# MAT252 Analyse réelle UGA : programme, guide d'étude et exercices

> Guide d'étude de l'UE MAT252 Analyse réelle à l'Université Grenoble Alpes : topologie de R, suites, continuité, Taylor et intégrale de Riemann, avec exercices.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-grenoble-alpes-mat252
Mis à jour : 2026-11-08

## En bref

- **Code de l'UE:** MAT 252 (code Apogée GVX2MT20)
- **Crédits:** 6 ECTS
- **Semestre:** Semestre 2 (printemps), Licence Mathématiques
- **Volume horaire:** 22 h de cours magistraux et 36 h de travaux dirigés
- **Composante:** Département Sciences Drôme Ardèche (DSDA), campus Valence - Briffaut
- **Prérequis recommandés:** UE Notions de base en algèbre et analyse (MAT 151)
- **Contenu:** Topologie de R, suites numériques, critère de Cauchy, fonctions et continuité, dérivabilité, théorèmes de Rolle et de Taylor, développements limités, intégrale de Riemann et primitives
- **UE suivante:** MAT 354 Séries et intégrales
- **S'entraîner ici:** [Limites](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit), [applications de la dérivée](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) et [intégrales](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) de Calcul 1

## À retenir

- MAT252 Analyse réelle est une UE de 6 ECTS du semestre 2 de la Licence Mathématiques de l'UGA, au campus de Valence.
- Elle apporte les connaissances de base en analyse de première année : suites, continuité, dérivabilité et intégrale.
- Elle couvre les théorèmes de Rolle et de Taylor, les développements limités et l'intégrale de Riemann.
- Elle prépare MAT354 Séries et intégrales, qui la cite dans ses prérequis.

**MAT252 Analyse réelle** est l'UE d'analyse du second semestre de la **Licence Mathématiques** à l'Université Grenoble Alpes, telle qu'elle est enseignée au campus de Valence par le Département Sciences Drôme Ardèche. Son objectif officiel est d'apporter les connaissances de base en analyse de première année. Après MAT151, plus calculatoire, MAT252 introduit les définitions rigoureuses et les grands théorèmes. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs.

## Ce que couvre MAT252

D'après la fiche officielle de l'UGA, MAT252 vaut 6 ECTS et se déroule au semestre 2 (printemps, de janvier à avril ou mai). Elle compte 22 heures de cours et 36 heures de travaux dirigés. Le prérequis recommandé est l'UE MAT151. Le contenu officiel se décline en trois blocs :

- topologie de $\mathbb{R}$, suites numériques, critère de Cauchy, fonctions, continuité ;
- dérivabilité, théorèmes de Rolle et de Taylor, développements limités ;
- intégrale de Riemann et primitives.

Comparée à un cursus nord-américain, MAT252 couvre le cœur de **Calcul 1** (limites, continuité, dérivées, intégrale) avec la rigueur d'un premier cours d'analyse réelle, et les polynômes de Taylor que l'on voit d'habitude en **Calcul 2**.

## Plan des notions de MAT252

| Notion de MAT252 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Suites numériques | [Suites et leurs limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) |
| Limites de fonctions | [Qu'est-ce qu'une limite ?](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit), [formes 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) | [Règles sur les limites](/rules/limit-laws) |
| Continuité | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity), [TVI](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem) | [Valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem), [continuité](/blog/continuity) |
| Dérivabilité | [Définition par la limite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition), [dérivabilité](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) | [Dérivée par la limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Rolle et accroissements finis | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Rolle](/theorems/rolles-theorem), [accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) |
| Taylor et développements limités | [Polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials), [estimer l'erreur](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) | [Théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Limites par développements | [Règle de l'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule) | [Règle de l'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) |
| Intégrale de Riemann | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums), [aire algébrique](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Primitives | [Théorème fondamental](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) | [Théorème fondamental](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |

## La suite d'analyse à l'UGA (Valence)

| UE | Semestre | Contenu |
| --- | --- | --- |
| MAT151 Notions de base en algèbre et analyse | S1 | Raisonnement, complexes, dérivées, primitives |
| MAT252 Analyse réelle | S2 | Suites, continuité, Taylor, intégrale de Riemann |
| MAT354 Séries et intégrales | Automne suivant | Séries numériques, intégrales généralisées |

Voir aussi les guides de [MAT151](/courses/universite-grenoble-alpes-mat151) et de [MAT354](/courses/universite-grenoble-alpes-mat354).

## Exemples d'exercices au niveau de MAT252

**1. Limite par développement limité.** Avec $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ :

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

**2. Théorème de Rolle.** Si $f(x) = x^3 - x$ sur $[0, 1]$, alors $f(0) = f(1) = 0$, donc il existe $c \in \,]0, 1[$ avec $f'(c) = 0$, ici $c = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

**3. Intégrale.**

$$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = 2$$

## Comment réussir MAT252

- **Connaissez les énoncés exacts.** Les hypothèses de Rolle et des accroissements finis (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l'ouvert) sont souvent demandées.
- **Apprenez les développements limités usuels** de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1 + x)$ et $(1 + x)^\alpha$.
- **Gardez le calcul en forme.** Limites, dérivées et intégrales doivent rester rapides. Nos [exercices](/practice) y aident.
- **Repérez les pièges**, par exemple oublier la valeur absolue dans une primitive de $\frac{1}{x}$. Voir les [erreurs fréquentes](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** pour une limite en $0$ de forme $\frac{0}{0}$, un développement limité à l'ordre du dénominateur suffit presque toujours, et il évite d'appliquer l'Hôpital plusieurs fois.

## Questions fréquentes

### Que couvre MAT252 Analyse réelle à l'UGA ?

La fiche officielle liste la topologie de R, les suites numériques et le critère de Cauchy, les fonctions et la continuité, la dérivabilité, les théorèmes de Rolle et de Taylor, les développements limités, l'intégrale de Riemann et les primitives.

### Quel est le prérequis de MAT252 ?

La fiche recommande d'avoir suivi l'UE Notions de base en algèbre et analyse (MAT151) au semestre 1.

### Combien d'heures compte MAT252 ?

L'UE compte 22 heures de cours magistraux et 36 heures de travaux dirigés, pour 6 ECTS.

### Quelle UE vient après MAT252 ?

L'UE Séries et intégrales (MAT354), au semestre d'automne suivant, demande en prérequis le contenu de MAT151 et MAT252, en particulier les limites, les suites, les primitives et les développements limités.

### Comment préparer l'examen de MAT252 ?

Revoyez les définitions et énoncés de théorèmes, puis entraînez-vous sur les calculs de limites, les développements limités et les intégrales. Les leçons de Calcul 1 sur PracticeCalculus couvrent la partie calculatoire.