# Analyse S3 Université de Strasbourg : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE Analyse S3 à Strasbourg : topologie de R^n, différentiabilité, gradient, extremums, intégrales généralisées et séries numériques.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-de-strasbourg-analyse-s3
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code:** UE Analyse S3 (LJCTNECY) : Continuité et différentiabilité en dimension finie (EN26604) et Intégrales généralisées et séries numériques (EN26603)
- **Formation:** L2 Licence Mathématiques (parcours MA, MF, préparation au Capes, mathématiques et santé), semestre 3
- **Volume horaire:** 28 h de CM et 46 h de TD (dimension finie) ; 16 h de CM et 24 h de TD (intégrales et séries)
- **Contenu:** Topologie métrique de R^n, continuité, dérivées directionnelles, gradient, différentielle, théorème de Schwarz, Taylor à deux variables, extremums ; séries numériques, critères de Cauchy et de d'Alembert, séries alternées, intégrales généralisées, intégrales à paramètres
- **Cours précédent:** UE Analyse S2
- **S'entraîner ici:** [Calcul 3](/learn/calculus-3), unité dérivées partielles, et l'unité séries de [Calcul 2](/learn/calculus-2)

## À retenir

- L'UE Analyse S3 de la L2 de mathématiques à Strasbourg réunit deux cours : Continuité et différentiabilité en dimension finie, et Intégrales généralisées et séries numériques.
- Le premier introduit la topologie de R^n et le calcul différentiel à plusieurs variables, jusqu'aux extremums.
- Le second étudie la convergence des séries et des intégrales généralisées, les intégrales à paramètres et la fonction Gamma.
- L'UE fait suite à Analyse S2 et prépare l'UE Analyse S4 (suites et séries de fonctions, intégration en dimension finie).

**Analyse S3** est l'UE d'analyse du troisième semestre de la licence de mathématiques de l'Université de Strasbourg. Elle ouvre deux chantiers à la fois : le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, et la convergence des séries et des intégrales généralisées. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

## Ce que couvre Analyse S3

**Continuité et différentiabilité en dimension finie.** Selon la fiche officielle, ce cours commence par la topologie métrique de $\mathbb{R}^n$ : espaces vectoriels normés, normes usuelles, ouverts, fermés, compacts, connexes par arcs, suites et complétude. Il traite ensuite la continuité (surtout en 2 et 3 variables), puis la différentiabilité : dérivées directionnelles, gradient, différentielle et sa matrice, inégalité des accroissements finis, classes $C^n$, théorème de Schwarz, formule de Taylor à deux variables, extremums locaux et premiers exemples d'extremums liés.

**Intégrales généralisées et séries numériques.** Ce cours étudie l'échelle de Riemann, la convergence absolue et les critères de Cauchy et de d'Alembert, les séries alternées avec le test de Dirichlet et la sommation par parties, et les réarrangements (théorème de Riemann). Côté intégrales : convergence absolue, critère d'Abel, comparaison série-intégrale et intégrales à paramètres, avec l'exemple de la fonction Gamma.

En termes nord-américains, l'UE combine la **partie dérivées partielles d'un Calcul 3** et la **partie séries et intégrales impropres d'un Calcul 2**, avec la rigueur d'un cours d'analyse.

## Plan des notions d'Analyse S3

| Notion d'Analyse S3 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Distances et normes dans R^n | [Points et distances dans l'espace](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Produits scalaire et vectoriel](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Fonctions de plusieurs variables, continuité | [Fonctions de plusieurs variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) |
| Dérivées partielles et directionnelles | [Dérivées partielles](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Gradient et dérivée directionnelle](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Différentielle et DL d'ordre 1 | [Plans tangents](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Approximation linéaire](/blog/linear-approximation) |
| Composition | [Règle de dérivation en chaîne](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Dérivée en chaîne](/rules/chain-rule) |
| Théorème de Schwarz | [Dérivées partielles secondes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Théorème de Clairaut-Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) |
| Extremums locaux et liés | [Points critiques](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Multiplicateurs de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Échelle de Riemann | [Intégrale et séries de Riemann](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Cauchy et d'Alembert | [Critères du rapport et de la racine](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Critère du rapport](/rules/ratio-test) |
| Séries alternées | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) |
| Intégrales généralisées | [Intégrer jusqu'à l'infini](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Intégrales impropres](/blog/improper-integrals) |

