# Analyse S2 Université de Strasbourg : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE Analyse S2 à Strasbourg : réels, suites, continuité, notations de Landau, accroissements finis, intégrale et formules de Taylor.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-de-strasbourg-analyse-s2
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code:** UE Analyse S2 (EN904) : Suites et continuité (MI04BM23) et Dérivation et intégration (MI04BM24)
- **Formation:** Licence Mathématiques (parcours MA, MF et préparation au Capes), semestre 2
- **Volume horaire:** 48 h de cours intégrés pour chacun des deux cours
- **Contenu:** Propriétés de R et bornes, suites et Bolzano-Weierstrass, limites et continuité, notations de Landau, Rolle et accroissements finis, convexité, intégrale des fonctions continues par morceaux, formules de Taylor et développements limités
- **Cours précédent:** Analyse S1
- **Cours suivant:** UE Analyse S3
- **S'entraîner ici:** [Calcul 1](/learn/calculus-1) et les unités séries et Taylor de [Calcul 2](/learn/calculus-2)

## À retenir

- L'UE Analyse S2 de la licence de mathématiques de Strasbourg réunit deux cours de 48 h : Suites et continuité, puis Dérivation et intégration.
- Le premier pose les bases rigoureuses : propriétés de R, suites, limites, continuité et notations de Landau.
- Le second traite les grands théorèmes : Rolle, accroissements finis, convexité, construction de l'intégrale et formules de Taylor.
- L'UE fait suite à Analyse S1, plus calculatoire, et prépare l'UE Analyse S3.

**Analyse S2** est l'UE d'analyse du second semestre de la licence de mathématiques de l'Université de Strasbourg. Elle se compose de deux cours de 48 h chacun, Suites et continuité puis Dérivation et intégration, qui transforment les méthodes de calcul d'Analyse S1 en théorie rigoureuse. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour garder l'intuition vivante pendant qu'on apprend les preuves.

## Ce que couvre Analyse S2

**Suites et continuité.** D'après la fiche officielle, ce cours pose les bases rigoureuses de l'analyse. Il traite les propriétés de $\mathbb{R}$ (ordre, valeur absolue, propriété d'Archimède, partie entière, densité de $\mathbb{Q}$, bornes supérieure et inférieure), les suites (théorèmes opératoires, suites monotones, suites extraites, Bolzano-Weierstrass, suites itératives $u_{n+1} = f(u_n)$), les limites et la continuité (valeurs intermédiaires, théorème des bornes, bijection monotone) et l'analyse asymptotique (notations de Landau, équivalents, croissances comparées).

**Dérivation et intégration.** Ce cours présente les grands théorèmes de l'analyse réelle : Rolle et accroissements finis, classes de fonctions, convexité et inégalités de convexité ; la construction de l'intégrale des fonctions continues par morceaux, le théorème fondamental et la construction du logarithme et de l'exponentielle ; enfin les formules de Taylor-Young, de Lagrange et avec reste intégral, et les développements limités.

En termes nord-américains, l'UE couvre la **théorie de Calcul 1** (limites, continuité, dérivées, intégrale) et la **partie Taylor de Calcul 2**, au niveau d'un premier cours de **real analysis**.

## Plan des notions d'Analyse S2

| Notion d'Analyse S2 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Bornes et propriétés de R | [Limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) | [Règles sur les limites](/rules/limit-laws) |
| Suites, monotonie, Bolzano-Weierstrass | [Suites et leurs limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) |
| Limites de fonctions | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/blog/what-is-a-limit) |
| Continuité et grands théorèmes | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem), [bornes](/theorems/extreme-value-theorem) |
| Notations de Landau, équivalents | [Limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) | [Limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity) |
| Rolle et accroissements finis | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Rolle](/theorems/rolles-theorem), [accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) |
| Convexité | [Concavité et dérivée seconde](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) | [Étude de fonctions](/blog/curve-sketching-with-derivatives) |
| Construction de l'intégrale | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Théorème fondamental | [Dérivée d'une intégrale](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Théorème fondamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Formules de Taylor et DL | [Polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |

## Analyse S2 entre Analyse S1 et Analyse S3

| Cours | Semestre | Orientation |
| --- | --- | --- |
| Analyse S1 | S1 | Calcul : limites, primitives, équations différentielles |
| Analyse S2 (deux cours de 48 h) | S2 | Bases rigoureuses, accroissements finis, intégrale, Taylor |
| Analyse S3 | S3 | Plusieurs variables, intégrales généralisées, séries |

Voir les guides d'[Analyse S1](/courses/universite-de-strasbourg-analyse-s1) et d'[Analyse S3](/courses/universite-de-strasbourg-analyse-s3).

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse S2

**1. Borne supérieure.** Soit $A = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \}$. L'ensemble est majoré par $2$, et par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, on montre que $\sup A = \sqrt{2}$, qui n'appartient pas à $\mathbb{Q}$.

**2. Suite itérative.** Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$. On montre par récurrence que $1 \leq u_n \leq 2$ et que la suite est croissante ; elle converge donc vers une limite $\ell$ vérifiant $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, soit $\ell = 2$.

**3. Inégalité de convexité.** La fonction $\exp$ est convexe, donc son graphe est au-dessus de sa tangente en 0 :

$$e^x \geq 1 + x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$

## Comment réussir Analyse S2

- **Écrivez les définitions quantifiées** de limite et de continuité jusqu'à les connaître parfaitement : elles reviennent dans presque chaque exercice.
- **Gardez l'intuition par la pratique.** Avant une preuve, testez l'énoncé sur des exemples avec nos [exercices](/practice).
- **Maîtrisez les DL usuels**, outil principal du second cours, avec le [formulaire](/formulas).
- **Cherchez des contre-exemples** quand une hypothèse manque, et relisez les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ croissante, la suite est monotone ; il suffit de comparer $u_0$ et $u_1$ pour connaître son sens de variation.

## Questions fréquentes

### Que couvre l'UE Analyse S2 à l'Université de Strasbourg ?

Deux cours. Suites et continuité porte sur les propriétés de R (bornes supérieure et inférieure, densité de Q), les suites (Bolzano-Weierstrass, suites itératives), les limites et la continuité, et l'analyse asymptotique. Dérivation et intégration porte sur Rolle et les accroissements finis, la convexité, l'intégrale des fonctions continues par morceaux et les formules de Taylor.

### Quelle différence entre Analyse S1 et Analyse S2 ?

Analyse S1 est orientée calcul (limites, primitives, équations différentielles). Analyse S2 reprend ces objets avec des définitions quantifiées et des démonstrations, et construit par exemple l'intégrale, le logarithme et l'exponentielle.

### Analyse S2 est-elle difficile ?

Pour beaucoup d'étudiants, c'est le premier vrai contact avec les définitions en epsilon et les preuves. La difficulté baisse nettement quand on s'exerce régulièrement à écrire ces définitions et à les appliquer sur des exemples simples.

### Comment réviser Analyse S2 ?

Travaillez séparément les deux cours : pour Suites et continuité, entraînez-vous aux bornes supérieures et aux limites de suites ; pour Dérivation et intégration, aux accroissements finis et aux développements limités. Les leçons de PracticeCalculus sur les suites, la continuité et Taylor accompagnent ces révisions.