# MAT 1000 Analyse 1 UdeM : contenu, guide d'étude et exercices

> Guide d'étude de MAT 1000 Analyse 1 à l'Université de Montréal : nombres réels, topologie de R, suites, séries, continuité et dérivabilité.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-de-montreal-mat-1000
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code du cours:** MAT 1000
- **Crédits:** 4 crédits
- **Offert:** Été, automne et hiver, campus de Montréal
- **Contenu:** Nombres réels et leurs propriétés, topologie de base de la droite réelle, suites et séries numériques, continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
- **Cours lié:** MAT 1400 Calcul 1 (approche calculatoire des séries)
- **S'entraîner ici:** [Limites](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) de Calcul 1 et [suites et séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) de Calcul 2

## À retenir

- MAT 1000 Analyse 1 est le premier cours d'analyse de l'Université de Montréal, d'une valeur de 4 crédits.
- Il construit rigoureusement les bases du calcul : nombres réels, topologie de la droite réelle, suites et séries.
- Il se termine par la continuité et la dérivabilité des fonctions d'une variable réelle.
- Le cours est offert à l'été, à l'automne et à l'hiver.

**MAT 1000 Analyse 1** est le cours qui fait passer les étudiants de l'Université de Montréal du calcul, centré sur les méthodes, à l'analyse, centrée sur les démonstrations. Il reprend des objets connus du cégep, comme les limites et la dérivée, et les fonde rigoureusement sur les propriétés des nombres réels. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour bâtir l'intuition qui facilite les preuves.

## Ce que couvre MAT 1000

Selon la fiche officielle, le cours porte sur les nombres réels et leurs propriétés, puis sur la topologie de base de l'ensemble des réels. Il étudie ensuite les suites et les séries de nombres et se termine par la continuité et la dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle.

Par rapport à un parcours nord-américain, MAT 1000 reprend les **limites, la continuité et la dérivée de Calcul 1** et les **suites et séries de Calcul 2**, au niveau d'un cours de **real analysis** où chaque énoncé est démontré.

## Plan des notions de MAT 1000

| Notion de MAT 1000 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Nombres réels, bornes, supremum | [Limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) | [Limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity) |
| Limites de suites | [Suites et leurs limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) |
| Séries numériques | [Séries et sommes partielles](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Séries de référence | [Séries géométriques](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) | [Série géométrique](/rules/geometric-series-formula) |
| Séries alternées | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) |
| Limites de fonctions | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/blog/what-is-a-limit), [règles sur les limites](/rules/limit-laws) |
| Continuité | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem) |
| Dérivabilité | [Quand la dérivée n'existe pas](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) | [Définition de la dérivée](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Accroissements finis | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem), [Rolle](/theorems/rolles-theorem) |

## MAT 1000 face aux cours de calcul

| Cours | Approche | Contenu |
| --- | --- | --- |
| MAT 1000 Analyse 1 | Démonstrations, une variable | Réels, topologie, suites, séries, continuité, dérivabilité |
| MAT 1400 Calcul 1 | Méthodes et calculs | Séries, plusieurs variables, intégrales multiples |
| MAT 1410 Calcul 2 | Méthodes et calculs | Calcul vectoriel, équations différentielles |

Pour la version calculatoire des séries et le passage à plusieurs variables, voir les guides de [MAT 1400](/courses/universite-de-montreal-mat-1400) et de [MAT 1410](/courses/universite-de-montreal-mat-1410).

## Exemples d'exercices au niveau de MAT 1000

**1. Limite d'une suite avec epsilon.** Montrons que $\frac{n}{n + 1} \to 1$. On a $\left| \frac{n}{n + 1} - 1 \right| = \frac{1}{n + 1}$. Pour $\varepsilon > 0$, il suffit de prendre $N > \frac{1}{\varepsilon}$ : pour tout $n \geq N$, $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$.

**2. Une série télescopique.**

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = 1$$

car la somme partielle vaut $1 - \frac{1}{N + 1}$.

**3. Continue mais non dérivable.** La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$, mais

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1 \neq -1 = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}$$

donc elle n'est pas dérivable en $0$. Voir la [fonction valeur absolue](/functions/absolute-value-function).

## Comment réussir MAT 1000

- **Apprenez les définitions exactement.** Chaque preuve commence par écrire la définition en jeu (limite, borne supérieure, ensemble ouvert).
- **Gardez l'intuition vivante.** Avant de démontrer, vérifiez sur des exemples avec nos [exercices](/practice) sur les limites et les séries.
- **Cherchez des contre-exemples** pour chaque hypothèse d'un théorème, comme $|x|$ pour la dérivabilité.
- **Relisez vos preuves** comme un correcteur : chaque inégalité doit être justifiée. Le [formulaire](/formulas) aide pour les séries de référence.

> **Astuce :** pour montrer qu'une suite croissante converge, il suffit de prouver qu'elle est majorée. C'est l'axiome de la borne supérieure à l'œuvre.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que MAT 1000 Analyse 1 à l'Université de Montréal ?

C'est un cours de 4 crédits sur les fondements de l'analyse réelle : propriétés des nombres réels, topologie de base de la droite, suites et séries de nombres, puis continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable.

### Quelle est la différence entre MAT 1000 et MAT 1400 ?

Les deux cours abordent les suites et les séries. MAT 1400 Calcul 1 met l'accent sur les calculs et passe vite aux fonctions de plusieurs variables, alors que MAT 1000 Analyse 1 reste à une variable et démontre chaque résultat.

### MAT 1000 est-il difficile ?

C'est souvent le premier cours où l'on doit rédiger des démonstrations complètes, ce qui demande un temps d'adaptation. La pratique régulière de petites preuves, comme montrer une limite avec epsilon, rend la suite beaucoup plus naturelle.

### Comment se préparer à Analyse 1 ?

Arrivez avec une bonne intuition des limites, de la continuité et des séries. Les leçons de PracticeCalculus sur les limites, la continuité et les critères de convergence donnent cette intuition par des exercices courts.