# Sommes de Riemann : rectangles à gauche, à droite et au milieu

> Les sommes de Riemann pas à pas : rectangles à gauche, à droite et au point milieu, notation sigma, encadrements, et passage à la limite vers l'intégrale.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/sommes-de-riemann
Mis à jour : 2026-09-12

## À retenir

- Une somme de Riemann estime l'aire sous une courbe en additionnant les aires de rectangles : $\sum f(x_i^*)\,\Delta x$.
- Avec $n$ morceaux égaux sur $[a, b]$, chaque rectangle a pour largeur $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, et la hauteur vient de l'extrémité gauche, de l'extrémité droite ou du milieu.
- Pour une fonction croissante, la somme à gauche est une estimation par défaut et la somme à droite par excès ; pour une fonction décroissante, c'est l'inverse.
- Quand $n \to \infty$, les sommes de Riemann tendent vers l'intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$.

Calculer l'aire d'un rectangle est facile. Calculer l'aire sous une courbe comme $y = x^2$ ne l'est pas, car le bord supérieur est courbe. Les **sommes de Riemann** résolvent ce problème en remplissant la région de rectangles fins et en les additionnant, et c'est sur cette idée que repose toute l'intégrale définie.

## Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?

Une **somme de Riemann** est une estimation de l'aire sous $y = f(x)$ sur un intervalle $[a, b]$, faite de rectangles :

1. On découpe $[a, b]$ en $n$ morceaux égaux, chacun de largeur

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

2. Dans chaque morceau, on choisit un point $x_i^*$ et on prend $f(x_i^*)$ comme hauteur du rectangle.
3. On additionne les aires, hauteur fois largeur :

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

Le seul choix à faire est **où** prendre la hauteur dans chaque morceau. Ce choix donne les trois méthodes classiques.

## Sommes de Riemann à gauche, à droite et au point milieu

Avec $x_0 = a$, $x_1 = a + \Delta x$, $x_2 = a + 2\Delta x$, et ainsi de suite jusqu'à $x_n = b$ :

| Méthode          | Point choisi dans le morceau $i$                    | Somme                                                        |
| ------------- | -------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------- |
| Somme à gauche      | extrémité gauche, $x_{i-1} = a + (i-1)\Delta x$      | $L_n = \Delta x\,[f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})]$   |
| Somme à droite     | extrémité droite, $x_i = a + i\,\Delta x$           | $R_n = \Delta x\,[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$       |
| Somme au point milieu  | milieu, $a + (i - \frac{1}{2})\Delta x$      | $M_n = \Delta x\,[f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_n)]$       |

Remarquez que la somme à gauche utilise tous les points **sauf le dernier**, et la somme à droite tous les points **sauf le premier**.

## Exemple corrigé 1 : aire sous y = x² de 0 à 2

Estimez $\int_0^2 x^2\,dx$ avec $n = 4$ par les sommes à gauche, à droite et au point milieu.

**Étape 1. Largeur.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$. Les points de subdivision sont $0, 0.5, 1, 1.5, 2$.

```graph
title: 'Aire sous y = x² de 0 à 2 avec les hauteurs aux extrémités droites de 4 rectangles'
caption: 'Chaque morceau a une largeur de $0.5$. Les points marquent les hauteurs aux extrémités droites, $0.25, 1, 2.25$ et $4$. L''aire exacte ombrée vaut $\frac{8}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [0.5, 0.25, '0.25']
  - [1, 1, '1']
  - [1.5, 2.25, '2.25']
  - [2, 4, '4']
vertical:
  - {x: 0.5}
  - {x: 1}
  - {x: 1.5}
  - {x: 2}
```

**Étape 2. Somme à gauche.** Hauteurs en $0, 0.5, 1, 1.5$ :

$$L_4 = 0.5\,[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 0.5(3.5) = 1.75$$

**Étape 3. Somme à droite.** Hauteurs en $0.5, 1, 1.5, 2$ :

$$R_4 = 0.5\,[0.25 + 1 + 2.25 + 4] = 0.5(7.5) = 3.75$$

**Étape 4. Somme au point milieu.** Milieux $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$ :

$$M_4 = 0.5\,[0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625] = 0.5(5.25) = 2.625$$

L'aire exacte (que nous confirmerons plus bas) vaut $\frac{8}{3} \approx 2.667$. La somme à gauche est bien trop basse, la somme à droite bien trop haute, et la somme au point milieu ne se trompe que de $0.04$.

