# Théorème des accroissements finis : énoncé, Rolle et calcul de c

> Comprendre le théorème des accroissements finis avec des graphiques : énoncé, théorème de Rolle, trouver c pas à pas, et cas où le théorème ne s'applique pas.

Source : https://practicecalculus.com/fr/blog/theoreme-des-accroissements-finis
Mis à jour : 2026-09-24

## À retenir

- Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, il existe un $c$ dans $(a, b)$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- Géométriquement, il existe un point où la tangente est parallèle à la sécante qui relie les extrémités.
- Le théorème de Rolle est le cas particulier $f(a) = f(b)$, qui garantit une tangente horizontale avec $f'(c) = 0$.
- Pour trouver $c$, calculez la pente moyenne, posez $f'(c)$ égale à cette pente, résolvez, et ne gardez que les solutions strictement comprises entre $a$ et $b$.

Votre professeur écrit « vérifier que le théorème des accroissements finis s'applique et trouver toutes les valeurs de $c$ », et le théorème ressemble à un énoncé d'existence abstrait sans utilité évidente. En réalité, le **théorème des accroissements finis** affirme quelque chose que vous croyez déjà à propos de la conduite automobile, et trouver $c$ prend environ quatre lignes de calcul une fois la méthode comprise.

## Ce que dit le théorème des accroissements finis

Le **théorème des accroissements finis (TAF)** dit que, sur tout morceau régulier d'une fonction, le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen au moins une fois.

Formellement : si $f$ est **continue** sur $[a, b]$ et **dérivable** sur $(a, b)$, alors il existe au moins un nombre $c$ avec $a < c < b$ tel que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Le membre de droite est la pente de la **sécante** passant par $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$, c'est-à-dire le taux de variation moyen. Le membre de gauche est la pente de la **tangente** en $c$, c'est-à-dire le taux de variation instantané. Le théorème dit donc : quelque part entre $a$ et $b$, la tangente est **parallèle** à la sécante.

Une version concrète : vous parcourez 120 km en exactement 2 heures. Votre vitesse moyenne est de 60 km/h. Vous n'avez pas pu rouler en dessous de 60 tout le temps (vous ne seriez pas arrivé), ni au-dessus de 60 tout le temps (vous seriez allé plus loin). À un certain instant, votre vitesse était donc exactement de 60 km/h.

## Le théorème des accroissements finis sur un graphique

```graph
title: 'Théorème des accroissements finis pour y = x³ − x sur [0, 2] : la tangente en c est parallèle à la sécante'
caption: 'La sécante de $(0, 0)$ à $(2, 6)$ a pour pente $3$. En $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$, la tangente a aussi pour pente $3$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-2, 8]
functions:
  - expr: x^3 - x
    label: y = x³ − x
  - expr: 3x
    label: sécante, pente 3
  - expr: 3x - 3.0792
    label: tangente en c, pente 3
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [2, 6, '(2, 6)']
  - [1.1547, 0.3849, 'c']
```

Faites glisser la sécante sur le côté sans la faire tourner. Juste avant de quitter complètement la courbe, elle la touche en un seul point. Ce point de contact, c'est $c$.

## Comment trouver c dans le théorème des accroissements finis

1. **Vérifiez les hypothèses.** $f$ est-elle continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$ ? Les polynômes, $\sin$, $\cos$ et $e^x$ le sont toujours. Méfiez-vous des dénominateurs qui s'annulent, des racines de nombres négatifs et des valeurs absolues.
2. **Calculez la pente moyenne** $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
3. **Posez $f'(c)$ égale à cette pente** et résolvez en $c$.
4. **Ne gardez que les solutions avec $a < c < b$.** Éliminez tout ce qui est à l'extérieur ou aux extrémités.

## Exemple corrigé 1 : une parabole

Trouvez $c$ pour $f(x) = x^2$ sur $[1, 3]$.