## Analyse S3 dans le parcours

| UE | Semestre | Contenu |
| --- | --- | --- |
| Analyse S1 | S1 | Calcul : limites, primitives, équations différentielles |
| Analyse S2 | S2 | Réels, suites, continuité, accroissements finis, intégrale, Taylor |
| Analyse S3 | S3 | Calcul différentiel dans R^n, intégrales généralisées, séries |
| Analyse S4 | S4 | Suites et séries de fonctions, intégration en dimension finie |

Voir les guides d'[Analyse S1](/courses/universite-de-strasbourg-analyse-s1) et d'[Analyse S2](/courses/universite-de-strasbourg-analyse-s2).

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse S3

**1. Gradient et dérivée directionnelle.** Pour $f(x, y) = x^2 y$, on a $\nabla f(x, y) = (2xy,\ x^2)$. Au point $(1, 2)$, dans la direction unitaire $u = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ :

$$D_u f(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot u = (4, 1) \cdot \left(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}\right) = \frac{16}{5}$$

**2. Point critique.** Pour $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$, le gradient s'annule seulement en $(0, 0)$. La hessienne $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ a un déterminant $3 > 0$ et une trace positive : c'est un minimum local (et global).

**3. Fonction Gamma.** L'intégrale $\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x - 1} e^{-t}\,dt$ converge pour $x > 0$. Par intégration par parties, $\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)$, et comme $\Gamma(1) = 1$, on obtient $\Gamma(n + 1) = n!$.

## Comment réussir Analyse S3

- **Calculez beaucoup de dérivées partielles.** C'est le geste de base du calcul différentiel ; il devient automatique avec la pratique sur nos [exercices](/practice).
- **Visualisez en dimension 2** : dessinez ouverts, boules et courbes de niveau avant de raisonner en dimension $n$.
- **Ayez une méthode fixe pour la convergence** : échelle de Riemann, équivalents, d'Alembert, puis Abel ou Dirichlet pour les cas semi-convergents. La leçon [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) aide.
- **Gardez le [formulaire](/formulas) à portée de main** et relisez les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** une fonction peut avoir des dérivées partielles en un point sans y être différentiable, ni même continue. L'exemple classique $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ (prolongée par 0) mérite d'être retenu.

## Questions fréquentes

### Que couvre l'UE Analyse S3 à l'Université de Strasbourg ?

D'un côté, la topologie métrique de R^n, la continuité des fonctions de plusieurs variables et la différentiabilité (gradient, différentielle, théorème de Schwarz, Taylor à deux variables, extremums). De l'autre, les séries numériques (échelle de Riemann, Cauchy, d'Alembert, séries alternées, réarrangements) et les intégrales généralisées, avec les intégrales à paramètres.

### Quelle UE suit Analyse S3 ?

Au semestre 4, l'UE Analyse S4 comprend les cours Suites et séries de fonctions et Intégration en dimension finie.

### Analyse S3 est-elle difficile ?

Elle combine deux sujets nouveaux, la topologie de R^n et les critères de convergence fins (Abel, Dirichlet, semi-convergence). Le volume de TD est important, et un entraînement régulier sur les calculs de dérivées partielles et la nature des séries aide beaucoup.

### Comment préparer Analyse S3 ?

Revoyez les développements limités et les équivalents d'Analyse S2, ainsi que l'algèbre linéaire de L1 pour la différentielle. Les leçons de PracticeCalculus sur les dérivées partielles et les critères de convergence donnent la pratique de calcul nécessaire.