# Analyse II MATH-106 EPFL : contenu, guide d'étude et exercices

> Guide d'étude d'Analyse II (MATH-106) à l'EPFL : espace R^n, dérivées partielles, jacobienne, Lagrange, intégrales multiples et équations différentielles.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/epfl-math-106
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code du cours:** MATH-106, une section par programme, par exemple MATH-106(c) en microtechnique et en science et génie des matériaux
- **Coefficient:** 6
- **Semestre:** Printemps, Bachelor semestre 2 (cours obligatoire)
- **Prérequis:** Analyse I et Algèbre linéaire I
- **Volume horaire:** 4 h de cours et 2 h d'exercices par semaine pendant 14 semaines
- **Contenu:** Espace R^n, calcul différentiel sur R^n (dérivées partielles, différentielle, jacobienne, hessienne, gradient, divergence, rotationnel, laplacien, fonctions implicites, Lagrange), intégrales multiples, équations différentielles ordinaires
- **Cours précédent:** Analyse I (MATH-101)
- **S'entraîner ici:** [Calcul 3](/learn/calculus-3), unités dérivées partielles et intégrales multiples

## À retenir

- Analyse II (MATH-106) est le cours d'analyse obligatoire du deuxième semestre de Bachelor à l'EPFL, après Analyse I et Algèbre linéaire I.
- Il étend l'analyse aux fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle, matrice jacobienne et hessienne, extremums avec Lagrange.
- Il couvre aussi les intégrales multiples et les équations différentielles ordinaires.
- Comme Analyse I, il est donné en plusieurs sections selon le programme, avec 4 h de cours et 2 h d'exercices par semaine.

**Analyse II (MATH-106)** est le deuxième cours d'analyse de première année à l'EPFL. Après l'étude des fonctions d'une variable en Analyse I, il passe à l'espace $\mathbb{R}^n$ et aux fonctions de plusieurs variables, puis aux intégrales multiples et aux équations différentielles. Ce guide relie chaque notion du cours à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

## Ce que couvre Analyse II

Selon le Cours Book de l'EPFL (section MATH-106(c)), le contenu comprend quatre parties : l'espace $\mathbb{R}^n$, le calcul différentiel des fonctions sur $\mathbb{R}^n$, les intégrales sur $\mathbb{R}^n$ et les équations différentielles ordinaires. Les mots-clés détaillent le calcul différentiel : dérivée partielle, différentielle, matrice jacobienne, théorème de la valeur moyenne, matrice hessienne, développement limité, gradient, divergence, rotationnel, laplacien, règle de composition, théorème des fonctions implicites et multiplicateurs de Lagrange. S'y ajoutent l'intégrale multiple et les équations différentielles ordinaires.

En termes nord-américains, Analyse II correspond à un **Calcul 3** (sans les théorèmes intégraux du calcul vectoriel) combiné à une introduction aux **équations différentielles**, le tout avec la rigueur d'un cours d'analyse.

## Plan des notions d'Analyse II

| Notion d'Analyse II | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| L'espace R^n, distances et vecteurs | [Points et distances dans l'espace](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Produits scalaire et vectoriel](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Fonctions de plusieurs variables | [Fonctions de plusieurs variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) |
| Dérivées partielles et hessienne | [Dérivées partielles secondes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Théorème de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Différentielle et développement limité | [Plans tangents](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Approximation linéaire](/blog/linear-approximation) |
| Règle de composition | [Règle de dérivation en chaîne](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Dérivée en chaîne](/rules/chain-rule) |
| Fonctions implicites | [Dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation) |
| Gradient | [Gradient](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient et dérivée directionnelle](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Divergence, rotationnel, laplacien | [Rotationnel et divergence](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Théorème de la divergence](/theorems/divergence-theorem) |
| Extremums et Lagrange | [Multiplicateurs de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicateurs de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Intégrales multiples | [Intégrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Intégrales doubles](/blog/double-integrals) |
| Changement de variables | [Jacobien](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Coordonnées cylindriques et sphériques](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Équations différentielles ordinaires | [Équations séparables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Fonction exponentielle naturelle](/functions/natural-exponential-function) |