**Étape 1.** $f$ est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées.

**Étape 2.** $f(1) = 1$ et $f(3) = 9$, donc la pente moyenne vaut

$$\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$$

**Étape 3.** $f'(x) = 2x$, donc $2c = 4$ et $c = 2$.

**Étape 4.** $2$ appartient à $(1, 3)$. Donc $c = 2$.

Pour toute parabole, $c$ est toujours le milieu de l'intervalle. C'est une bonne vérification.

## Exemple corrigé 2 : une fonction cubique (le graphique ci-dessus)

Trouvez toutes les valeurs de $c$ pour $f(x) = x^3 - x$ sur $[0, 2]$.

**Étape 1.** C'est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées.

**Étape 2.** $f(0) = 0$ et $f(2) = 8 - 2 = 6$, donc la pente moyenne vaut $\frac{6 - 0}{2 - 0} = 3$.

**Étape 3.** $f'(x) = 3x^2 - 1$. On la pose égale à $3$ :

$$3c^2 - 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$$

**Étape 4.** $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ est hors de $(0, 2)$, on l'élimine. La réponse est $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$.

## Exemple corrigé 3 : une racine carrée

Trouvez $c$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 4]$.

**Étape 1.** $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, 4]$. Elle n'est pas dérivable en $0$ (la tangente y est verticale), mais le théorème n'exige la dérivabilité que sur l'intervalle **ouvert** $(0, 4)$, et c'est bien le cas.

**Étape 2.** Pente moyenne : $\frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

**Étape 3.** $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$

**Étape 4.** $1$ appartient à $(0, 4)$. Donc $c = 1$.

## Le théorème de Rolle : le cas particulier

Le **théorème de Rolle** est le théorème des accroissements finis quand les extrémités sont à la même hauteur. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $(a, b)$, et si $f(a) = f(b)$, alors il existe un $c$ dans $(a, b)$ tel que

$$f'(c) = 0$$

La sécante est horizontale, donc la tangente parallèle l'est aussi. Imaginez une balle lancée verticalement et rattrapée à la même hauteur : au sommet, sa vitesse est nulle.

### Exemple corrigé 4 : le théorème de Rolle

Vérifiez le théorème de Rolle pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[1, 3]$ et trouvez $c$.

**Étape 1.** C'est un polynôme, donc continu et dérivable partout.

**Étape 2.** On vérifie les extrémités : $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ et $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. Elles sont égales.

**Étape 3.** $f'(x) = 2x - 4 = 0$ donne $c = 2$, qui appartient à $(1, 3)$.

Un autre classique : $f(x) = \sin x$ sur $[0, \pi]$ vérifie $f(0) = f(\pi) = 0$, et $f'(c) = \cos c = 0$ en $c = \frac{\pi}{2}$, le sommet de l'arche.

## Quand le théorème des accroissements finis ne s'applique pas

Les deux hypothèses comptent. Voici deux fonctions pour lesquelles la conclusion est fausse parce qu'une hypothèse n'est pas vérifiée.

**Un point anguleux.** $f(x) = |x|$ sur $[-1, 1]$. Les deux extrémités valent $1$, donc la pente moyenne est $0$. Mais $f'(x)$ vaut $-1$ ou $1$ partout sauf en $x = 0$, où elle n'existe pas. Aucun $c$ ne convient, car $|x|$ n'est pas dérivable en $0$.

**Une coupure.** $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[-1, 1]$. La pente moyenne vaut $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, mais $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ est toujours négative. Aucun $c$ ne convient, car $f$ n'est même pas définie (et encore moins continue) en $0$.

> **Astuce :** quand on vous demande si le TAF s'applique, nommez le point précis et l'hypothèse précise qui n'est pas vérifiée. « Non dérivable en $x = 0$ » rapporte les points ; « ça ne marche pas », non.