## Par excès ou par défaut ?

Sur une fonction **croissante** comme $x^2$ sur $[0, 2]$, l'extrémité gauche de chaque morceau est le point le plus bas, donc chaque rectangle à gauche est sous la courbe : **les sommes à gauche donnent une estimation par défaut**. L'extrémité droite est le point le plus haut, donc **les sommes à droite donnent une estimation par excès**. Pour une fonction décroissante, on inverse les deux.

La méthode du point milieu dépend plutôt de la **convexité**. Sur une courbe convexe comme $x^2$, la somme au point milieu est une estimation par défaut (de peu), et sur une courbe concave, une estimation par excès.

| Forme de la fonction | Somme à gauche | Somme à droite | Somme au point milieu |
| -------------- | -------- | --------- | ------------ |
| Croissante     | Défaut    | Excès      | (voir la convexité) |
| Décroissante     | Excès     | Défaut     | (voir la convexité) |
| Convexe     |          |           | Défaut        |
| Concave   |          |           | Excès         |

La moyenne des sommes à gauche et à droite donne la **méthode des trapèzes** : $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. Sur une courbe convexe, la méthode des trapèzes donne une estimation par excès, donc la vraie valeur se trouve entre l'estimation au point milieu et celle des trapèzes : $2.625 < \frac{8}{3} < 2.75$.

## Exemple corrigé 2 : une fonction décroissante

Estimez $\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ avec $n = 4$ par les trois méthodes.

**Étape 1. Largeur.** $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$. Points de subdivision : $1, 1.5, 2, 2.5, 3$.

**Étape 2. Somme à gauche.** Hauteurs $f(1) = 1$, $f(1.5) \approx 0.6667$, $f(2) = 0.5$, $f(2.5) = 0.4$ :

$$L_4 = 0.5\,[1 + 0.6667 + 0.5 + 0.4] \approx 1.2833$$

**Étape 3. Somme à droite.** Hauteurs en $1.5, 2, 2.5, 3$ :

$$R_4 = 0.5\,[0.6667 + 0.5 + 0.4 + 0.3333] = 0.5(1.9) = 0.95$$

**Étape 4. Somme au point milieu.** Les milieux $1.25, 1.75, 2.25, 2.75$ donnent les hauteurs $0.8$, $0.5714$, $0.4444$, $0.3636$ :

$$M_4 \approx 0.5(2.1795) \approx 1.0898$$

La valeur exacte est $\ln 3 \approx 1.0986$. Cette fois, la fonction est **décroissante**, donc la somme à gauche est trop grande et la somme à droite trop petite : l'inverse de l'exemple 1. La courbe est convexe, donc la somme au point milieu est de nouveau légèrement trop basse.

## Exemple corrigé 3 : sommes de Riemann à partir d'un tableau

La vitesse d'une voiture est relevée chaque seconde :

| $t$ (s)      | 0 | 1 | 2 | 3 | 4  |
| ------------ | - | - | - | - | -- |
| $v$ (m/s)    | 0 | 4 | 7 | 9 | 10 |

Estimez la distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 4$.

La distance est l'aire sous la courbe de la vitesse, et $\Delta t = 1$.

**Somme à gauche :** $1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20$ m.

**Somme à droite :** $1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30$ m.

Dans le tableau, la vitesse ne fait qu'augmenter, donc (en supposant qu'elle augmente aussi entre les relevés) la vraie distance est comprise entre $20$ et $30$ mètres. On ne peut pas utiliser ici une somme au point milieu avec $n = 4$, car le tableau n'a pas de relevés en $t = 0.5, 1.5, \ldots$. Avec $n = 2$, c'est possible : les milieux $t = 1$ et $t = 3$ donnent $2 \cdot (4 + 9) = 26$ m.

## Écrire les sommes de Riemann avec la notation sigma

Pour une somme à droite sur $[a, b]$ avec $n$ morceaux, les points choisis sont $x_i = a + i\,\Delta x$, donc

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(a + i\,\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}$$

Pour les sommes à gauche, remplacez $i$ par $i - 1$ ; pour les milieux, par $i - \frac{1}{2}$.

### Exemple corrigé 4 : l'aire exacte comme limite

Calculez $\int_0^2 x^2\,dx$ comme limite des sommes à droite.

**Étape 1. Mise en place.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ et $x_i = \frac{2i}{n}$, donc $f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}$.

