# Séries de Taylor et de Maclaurin : formule, exemples, erreur > Formules de Taylor et de Maclaurin, les quatre développements à connaître, construire de nouvelles séries et majorer l'erreur d'un polynôme de Taylor. Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/series-de-taylor Mis à jour : 2026-09-04 ## À retenir - La série de Taylor de $f$ en $a$ est $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, et une série de Maclaurin est le cas particulier $a = 0$. - Retenez quatre séries : $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ et $\frac{1}{1-x}$. La plupart des autres s'en déduisent par substitution, multiplication, dérivation ou intégration. - Un polynôme de Taylor de degré $n$ a la même valeur et les mêmes $n$ premières dérivées que $f$ au centre : il est donc le plus précis près du centre. - La majoration du reste $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ indique jusqu'où l'erreur peut aller. Votre calculatrice vous donne $\sin(0.5)$ instantanément, pourtant $\sin$ ne se calcule pas avec des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions. Les séries de Taylor permettent de transformer une fonction comme $\sin x$, $e^x$ ou $\ln x$ en un polynôme que l'on peut réellement évaluer, et on les retrouve partout, de la physique jusqu'à l'intérieur de cette calculatrice. Ce guide vous donne les formules de Taylor et de Maclaurin, les quatre séries à retenir, comment construire de nouvelles séries sans calculer de dérivées, et comment majorer l'erreur quand on s'arrête après quelques termes. ## Qu'est-ce qu'une série de Taylor ? Une **série de Taylor** réécrit une fonction comme un polynôme infini centré en un point $a$. Les coefficients viennent des dérivées de $f$ en $a$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$ Une **série de Maclaurin** est le cas particulier $a = 0$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$ L'idée est simple. Le premier terme reproduit la valeur de $f$ en $a$. Ajouter le deuxième terme reproduit aussi la pente, ce qui donne la tangente de l'[approximation affine](/blog/linear-approximation). Le troisième terme reproduit la convexité, et ainsi de suite. Chaque nouveau terme copie une dérivée de plus. Si l'on s'arrête après le terme en $(x-a)^n$, on obtient le **polynôme de Taylor de degré $n$**, noté $T_n(x)$. ## Trouver une série de Taylor pas à pas 1. Calculez $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots$ jusqu'à voir apparaître un schéma. 2. Divisez la valeur de la dérivée $n$-ième par $n!$ pour obtenir le coefficient $c_n$. 3. Écrivez la série $\sum c_n (x-a)^n$, en utilisant le schéma pour le terme général. 4. Si on vous le demande, trouvez l'intervalle de convergence avec le critère de d'Alembert, comme dans notre guide sur les [séries entières](/blog/power-series). ## Exemple corrigé 1 : la série de Maclaurin de e^x **Étape 1. Calculer les dérivées.** Toutes les dérivées de $e^x$ valent $e^x$, donc $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ pour tout $n$. **Étape 2. Construire les coefficients.** $c_n = \frac{1}{n!}$. **Étape 3. Écrire la série.** $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ Le critère de d'Alembert donne $\frac{|x|}{n+1} \to 0$, donc cela marche pour tout réel $x$. En remplaçant $x = 1$, on obtient une façon rapide de calculer $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718$. ## Exemple corrigé 2 : la série de Maclaurin de sin x **Étape 1. Calculer les dérivées et les évaluer en 0.** | $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | | --- | --- | --- | | 0 | $\sin x$ | $0$ | | 1 | $\cos x$ | $1$ | | 2 | $-\sin x$ | $0$ | | 3 | $-\cos x$ | $-1$ | | 4 | $\sin x$ | $0$ | Les valeurs se répètent indéfiniment selon le cycle $0, 1, 0, -1$. **Étape 2. Ne garder que les termes non nuls.** Les puissances paires disparaissent. Les puissances impaires alternent de signe, avec $n!$ au dénominateur. **Étape 3. Écrire la série.