## Pourquoi le théorème des accroissements finis compte

Le TAF fait le pont entre la dérivée et la variation réelle, et il démontre des résultats que vous utilisez sans cesse :

- **Dérivée nulle implique constante.** Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle, alors $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0$ pour tous $a, b$, donc $f$ ne varie jamais. C'est pourquoi deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante $C$.
- **Dérivée positive implique croissante.** Si $f' > 0$, alors $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$ dès que $b > a$. C'est la base de l'[étude de fonction](/blog/curve-sketching-with-derivatives).
- **Majorations.** Supposons $f(0) = 2$ et $f'(x) \le 5$ pour tout $x$. Quelle valeur maximale peut prendre $f(3)$ ? D'après le TAF, $f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15$, donc $f(3) \le 17$.

## Mémo

| Théorème            | Hypothèses                                                   | Conclusion                               |
| ------------------ | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------- |
| Théorème des accroissements finis | Continue sur $[a, b]$, dérivable sur $(a, b)$           | $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$      |
| Théorème de Rolle    | Les mêmes, plus $f(a) = f(b)$                                     | $f'(c) = 0$                              |
| Conséquence        | $f'(x) = 0$ sur un intervalle                                   | $f$ y est constante                    |
| Conséquence        | $\lvert f'(x) \rvert \le M$ sur $(a, b)$                      | $\lvert f(b) - f(a) \rvert \le M(b - a)$ |

## Erreurs fréquentes avec le théorème des accroissements finis

1. **Sauter la vérification des hypothèses.** Beaucoup d'exercices sont conçus pour que le théorème ne s'applique pas. Cherchez toujours d'abord les points anguleux, les asymptotes et les problèmes de domaine de définition.
2. **Garder les mauvaises solutions.** Dans l'exemple 2, $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ est solution de l'équation mais n'appartient pas à $(0, 2)$. L'intervalle fait partie de la réponse.
3. **Confondre $f$ et $f'$.** C'est la **dérivée** en $c$ que l'on pose égale à la pente moyenne, pas $f(c)$.
4. **Croire que le théorème dit où se trouve $c$.** Il garantit seulement son existence. On trouve $c$ en résolvant.
5. **Exiger la dérivabilité aux extrémités.** Seul l'intervalle ouvert compte, c'est pourquoi $\sqrt{x}$ sur $[0, 4]$ convient.

## Entraînez-vous à trouver c

Le TAF devient vite une routine : vérifier, calculer la pente, résoudre, filtrer. La leçon interactive ci-dessous vous propose des fonctions à tester, repère les solutions qui tombent hors de l'intervalle et explique la correction dès qu'une étape se passe mal. Après quelques séries, vous repérerez d'un coup d'œil une hypothèse non vérifiée.

## Questions fréquentes

### Que dit le théorème des accroissements finis, en termes simples ?

À un certain moment, votre taux de variation instantané est égal à votre taux de variation moyen. Si vous parcourez 120 km en 2 heures, votre vitesse moyenne est de 60 km/h : à un certain instant, votre compteur a donc affiché exactement 60 km/h.

### Quelles sont les hypothèses du théorème des accroissements finis ?

La fonction doit être continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $(a, b)$. Si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée, par exemple un saut, une asymptote ou un point anguleux dans l'intervalle, la conclusion peut être fausse.

### Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ?

Le théorème de Rolle est le cas particulier où $f(a) = f(b)$. La sécante est alors horizontale, donc le théorème garantit un point où $f'(c) = 0$. Le théorème des accroissements finis traite n'importe quelles valeurs aux extrémités.

### Peut-il y avoir plusieurs valeurs de c ?

Oui. Le théorème promet seulement au moins une valeur. Une fonction ondulée peut avoir plusieurs points où la tangente est parallèle à la sécante, et il faut donner toutes les solutions situées strictement dans $(a, b)$.

### Pourquoi le théorème des accroissements finis est-il important ?

Il relie la dérivée à la façon dont une fonction varie réellement. Il démontre qu'une fonction de dérivée nulle est constante, qu'une dérivée positive implique la croissance, et il fournit des majorations comme $|f(b) - f(a)| \le M(b - a)$ quand $|f'| \le M$ (inégalité des accroissements finis).