# Vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel : guide et exemples

> Composantes et norme d'un vecteur, produit scalaire et angle entre deux vecteurs, produit vectoriel et aire, avec des exemples entièrement corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/produit-scalaire-et-vectoriel
Mis à jour : 2026-08-19

## À retenir

- Le produit scalaire $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ est un nombre, et il vaut aussi $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$.
- Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire vaut 0.
- Le produit vectoriel $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ est un vecteur orthogonal à $\mathbf{a}$ et à $\mathbf{b}$, dont la norme est égale à l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent.
- Le produit vectoriel n'existe qu'en dimension 3, et l'ordre compte : $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

L'analyse à plusieurs variables commence par passer des nombres aux flèches. Les forces, les vitesses et les gradients ont tous une taille et une direction, et il faut un moyen de mesurer des angles, de tester l'orthogonalité et de trouver des aires sans rien dessiner. Le produit scalaire et le produit vectoriel sont ces deux outils.

Ce guide présente les composantes et la norme d'un vecteur, le produit scalaire et les angles, les projections, puis le produit vectoriel et les aires, chacun avec un exemple entièrement corrigé.

## Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un **vecteur** est une grandeur qui a à la fois une **norme** (longueur) et une **direction**. En composantes, un vecteur de l'espace s'écrit

$$\mathbf{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}$$

où $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ sont les vecteurs unitaires des axes $x$, $y$ et $z$. Le vecteur allant du point $P(x_1, y_1, z_1)$ au point $Q(x_2, y_2, z_2)$ s'obtient par « arrivée moins départ » :

$$\overrightarrow{PQ} = \langle x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1 \rangle$$

On additionne les vecteurs et on les multiplie par des nombres composante par composante : $\langle 1, 2, 3\rangle + \langle 4, 0, -1 \rangle = \langle 5, 2, 2 \rangle$ et $3\langle 1, -2, 0\rangle = \langle 3, -6, 0 \rangle$.

## Norme et vecteurs unitaires

La **norme** de $\mathbf{a}$ vient du théorème de Pythagore :

$$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$

Un **vecteur unitaire** a une norme égale à 1. Pour obtenir le vecteur unitaire de même direction et de même sens que $\mathbf{a}$, on divise par sa norme : $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$.

### Exemple corrigé 1 : norme et vecteur unitaire

Trouvez $|\mathbf{a}|$ et le vecteur unitaire de même direction que $\mathbf{a} = \langle 3, -2, 6 \rangle$.

**Étape 1. Élever les composantes au carré et les additionner.** $3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49$.

**Étape 2. Prendre la racine carrée.** $|\mathbf{a}| = \sqrt{49} = 7$.

**Étape 3. Diviser par la norme.**

$$\mathbf{u} = \frac{1}{7}\langle 3, -2, 6 \rangle = \left\langle \tfrac{3}{7}, -\tfrac{2}{7}, \tfrac{6}{7} \right\rangle$$

Vérification : $\frac{9 + 4 + 36}{49} = 1$, donc $\mathbf{u}$ a bien une norme égale à 1.

## Le produit scalaire : définition et signification

Le **produit scalaire** multiplie les composantes correspondantes et additionne les résultats :

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Le résultat est un **nombre**, pas un vecteur. Le point clé est qu'il a aussi une formule géométrique, où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs :

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$$

Le produit scalaire mesure donc à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction :

- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$ : l'angle est aigu (moins de 90°).
- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ : les vecteurs sont **orthogonaux**.
- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$ : l'angle est obtus (plus de 90°).

Remarquez aussi que $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$, un raccourci pratique pour les normes.

## Trouver l'angle entre deux vecteurs

On isole $\cos\theta$ dans la formule géométrique :

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$$

### Exemple corrigé 2 : l'angle entre deux vecteurs

Trouvez l'angle entre $\mathbf{a} = \langle 1, 1, 0 \rangle$ et $\mathbf{b} = \langle 1, 0, 1 \rangle$.

