# MAT-1900 Laval : contenu, guide d'étude et exercices > Guide d'étude de MAT-1900 à Laval : dérivées à plusieurs variables, nombres complexes, équations différentielles et exercices. Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-laval-mat-1900 Mis à jour : 2026-11-03 ## En bref - **Code du cours:** MAT-1900 - **Crédits:** 3 crédits (3 h de cours et 6 h de travail personnel par semaine) - **Préalables:** Préalables préuniversitaires, s'il y a lieu : MAT-0130, MAT-0150 et MAT-0260 - **Offert:** Automne, hiver et été (en classe et à distance selon la session) - **Contenu:** Calcul différentiel à plusieurs variables, nombres complexes et polynômes, équations différentielles du premier et du second ordre, équations linéaires d'ordre n à coefficients constants, systèmes d'équations différentielles - **Cours suivant:** MAT-1910 Mathématiques pour l'ingénierie II - **S'entraîner ici:** [Calcul 3](/learn/calculus-3), unité dérivées partielles, et les équations séparables de [Calcul 2](/learn/calculus-2) ## À retenir - MAT-1900 est le premier cours de mathématiques des programmes de génie à l'Université Laval, offert par le Département de mathématiques et de statistique. - Il réunit deux blocs : le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables et les équations différentielles, avec un détour par les nombres complexes et les polynômes. - Le cours vaut 3 crédits et se donne à chaque session, en classe ou à distance. - La suite naturelle est MAT-1910, consacrée aux intégrales multiples et au calcul vectoriel. **MAT-1900 Mathématiques pour l'ingénierie I** est le cours de mathématiques que les étudiants en génie de l'Université Laval suivent pour commencer leur formation en mathématiques. Il fait suite au calcul différentiel et intégral du cégep et ouvre directement sur les fonctions de plusieurs variables et les équations différentielles. Ce guide relie chaque notion du cours à des exercices interactifs, pour apprendre en résolvant des problèmes avec une rétroaction immédiate. ## Ce que couvre MAT-1900 Selon la fiche officielle du cours, MAT-1900 aborde d'abord le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, théorie et applications. Viennent ensuite les nombres complexes et les polynômes, puis les équations différentielles : premier ordre et premier degré (avec des méthodes numériques), certains types du second ordre, équations linéaires d'ordre $n$ à coefficients constants et systèmes d'équations différentielles. Le cours se termine par des applications. Comparé à une séquence nord-américaine classique, MAT-1900 correspond à la première moitié d'un **Calcul 3** (dérivées partielles, gradient, optimisation) combinée à une introduction aux **équations différentielles**. Le calcul à une variable est supposé acquis au cégep (cours MAT-0130, MAT-0150 et MAT-0260 si vous ne l'avez pas fait). ## Plan des notions de MAT-1900 Chaque ligne renvoie à une leçon pour s'exercer et à une page de référence qui explique l'idée. | Notion de MAT-1900 | S'exercer | Lire | | --- | --- | --- | | Fonctions de plusieurs variables | [Fonctions de plusieurs variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) | | Dérivées partielles et d'ordre supérieur | [Dérivées partielles](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Théorème de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) | | Dérivée en chaîne à plusieurs variables | [Règle de dérivation en chaîne](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Dérivée en chaîne](/rules/chain-rule) | | Plan tangent et approximation | [Plans tangents](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Approximation linéaire](/blog/linear-approximation) | | Gradient et dérivée directionnelle | [Gradient](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradient et dérivée directionnelle](/blog/gradient-and-directional-derivatives) | | Extremums et optimisation | [Points critiques](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Multiplicateurs de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) | | Nombres complexes et polynômes | [Fractions partielles](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Fonctions polynomiales](/functions/polynomial-functions) | | Équations du premier ordre | [Équations séparables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Fonction exponentielle naturelle](/functions/natural-exponential-function) | | Équations linéaires à coefficients constants | [Dérivée