** $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Les mêmes étapes pour $\cos x$ donnent les puissances paires : $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ Une vérification rapide : $\sin x$ est impaire et sa série n'a que des puissances impaires. $\cos x$ est paire et sa série n'a que des puissances paires. Voici à quoi ressemblent les polynômes de Taylor de $\sin x$. Chaque terme supplémentaire épouse la courbe sur une portion plus large. ```graph title: 'Courbe de sin x et ses polynômes de Taylor de degrés 1, 3 et 5 centrés en 0' caption: 'Près de $x = 0$, les trois polynômes coïncident avec $\sin x$. Les polynômes de degré plus élevé restent proches sur un intervalle plus large avant de s''écarter.' x: [-6.5, 6.5] y: [-3, 3] functions: - expr: sin(x) label: y = sin x - expr: x label: degré 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: degré 3 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: degré 5 dashed: true ``` ## Exemple corrigé 3 : une série de Taylor centrée en a = 1 Trouvez la série de Taylor de $f(x) = \ln x$ centrée en $a = 1$. **Étape 1. Calculer les dérivées.** $$f'(x) = \frac{1}{x}, \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f'''(x) = \frac{2}{x^3}, \quad f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$$ Le schéma pour $n \ge 1$ est $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$. **Étape 2. Évaluer en $a = 1$.** $f(1) = 0$ et $f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ pour $n \ge 1$. **Étape 3. Diviser par $n!$.** Comme $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$, le coefficient est $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. **Étape 4. Écrire la série.** $$\ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$$ Elle converge pour $0 < x \le 2$. ## Les quatre séries de Maclaurin à retenir | Fonction | Série de Maclaurin | Valable pour | | --- | --- | --- | | $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | tout $x$ | | $\sin x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | tout $x$ | | $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | tout $x$ | | $\frac{1}{1-x}$ | $\sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | Avec ces quatre séries en poche, vous pouvez éviter les dérivées pour la plupart des questions d'examen. ## Exemple corrigé 4 : construire de nouvelles séries à partir des quatre On peut substituer, multiplier, dériver et intégrer les séries terme à terme, à l'intérieur de leur intervalle de convergence. **Substituer.** Pour $e^{-x^2}$, remplacez $x$ par $-x^2$ dans la série de $e^x$ : $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$ **Multiplier.** Pour $x\cos x$, multipliez chaque terme de la série du cosinus par $x$ : $$x\cos x = x - \frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!} - \cdots$$ **Intégrer.** Remplacez $x$ par $-x^2$ dans $\frac{1}{1-x}$ pour obtenir $$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots, \quad |x| < 1$$ Comme $\int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x$, on intègre terme à terme : $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ Chacune de ces séries aurait demandé de nombreuses dérivées pour être obtenue directement. ## Les polynômes de Taylor comme approximations On a rarement besoin de toute la série infinie. Quelques termes donnent déjà une excellente approximation près du centre, c'est pourquoi les physiciens remplacent $\sin\theta$ par $\theta$ pour un pendule de faible amplitude, et $\cos\theta$ par $1 - \frac{\theta^2}{2}$. Par exemple, $T_2$ pour $\cos x$ en $0$ donne $\cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98$. La vraie valeur est $0.980067$ : deux termes suffisent déjà pour être juste à quatre décimales près. Plus on s'éloigne du centre, plus il faut de termes pour la même précision, et la majoration du reste ci-dessous vous dit exactement combien. ## Le reste de Taylor : quelle est la taille de l'erreur ? Quand on remplace $f$ par $T_n$, l'erreur est le **reste** $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$. L'inégalité de Taylor-Lagrange le majore : $$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}$$ où $M$ est un nombre tel que $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ pour tout $t$ entre $a$ et $x$. Lisez-la ainsi : l'erreur est contrôlée par la dérivée suivante, la factorielle suivante et la distance au centre. Être proche de $a$ et utiliser plus de termes la réduisent tous les deux. ## Exemple corrigé 5 : estimer sin(0,5) avec une majoration de l'erreur Estimez $\sin(0.5)$ avec $T_3$ et majorez l'erreur. **Étape 1. Évaluer le polynôme.