# Analyse II réelle UNIGE (12M025) : contenu, guide et exercices > Guide d'étude d'Analyse II - analyse réelle - automne (12M025) à l'Université de Genève : fonctions implicites, formes différentielles, Green et Stokes. Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-de-geneve-12m025 Mis à jour : 2026-11-08 ## En bref - **Code du cours:** 12M025 - **Crédits:** 6 ECTS en BSc mathématiques (3,5 en BSc physique) - **Semestre:** Automne, Bachelor, Faculté des sciences - **Volume horaire:** 2 h de cours et 2 h d'exercices par semaine - **Prérequis:** Analyse I, Algèbre I - **Évaluation:** Examen écrit - **Contenu:** Fonctions de plusieurs variables réelles, fonctions implicites, formes différentielles, formes exactes et fermées, intégrales des formes différentielles, théorème de Green, lemme de Poincaré, théorème de Stokes - **Cours suivant:** Analyse II - analyse réelle - printemps (12M026) - **S'entraîner ici:** [Calcul vectoriel](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) de Calcul 3 ## À retenir - Analyse II - analyse réelle - automne (12M025) est un cours de Bachelor de l'Université de Genève qui suit Analyse I. - Il vaut 6 ECTS en BSc mathématiques, avec 2 h de cours et 2 h d'exercices par semaine. - Il porte sur les fonctions de plusieurs variables, les fonctions implicites et la théorie des formes différentielles. - Il culmine avec le théorème de Green, le lemme de Poincaré et le théorème de Stokes. **Analyse II - analyse réelle - automne (12M025)** est le cours d'analyse qui suit Analyse I à la **Faculté des sciences de l'Université de Genève**. Son objectif officiel est de présenter des éléments de la théorie des fonctions de plusieurs variables réelles et une introduction à la théorie des formes différentielles. C'est le cadre moderne des grands théorèmes intégraux, Green et Stokes. Ce guide relie les notions du cours à des exercices interactifs de calcul vectoriel. ## Ce que couvre 12M025 D'après le programme des cours officiel de l'UNIGE (année 2026), le cours compte 2 heures de cours et 2 heures d'exercices par semaine au semestre d'automne. Il vaut 6 ECTS en BSc mathématiques et 3,5 ECTS en BSc physique, avec un examen écrit. Les prérequis sont Analyse I et Algèbre I. Le programme officiel compte deux parties : 1. fonctions de plusieurs variables réelles, fonctions implicites ; 2. formes différentielles, formes exactes et fermées, intégrales des formes différentielles, théorème de Green, lemme de Poincaré, théorème de Stokes. Dans un cursus nord-américain, ces résultats apparaissent en fin de **Calcul 3** (vector calculus) sous la forme de champs de vecteurs : un champ conservatif correspond à une forme exacte, et la condition sur les dérivées croisées correspond à une forme fermée. Le langage des formes différentielles est plus abstrait, mais les calculs de base sont les mêmes. ## Plan des notions de 12M025 | Notion de 12M025 | S'exercer | Lire | | --- | --- | --- | | Fonctions de plusieurs variables | [Dérivées partielles](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), [règle de la chaîne](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) | | Fonctions implicites | [Dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation) | | Dérivées croisées | [Dérivées secondes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Théorème de Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) | | Champs et formes de degré 1 | [Champs de vecteurs](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | | | Intégrales de formes différentielles | [Intégrales curvilignes de champs](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | | | Formes exactes et fermées, Poincaré | [Champs conservatifs](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | | | Théorème de Green | [Théorème de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Green](/theorems/greens-theorem) | | Rotationnel et divergence | [Rotationnel et divergence](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | | | Théorème de Stokes | [Flux](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux), [Stokes et divergence](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Stokes](/theorems/stokes-theorem), [divergence](/theorems/divergence-theorem) | ## L'analyse en Bachelor à Genève | Cours | Semestre | Contenu | | --- | --- | --- | | Analyse I - automne (11M020) | Automne | Réels, suites, continuité, dérivée, intégrale | | Analyse I - printemps (11M021) | Printemps | Séries, EDO, plusieurs variables, intégrales multiples | | Analyse II - analyse réelle - automne (12M025) | Automne | Fonctions implicites, formes différentielles, Green, Stokes | | Analyse II - analyse réelle - printemps (12M026) | Printemps | Espaces de Banach, point fixe, équations différentielles | Voir les guides de [11M020](/courses/universite-de-geneve-11m020) et de [11M021](/courses/universite-de-geneve-11m021). ## Exemples d'exercices au niveau de 12M025 **1. Forme fermée.** La forme $\omega = 2xy\,dx + x^2\,dy$ est fermée car $\frac{\partial (2xy)}{\partial y} = 2x = \frac{\partial (x^2)}{\partial x}$. Sur $\mathbb{R}^2$, elle est exacte : $\omega = d(x^2 y)$. **2. Intégrale d'une forme exacte.** Le long de tout chemin de $(0, 0)$ à $(1, 2)$ : $$\int_\gamma 2xy\,dx + x^2\,dy = \left[ x^2 y \right]_{(0,0)}^{(1,2)} = 2$$ **3. Green.** Pour le carré unité, $\oint (x^2\,dx + xy\,dy) = \iint (y - 0)\,dA = \frac{1}{2}$. ## Comment réussir 12M025 - **Faites le lien avec les champs de vecteurs.** Traduire chaque énoncé sur les formes en énoncé sur les champs rend les calculs familiers. - **Retenez le contre-exemple classique.** La forme $\frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}$ est fermée sur le plan privé de l'origine mais pas exacte : le lemme de Poincaré exige un domaine étoilé. - **Paramétrez proprement.** Une intégrale curviligne commence toujours par une paramétrisation et son orientation. - **Pratiquez.** Nos [exercices](/practice) de calcul vectoriel donnent une correction immédiate. > **Astuce :** avant d'intégrer une forme sur un chemin, testez si elle est fermée. Sur un domaine étoilé, elle est alors exacte et il suffit d'évaluer une primitive aux extrémités. ## Questions fréquentes ### Que couvre 12M025 à l'UNIGE ? Le programme officiel compte deux parties : fonctions de plusieurs variables réelles et fonctions implicites, puis formes différentielles (formes exactes et fermées, intégrales des formes différentielles, théorème de Green, lemme de Poincaré, théorème de Stokes). ### Quels sont les prérequis de 12M025 ? La fiche indique « Pré-requis : Analyse I, Algèbre I ». Il faut donc avoir suivi les deux semestres d'Analyse I et le cours d'algèbre linéaire de première année. ### Combien de crédits vaut 12M025 ? 6 ECTS en BSc mathématiques et 3,5 en BSc physique, pour 2 heures de cours et 2 heures d'exercices par semaine, avec un examen écrit. ### Quel cours suit 12M025 ? Analyse II - analyse réelle - printemps (12M026), qui traite les espaces de Banach, le théorème du point fixe et les équations différentielles ordinaires : existence et unicité, méthodes de résolution, systèmes linéaires et non linéaires. ### Comment s'entraîner pour 12M025 ? Les formes différentielles généralisent les intégrales curvilignes et les champs de vecteurs. Les leçons de calcul vectoriel de Calcul 3 sur PracticeCalculus entraînent la partie calculatoire : champs conservatifs, Green, flux et Stokes.