# MAT354 Séries et intégrales UGA : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE MAT354 Séries et intégrales à l'Université Grenoble Alpes : séries numériques, intégrale de Riemann et intégrales généralisées.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-grenoble-alpes-mat354
Mis à jour : 2026-11-08

## En bref

- **Code de l'UE:** MAT 354 (code Apogée GVX3MT17)
- **Crédits:** 6 ECTS
- **Période:** Automne (septembre à décembre ou janvier)
- **Diplômes:** Licence Mathématiques, Licence Physique, Licence Informatique
- **Composante:** Département Sciences Drôme Ardèche (DSDA), campus Valence - Briffaut
- **Prérequis recommandés:** Contenu des UE MAT151 et MAT252 : limites, suites, calcul de primitives, développements limités, intégrales
- **Contenu:** Séries convergentes et divergentes, séries à termes positifs, convergence absolue, comparaison série-intégrale, séries alternées ; construction de l'intégrale de Riemann, sommes de Riemann, méthodes de calcul, intégrales généralisées, convergence absolue et semi-convergence
- **S'entraîner ici:** [Suites et séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) et [intégrales impropres](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) de Calcul 2

## À retenir

- MAT354 Séries et intégrales est une UE de 6 ECTS du semestre d'automne à l'UGA (campus de Valence), commune aux licences de mathématiques, physique et informatique.
- Elle se divise en deux parties de volume égal : les séries numériques, puis l'intégrale de Riemann et les intégrales généralisées.
- Elle suppose acquis le contenu de MAT151 et MAT252, en particulier les développements limités et le calcul de primitives.
- Son objectif est de savoir étudier la convergence d'une série ou d'une intégrale généralisée avec les outils classiques de l'analyse.

**MAT354 Séries et intégrales** est une UE d'analyse du semestre d'automne à l'Université Grenoble Alpes, enseignée au campus de Valence et commune aux licences de mathématiques, de physique et d'informatique. Elle prolonge MAT151 et MAT252 en étudiant deux questions de convergence : quand une somme infinie a-t-elle un sens, et quand une intégrale sur un domaine non borné ou d'une fonction non bornée converge-t-elle ? Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs.

## Ce que couvre MAT354

La fiche officielle de l'UGA indique 6 ECTS et une UE en deux parties de volume égal. Le syllabus officiel est le suivant :

- **Séries numériques** : séries convergentes et divergentes, séries à termes réels positifs, séries absolument convergentes, comparaison série-intégrale, séries alternées.
- **Intégrales** : construction rigoureuse de l'intégrale de Riemann et ses propriétés, sommes de Riemann, méthodes de calcul d'intégrales, intégrales généralisées, convergence absolue et semi-convergence.

Les objectifs précisent qu'il faut savoir étudier la convergence d'une série et d'une intégrale généralisée avec les outils classiques (comparaison, développements limités) et connaître la construction de l'intégrale de Riemann avec ses applications, dont le théorème fondamental de l'analyse. Les prérequis recommandés sont les contenus de MAT151 et MAT252.

En termes nord-américains, MAT354 correspond à l'unité suites et séries et aux intégrales impropres de **Calcul 2**, avec une construction rigoureuse de l'intégrale.

## Plan des notions de MAT354

| Notion de MAT354 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Séries et sommes partielles | [Séries et sommes partielles](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums), [divergence grossière](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) | [Test du terme général](/rules/nth-term-test) |
| Séries géométriques | [Séries géométriques](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) | [Somme géométrique](/rules/geometric-series-formula), [séries géométriques](/blog/geometric-series) |
| Séries à termes positifs | [Comparaison](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests), [d'Alembert et Cauchy](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Critère de d'Alembert](/rules/ratio-test) |
| Comparaison série-intégrale | [Critère de l'intégrale et séries de Riemann](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Séries alternées | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) |
| Sommes de Riemann | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums), [trapèzes](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Méthodes de calcul | [Intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts), [fractions partielles](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Intégration par parties](/blog/integration-by-parts) |
| Intégrales sur un intervalle non borné | [Intégrer jusqu'à l'infini](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Intégrales impropres](/blog/improper-integrals) |
| Fonctions non bornées et comparaison | [Discontinuités infinies](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities), [comparaison](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test) | |

## La suite d'analyse à l'UGA (Valence)

| UE | Semestre | Contenu |
| --- | --- | --- |
| MAT151 Notions de base en algèbre et analyse | S1 | Dérivées, primitives, équations différentielles |
| MAT252 Analyse réelle | S2 | Suites, continuité, Taylor, intégrale de Riemann |
| MAT354 Séries et intégrales | Automne suivant | Séries numériques, intégrales généralisées |

Voir les guides de [MAT151](/courses/universite-grenoble-alpes-mat151) et de [MAT252](/courses/universite-grenoble-alpes-mat252).

## Exemples d'exercices au niveau de MAT354

**1. Série de Riemann.** $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^p}$ converge si et seulement si $p > 1$. Donc $\sum \frac{1}{n\sqrt{n}}$ converge ($p = \frac{3}{2}$).

**2. Série alternée.** $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$ converge par le critère des séries alternées, mais pas absolument : elle est semi-convergente.

**3. Intégrale généralisée.**

$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^t = 1$$

## Comment réussir MAT354

- **Connaissez les références.** Séries géométriques, séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^p}$ et intégrales $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ servent de point de comparaison dans presque tous les exercices.
- **Utilisez les équivalents.** Pour une série à termes positifs, remplacer le terme général par un équivalent simple règle la plupart des cas.
- **Séparez convergence et calcul.** On montre d'abord que la série ou l'intégrale converge, on calcule ensuite si c'est demandé.
- **Entraînez-vous à choisir le critère.** La leçon [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) et nos [exercices](/practice) travaillent ce réflexe.

> **Astuce :** si le terme général ne tend pas vers $0$, la série diverge grossièrement. Vérifiez-le toujours en premier, c'est le test le plus rapide.

## Questions fréquentes

### Que couvre MAT354 Séries et intégrales ?

D'après la fiche officielle, l'UE traite les séries numériques (séries convergentes et divergentes, à termes positifs, absolument convergentes, comparaison série-intégrale, séries alternées) puis la construction de l'intégrale de Riemann, les méthodes de calcul et les intégrales généralisées.

### Quels sont les prérequis de MAT354 ?

La fiche recommande le contenu des UE MAT151 et MAT252 : limites, suites, techniques de calcul de primitives, développements limités et intégrales.

### Pour quels diplômes MAT354 est-elle proposée ?

La fiche cite la Licence Mathématiques, la Licence Physique et la Licence Informatique. L'UE est enseignée au campus Valence - Briffaut.

### Quel est l'objectif de MAT354 ?

Savoir étudier la convergence d'une série et d'une intégrale généralisée par comparaison ou développements limités, et connaître la construction de l'intégrale de Riemann et ses applications, comme le théorème fondamental et la convergence des sommes de Riemann.

### Comment s'entraîner pour MAT354 ?

Multipliez les études de convergence : séries de Riemann, séries géométriques, critère de d'Alembert, séries alternées, intégrales de référence. L'unité suites et séries de Calcul 2 sur PracticeCalculus propose ces exercices corrigés.