** $$T_3(0.5) = 0.5 - \frac{(0.5)^3}{6} = 0.5 - 0.0208\overline{3} = 0.4791\overline{6}$$ **Étape 2. Trouver $M$.** La dérivée quatrième de $\sin x$ est $\sin x$, et $|\sin t| \le 1$, donc $M = 1$. **Étape 3. Appliquer la majoration avec $n = 3$.** $$|R_3(0.5)| \le \frac{1}{4!}(0.5)^4 = \frac{0.0625}{24} \approx 0.0026$$ Donc $\sin(0.5)$ est à moins de $0.0026$ de $0.47917$. La vraie valeur est $0.47943$, et l'erreur réelle vaut environ $0.00026$, bien en dessous de la majoration. > **Astuce :** pour $\sin x$, le coefficient de $x^4$ est nul, donc $T_3 = T_4$. Utiliser $n = 4$ dans la majoration donne $\frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026$, une estimation bien plus fine. Comme cette série est alternée à termes décroissants, la majoration des séries alternées donne la même réponse fine : l'erreur est au plus le premier terme négligé, $\frac{(0.5)^5}{120}$. ## Erreurs fréquentes avec les séries de Taylor 1. **Oublier la factorielle.** Le coefficient est $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, et pas seulement $f^{(n)}(a)$. 2. **Utiliser des puissances de $x$ quand $a \ne 0$.** Une série centrée en 1 s'écrit en puissances de $(x - 1)$. 3. **Confondre sinus et cosinus.** Le sinus est impair et commence par $x$. Le cosinus est pair et commence par 1. 4. **Calculer des dérivées quand une substitution suffit.** Pour $e^{3x}$, remplacez simplement $x$ par $3x$ dans la série de $e^x$. 5. **Ignorer l'intervalle de convergence.** La série de $\frac{1}{1-x}$ ne sert à rien en $x = 2$. 6. **Utiliser la mauvaise dérivée dans la majoration.** La majoration pour $T_n$ demande une borne sur $f^{(n+1)}$, une dérivée de plus que le dernier terme gardé. ## L'entraînement transforme les formules en réflexes Une fois les quatre séries mémorisées et quelques séries construites par substitution, les séries de Taylor ne ressemblent plus à un mur de factorielles. La leçon interactive ci-dessous vous propose des séries à construire et des approximations à vérifier, avec une correction immédiate de chaque coefficient pour voir exactement quel terme s'est trompé. ## Questions fréquentes ### Quelle est la différence entre une série de Taylor et une série de Maclaurin ? Une série de Maclaurin est une série de Taylor centrée en $a = 0$. La formule est la même : on évalue simplement les dérivées en 0 et on utilise des puissances de $x$ au lieu de puissances de $(x - a)$. ### Qu'est-ce qu'un polynôme de Taylor ? Un polynôme de Taylor est une série de Taylor tronquée après un nombre fini de termes. Le polynôme de Taylor de degré $n$, $T_n(x)$, garde les termes jusqu'à $(x-a)^n$. Il approche bien $f$ près du centre, et l'approximation s'améliore généralement quand $n$ augmente. ### Comment trouver l'erreur d'un polynôme de Taylor ? Utilisez la majoration du reste de Taylor : si $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ et $x$, alors $|f(x) - T_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$. Pour une série alternée à termes décroissants, on peut aussi majorer l'erreur par le premier terme négligé. ### Une série de Taylor est-elle toujours égale à la fonction ? Pas toujours. La série doit converger, ce qui n'arrive que dans son intervalle de convergence, et même là elle doit converger vers $f$. Pour $e^x$, $\sin x$ et $\cos x$, elle est égale à la fonction pour tout $x$, alors que pour $\frac{1}{1-x}$ elle ne marche que pour $|x| < 1$. ### Pourquoi les séries de Taylor utilisent-elles des factorielles ? La dérivée $n$-ième de $(x-a)^n$ vaut $n!$. Diviser par $n!$ compense ce facteur, de sorte que la dérivée $n$-ième de la série en $a$ vaut exactement $f^{(n)}(a)$ : c'est ce qui fait coïncider la série avec la fonction.