**Étape 1. Produit scalaire.** $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1$.

**Étape 2. Normes.** $|\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$ et $|\mathbf{b}| = \sqrt{2}$.

**Étape 3. Cosinus de l'angle.**

$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

**Étape 4. Arc cosinus.** $\theta = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, soit $60^\circ$.

### Exemple corrigé 3 : tester l'orthogonalité

Les vecteurs $\mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle$ et $\mathbf{b} = \langle 1, -1, 1 \rangle$ sont-ils orthogonaux ?

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 2 - 1 - 1 = 0$$

Le produit scalaire est nul et aucun des deux vecteurs n'est nul, donc oui, ils sont orthogonaux. Aucun calcul d'angle nécessaire.

## Projections : l'ombre d'un vecteur sur un autre

Le produit scalaire indique aussi quelle part de $\mathbf{a}$ pointe le long de $\mathbf{b}$. La **projection scalaire** (composante) et la **projection vectorielle** sont

$$\text{comp}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}, \qquad \text{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}$$

Pour $\mathbf{a} = \langle 4, 2 \rangle$ et $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$ : $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 8 = 20$ et $|\mathbf{b}| = 5$. La composante vaut $\frac{20}{5} = 4$, et la projection vaut $\frac{20}{25}\langle 3, 4 \rangle = \left\langle \frac{12}{5}, \frac{16}{5} \right\rangle$, de norme 4 comme prévu. En physique, le travail d'une force constante $\mathbf{F}$ pour un déplacement $\mathbf{d}$ vaut exactement $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$.

## Le produit vectoriel : définition et règle de la main droite

Le **produit vectoriel** de deux vecteurs de l'espace est un **vecteur**. Le plus simple pour le calculer est un déterminant 3 par 3 :

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$$

Sa signification géométrique :

- **Direction :** $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ est orthogonal à $\mathbf{a}$ et à $\mathbf{b}$. Pointez les doigts de la main droite le long de $\mathbf{a}$, repliez-les vers $\mathbf{b}$, et votre pouce indique le sens de $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.
- **Norme :** $|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$, qui est l'**aire du parallélogramme** de côtés $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$.
- **L'ordre compte :** $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.
- **Des vecteurs colinéaires** ont un produit vectoriel égal à $\mathbf{0}$, car $\sin 0 = 0$.

### Exemple corrigé 4 : calculer un produit vectoriel

Trouvez $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ pour $\mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ et $\mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle$.

**Étape 1. Première composante** (on cache la colonne de $\mathbf{i}$) : $a_2 b_3 - a_3 b_2 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3$.

**Étape 2. Deuxième composante** (on cache la colonne de $\mathbf{j}$) : $a_3 b_1 - a_1 b_3 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6$.

**Étape 3. Troisième composante** (on cache la colonne de $\mathbf{k}$) : $a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3$.

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle -3, 6, -3 \rangle$$

**Étape 4. Vérifier avec des produits scalaires.** $\langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0$ et $\langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0$. Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs, comme il se doit.

Le parallélogramme engendré par $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ a pour aire $|\langle -3, 6, -3 \rangle| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.

> **Astuce :** faites toujours les deux vérifications par produit scalaire. Une erreur de signe sur la composante du milieu est le piège classique, et la vérification la repère en quelques secondes.

### Exemple corrigé 5 : aire d'un triangle dans l'espace

Trouvez l'aire du triangle de sommets $P(1, 0, 0)$, $Q(0, 2, 0)$ et $R(0, 0, 3)$.

