intégration par parties est en général le bon outil. Elle traite aussi des fonctions seules comme $\ln x$ et $\arctan x$.

### Qu'est-ce que la méthode du tableau pour l'intégration par parties ?

La méthode du tableau est un raccourci pour des intégrales comme $\int x^3\sin x\,dx$ où $u$ est un polynôme. On écrit dans une colonne les dérivées successives de $u$ jusqu'à zéro, dans l'autre les primitives successives de $dv$, puis on multiplie en diagonale avec des signes alternés $+, -, +, -$.

### Que faire quand l'intégration par parties tourne en rond ?

Pour des intégrales comme $\int e^x\sin x\,dx$, deux intégrations par parties font revenir l'intégrale de départ. Appelez-la $I$, écrivez l'équation $I = (\text{le reste}) - I$, et résolvez : $2I = \text{le reste}$, donc $I$ en est la moitié, plus $C$.