## Analyse II après Analyse I

| Cours | Semestre | Prérequis | Contenu |
| --- | --- | --- | --- |
| Analyse I (MATH-101) | Automne, Bachelor 1 | Aucun indiqué | Une variable : suites, séries, dérivées, intégrales |
| Analyse II (MATH-106) | Printemps, Bachelor 2 | Analyse I, Algèbre linéaire I | Plusieurs variables, intégrales multiples, équations différentielles |

Les outils d'[Analyse I](/courses/epfl-math-101) reviennent constamment : les développements limités deviennent des développements à plusieurs variables, et la règle de dérivation en chaîne devient la règle de composition avec la matrice jacobienne.

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse II

**1. Matrice jacobienne.** Pour $F(x, y) = (x^2 y,\ x + y^2)$ :

$$J_F(x, y) = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 1 & 2y \end{pmatrix}, \qquad J_F(1, 1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

**2. Multiplicateurs de Lagrange.** Maximiser $f(x, y) = xy$ sous la contrainte $x + y = 10$. Avec $\nabla f = \lambda \nabla g$ : $y = \lambda$ et $x = \lambda$, donc $x = y = 5$ et le maximum vaut $25$.

**3. Intégrale double.** Sur le triangle $0 \leq y \leq x \leq 1$ :

$$\int_0^1 \int_0^x 6y\,dy\,dx = \int_0^1 3x^2\,dx = 1$$

## Comment réussir Analyse II

- **Revoyez l'algèbre linéaire.** Jacobienne, hessienne et différentielle sont des matrices et des applications linéaires : les calculs vont beaucoup plus vite si Algèbre linéaire I est bien acquise.
- **Dessinez les domaines d'intégration** avant de poser les bornes. La leçon [Régions générales](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) entraîne cette étape.
- **Classez les points critiques avec la hessienne** et pratiquez-le jusqu'à ce que ce soit automatique, avec la leçon [Points critiques](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) et nos [exercices](/practice).
- **Gardez le [formulaire](/formulas) à portée de main** et relisez les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes) avant l'examen.

> **Astuce :** une dérivée partielle se calcule exactement comme une dérivée d'Analyse I, en gelant les autres variables. Si vous maîtrisez les règles à une variable, vous savez déjà l'essentiel.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce qu'Analyse II à l'EPFL ?

Analyse II (MATH-106) est le cours d'analyse du semestre de printemps de première année. Il porte sur l'espace R^n, le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, les intégrales multiples et les équations différentielles ordinaires.

### Quels sont les prérequis d'Analyse II ?

Le Cours Book indique Analyse I et Algèbre linéaire I comme prérequis obligatoires. L'algèbre linéaire sert notamment pour la matrice jacobienne, la matrice hessienne et la différentielle.

### Analyse II est-elle plus difficile qu'Analyse I ?

Les difficultés changent : moins de théorie des nombres réels, plus de géométrie dans l'espace et de calculs à plusieurs variables. Les étudiants à l'aise avec les dérivées et les intégrales d'Analyse I et avec les matrices progressent plus vite.

### Comment se préparer à Analyse II ?

Révisez la dérivée en chaîne, les développements limités et les techniques d'intégration d'Analyse I, ainsi que les matrices d'Algèbre linéaire I. Les leçons de Calcul 3 sur PracticeCalculus suivent l'ordre dérivées partielles puis intégrales multiples.

### Quelle est la différence entre Analyse II et Calcul 3 ?

Le contenu recoupe largement un Calcul 3 nord-américain (dérivées partielles, Lagrange, intégrales multiples), mais Analyse II ajoute les équations différentielles ordinaires et un traitement plus rigoureux, par exemple avec le théorème des fonctions implicites.