**Étape 2. Écrire la somme.**

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{4i^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$

**Étape 3. Utiliser la formule de la somme des carrés** $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ :

$$R_n = \frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$$

**Étape 4. Passer à la limite.** Quand $n \to \infty$, les deux termes $\frac{1}{n}$ tendent vers $0$ :

$$\lim_{n\to\infty} R_n = \frac{4}{3}(1)(2) = \frac{8}{3}$$

L'aire exacte vaut donc $\frac{8}{3}$. Avec $n = 4$, la formule donne $\frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75$, ce qui correspond à l'exemple corrigé 1.

## Des sommes de Riemann à l'intégrale définie

Le calcul ci-dessus est exactement la façon dont l'**intégrale définie** est définie :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

La notation reflète même la somme : $\int$ est un « S » étiré pour « somme », $f(x)$ est la hauteur, et $dx$ est la largeur infiniment fine. Là où $f$ est négative, les rectangles ont une hauteur négative, donc l'intégrale mesure une aire **algébrique** : l'aire au-dessus de l'axe compte positivement et l'aire en dessous négativement.

Calculer une limite de sommes à chaque fois serait pénible. Le [théorème fondamental de l'analyse](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) montre qu'on peut s'en passer : $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$, à l'aide des [primitives](/blog/antiderivatives). Les sommes de Riemann restent la méthode pour approcher des intégrales à partir de données ou de fonctions sans primitive simple.

## Erreurs fréquentes avec les sommes de Riemann

1. **Utiliser $n + 1$ hauteurs.** Avec $n = 4$, il y a 5 points de subdivision mais seulement 4 rectangles. Une somme à gauche laisse de côté le dernier point ; une somme à droite, le premier.
2. **Oublier de multiplier par $\Delta x$.** Additionner les hauteurs donne $7.5$ dans l'exemple 1, et non l'aire $3.75$.
3. **Se tromper de milieux.** Le milieu de $[1, 1.5]$ est $1.25$. Calculez $f(1.25)$, pas la moyenne de $f(1)$ et $f(1.5)$ (ça, c'est la méthode des trapèzes).
4. **Largeurs inégales dans un tableau.** Si les données ne sont pas régulièrement espacées, chaque rectangle a sa propre largeur. N'utilisez pas un seul $\Delta x$.
5. **Confondre excès et défaut.** La croissance ou la décroissance tranche pour les sommes à gauche et à droite ; la convexité tranche pour le point milieu et les trapèzes.

## Entraînez-vous avec les rectangles

Les sommes de Riemann récompensent une routine régulière : trouver $\Delta x$, lister les points choisis, évaluer, additionner, multiplier. La leçon interactive ci-dessous vous permet de construire des sommes à gauche, à droite et au point milieu avec une correction immédiate, pour voir exactement quelle hauteur ou quelle largeur s'est trompée et la corriger à l'essai suivant.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?

Une somme de Riemann approche l'aire sous une courbe en découpant l'intervalle en morceaux, en construisant un rectangle sur chaque morceau et en additionnant les aires des rectangles. Plus il y a de morceaux, meilleure est l'estimation, et à la limite on obtient l'aire exacte, c'est-à-dire l'intégrale définie.

### Quelle est la différence entre une somme de Riemann à gauche et à droite ?

Elles utilisent des hauteurs différentes. Une somme à gauche prend la hauteur de chaque rectangle à l'extrémité gauche de son morceau, une somme à droite à l'extrémité droite. Sur le même intervalle avec le même $n$, elles ont toutes les hauteurs en commun sauf une.

### La méthode du point milieu est-elle plus précise que les sommes à gauche et à droite ?

En général oui, et de loin. La méthode du point milieu prend les hauteurs au milieu de chaque morceau, donc l'excès d'un côté de chaque rectangle compense à peu près le défaut de l'autre côté. Son erreur vaut typiquement environ la moitié de celle de la méthode des trapèzes, et elle est bien plus petite que celle des sommes à gauche ou à droite.

### Comment savoir si une somme de Riemann est une estimation par excès ou par défaut ?

Pour les sommes à gauche et à droite, regardez si la fonction est croissante ou décroissante. Si $f$ est croissante, les sommes à gauche sont trop petites et les sommes à droite trop grandes. Pour la méthode du point milieu, regardez la convexité : si la fonction est convexe, la somme au point milieu est trop petite.

### Quel est le lien entre les sommes de Riemann et les intégrales ?

L'intégrale définie est définie comme la limite des sommes de Riemann : $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$. Le théorème fondamental de l'analyse donne ensuite un raccourci pour calculer cette limite à l'aide des primitives.