de e et ln](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials) | [Dérivées des exponentielles](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions) | ## MAT-1900 dans la séquence de Laval | Cours | Pour qui | Contenu principal | | --- | --- | --- | | MAT-1900 Mathématiques pour l'ingénierie I | Programmes de génie | Dérivées à plusieurs variables, nombres complexes, équations différentielles | | MAT-1920 Mathématiques pour scientifiques | Surtout biologie, biochimie, chimie, microbiologie | Dérivées à plusieurs variables, optimisation, équations différentielles appliquées | | MAT-1910 Mathématiques pour l'ingénierie II | Après MAT-1900 ou MAT-1920 | Intégrales multiples, champs de vecteurs, Stokes et Gauss | MAT-1900 et MAT-1920 mènent tous deux à [MAT-1910](/courses/universite-laval-mat-1910). Si vous êtes en mathématiques plutôt qu'en génie, le cours théorique de référence est [MAT-1100 Analyse I](/courses/universite-laval-mat-1100). Voir aussi le guide de [MAT-1920](/courses/universite-laval-mat-1920). ## Exemples d'exercices au niveau de MAT-1900 **1. Dérivées partielles.** Soit $f(x, y) = x^2 y + e^{xy}$. On dérive en traitant l'autre variable comme une constante : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y e^{xy}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x e^{xy}$$ **2. Racines complexes d'un polynôme.** Résoudre $z^2 + 2z + 5 = 0$. Le discriminant vaut $4 - 20 = -16$, donc $$z = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$$ **3. Équation linéaire à coefficients constants.** Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 0$. L'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$ se factorise en $(r - 1)(r - 2) = 0$, d'où $$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$ ## Comment réussir MAT-1900 - **Consolidez la dérivée en chaîne.** Les dérivées partielles, le gradient et les équations différentielles reposent tous sur la [dérivée en chaîne](/rules/chain-rule). Une révision rapide avec la leçon [Dérivée en chaîne : cas général](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) fait gagner beaucoup de temps. - **Faites quelques exercices chaque jour.** Le cours couvre deux grands sujets en une session. De courtes séances de [pratique](/practice) valent mieux qu'une longue révision la veille de l'examen. - **Gardez les formules sous les yeux.** Le [formulaire de calcul](/formulas) regroupe dérivées et primitives usuelles, utiles pour vérifier une solution d'équation différentielle. - **Vérifiez vos solutions.** Pour une équation différentielle, remplacez la solution dans l'équation : c'est le meilleur moyen d'attraper une erreur de signe. Notre liste des [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes) recense les plus courantes. > **Astuce :** pour trouver un extremum d'une fonction de deux variables, commencez toujours par résoudre $\nabla f = \vec{0}$, puis appliquez le test des dérivées secondes. C'est exactement la démarche de la leçon sur les [points critiques](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test). ## Questions fréquentes ### Qu'est-ce que le cours MAT-1900 à l'Université Laval ? MAT-1900, Mathématiques pour l'ingénierie I, est un cours de 3 crédits qui couvre le calcul différentiel des fonctions de plusieurs variables, les nombres complexes et les polynômes, puis les équations différentielles ordinaires et leurs applications. ### Quel cours suit MAT-1900 ? MAT-1910, Mathématiques pour l'ingénierie II, qui exige MAT-1900 (ou MAT-1920) comme préalable. On y passe aux intégrales simples et multiples, aux champs de vecteurs et aux théorèmes de Stokes et de Gauss. ### Le cours MAT-1900 est-il difficile ? Le rythme est soutenu, car deux grands sujets se partagent une seule session. Les étudiants qui révisent régulièrement les dérivées et l'exponentielle du cégep et qui font des exercices chaque semaine s'en sortent beaucoup mieux que ceux qui attendent l'examen. ### Comment se préparer à MAT-1900 ? Revoyez les règles de dérivation, en particulier la dérivée en chaîne et la dérivée de $e^{x}$, ainsi que la factorisation des polynômes. Le parcours Calcul 1 de PracticeCalculus permet de rafraîchir ces bases avant d'attaquer les dérivées partielles. ### Quelle est la différence entre MAT-1900 et MAT-1920 ? MAT-1900 s'adresse aux programmes de génie, alors que MAT-1920 vise surtout la biologie, la biochimie, la chimie et la microbiologie. Les deux mènent à MAT-1910.