**Étape 1. Deux vecteurs côtés à partir de $P$.**

$$\overrightarrow{PQ} = \langle -1, 2, 0 \rangle, \qquad \overrightarrow{PR} = \langle -1, 0, 3 \rangle$$

**Étape 2. Produit vectoriel.**

$$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \langle (2)(3) - (0)(0),\ (0)(-1) - (-1)(3),\ (-1)(0) - (2)(-1) \rangle = \langle 6, 3, 2 \rangle$$

**Étape 3. Norme.** $\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$. C'est l'aire du parallélogramme.

**Étape 4. Diviser par deux.** L'aire du triangle vaut $\frac{7}{2}$.

En prime, $\langle 6, 3, 2 \rangle$ est normal au plan passant par $P$, $Q$ et $R$, donc ce plan a pour équation $6x + 3y + 2z = 6$. (Vérification : les trois points la vérifient.)

## Produit scalaire ou produit vectoriel : mémo

| | Produit scalaire $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ | Produit vectoriel $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ |
| --- | --- | --- |
| Résultat | Un nombre | Un vecteur |
| Formule en composantes | $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ | déterminant 3 par 3 |
| Formule géométrique | $\lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\cos\theta$ | norme $\lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\sin\theta$ |
| Nul quand | les vecteurs sont orthogonaux | les vecteurs sont colinéaires |
| Ordre | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ | $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ |
| Dimensions | toutes | 3 seulement |
| Sert à | angles, projections, travail | vecteurs normaux, aires, moment d'une force |

## Erreurs fréquentes avec les vecteurs

1. **Traiter le produit scalaire comme un vecteur.** $\langle 1, 2 \rangle \cdot \langle 3, 4 \rangle = 11$, un seul nombre.
2. **Oublier de diviser par les deux normes** pour trouver un angle. Diviser seulement par $|\mathbf{a}|$ donne un cosinus qui peut dépasser 1.
3. **Inverser la composante du milieu du produit vectoriel.** Elle vaut $a_3 b_1 - a_1 b_3$, c'est-à-dire l'opposé du mineur 2 par 2. Vérifiez avec des produits scalaires.
4. **Échanger l'ordre d'un produit vectoriel** et perdre un signe.
5. **Oublier de diviser par deux** pour l'aire d'un triangle.
6. **Soustraire les points dans le mauvais ordre.** $\overrightarrow{PQ}$ vaut $Q - P$, arrivée moins départ.

## Gagnez en aisance par des séries rapides

Les produits scalaire et vectoriel relèvent du pur calcul, donc la vitesse et la précision ne viennent que par la répétition. Toute la suite de l'analyse à plusieurs variables, des [dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) au [gradient](/blog/gradient-and-directional-derivatives), s'appuie sur eux. La leçon interactive ci-dessous vous propose sans cesse de nouveaux vecteurs, vérifie chaque composante instantanément et vous montre exactement où un signe a glissé.

## Questions fréquentes

### Quelle est la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (un scalaire) qui mesure à quel point ils pointent dans la même direction. Le produit vectoriel est un nouveau vecteur orthogonal aux deux, dont la norme mesure à quel point ils s'écartent l'un de l'autre. Le produit scalaire marche en toute dimension, le produit vectoriel seulement en dimension 3.

### Comment trouver l'angle entre deux vecteurs ?

Utilisez $\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$, puis prenez l'arc cosinus. Le résultat est toujours compris entre $0$ et $\pi$ radians (0 et 180 degrés).

### Que signifie un produit scalaire nul ?

Si aucun des deux vecteurs n'est le vecteur nul, un produit scalaire nul signifie que les vecteurs sont orthogonaux, car $\cos 90^\circ = 0$. Un produit scalaire positif signifie que l'angle est aigu, et un produit scalaire négatif qu'il est obtus.

### Comment trouver l'aire d'un triangle avec le produit vectoriel ?

Formez deux vecteurs le long de deux côtés du triangle à partir d'un sommet commun, calculez leur produit vectoriel et sa norme. Cette norme est l'aire du parallélogramme, donc l'aire du triangle en est la moitié.

### Le produit vectoriel est-il commutatif ?

Non. Échanger l'ordre inverse le sens : $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$. La norme reste la même, mais le vecteur pointe dans le sens opposé, ce qui correspond à la règle de la main droite.