# MAT-1910 Laval : contenu, guide d'étude et exercices

> Guide d'étude de MAT-1910 à Laval : intégrales multiples, coordonnées curvilignes, champs de vecteurs, Stokes et Gauss, avec exercices.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-laval-mat-1910
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code du cours:** MAT-1910
- **Crédits:** 3 crédits
- **Préalables:** MAT-1900 ou MAT-1920 (MAT-1920 peut être suivi en même temps)
- **Offert:** Automne, hiver et été (en classe et à distance selon la session)
- **Contenu:** Intégrales simples (calcul formel et numérique), intégrales multiples, coordonnées curvilignes, champs de vecteurs, intégrales de ligne et de surface, circulation, travail et flux, théorèmes de Stokes et de Gauss
- **Cours précédent:** MAT-1900 Mathématiques pour l'ingénierie I
- **S'entraîner ici:** [Calcul 3](/learn/calculus-3), unités intégrales multiples et calcul vectoriel

## À retenir

- MAT-1910 est le deuxième cours de mathématiques des programmes de génie à l'Université Laval, après MAT-1900.
- Il couvre l'intégration : intégrales simples, puis doubles et triples, en coordonnées cartésiennes et curvilignes.
- La seconde moitié porte sur le calcul vectoriel : champs de vecteurs, intégrales de ligne et de surface, et les théorèmes de Stokes et de Gauss.
- Le préalable est MAT-1900 ou MAT-1920, ce dernier pouvant être suivi en même temps.

**MAT-1910 Mathématiques pour l'ingénierie II** est le cours d'intégration et de calcul vectoriel des programmes de génie de l'Université Laval. Il suit MAT-1900 et donne les outils qu'utilisent ensuite l'électromagnétisme, la mécanique des fluides et le transfert de chaleur. Ce guide associe chaque notion du cours à des exercices interactifs, pour pratiquer chaque idée avec une correction immédiate.

## Ce que couvre MAT-1910

D'après la fiche officielle, le cours commence par les intégrales simples, traitées à la fois par calcul formel et par méthodes numériques. Il passe ensuite aux intégrales multiples et aux coordonnées curvilignes, avec leurs applications. La deuxième partie est consacrée au calcul des champs de vecteurs : intégrales sur des courbes et des surfaces, circulation, travail et flux. Le cours se conclut avec les théorèmes de Stokes et de Gauss et leurs applications en physique.

Dans une séquence nord-américaine, ce contenu correspond à la seconde moitié d'un **Calcul 3** (intégrales multiples et calcul vectoriel), précédée d'un retour sur l'intégration à une variable vue dans un **Calcul 2**.

## Plan des notions de MAT-1910

| Notion de MAT-1910 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Intégrales simples, calcul formel | [Intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Changement de variable](/blog/u-substitution), [intégration par parties](/blog/integration-by-parts) |
| Intégrales simples, approximation numérique | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Intégrales doubles | [Intégrales doubles sur un rectangle](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Intégrales doubles](/blog/double-integrals) |
| Régions générales et ordre d'intégration | [Changer l'ordre](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Intégrales doubles](/blog/double-integrals) |
| Coordonnées polaires, cylindriques, sphériques | [Coordonnées cylindriques et sphériques](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Jacobien](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) |
| Intégrales triples et applications | [Intégrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Aire, volume, masse](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) |
| Champs de vecteurs | [Champs de vecteurs](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) | [Produits scalaire et vectoriel](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Circulation et travail | [Intégrales de ligne](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Théorème de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Flux à travers une surface | [Intégrales de surface et flux](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Théorème de la divergence](/theorems/divergence-theorem) |
| Théorèmes de Stokes et de Gauss | [Stokes et divergence](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Théorème de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |

## MAT-1910 et les cours qui le précèdent

| Cours | Rôle dans la séquence | Sujet central |
| --- | --- | --- |
| MAT-1900 Mathématiques pour l'ingénierie I | Préalable (génie) | Dérivation à plusieurs variables, équations différentielles |
| MAT-1920 Mathématiques pour scientifiques | Préalable possible, peut être concomitant | Dérivation à plusieurs variables et modèles en sciences |
| MAT-1910 Mathématiques pour l'ingénierie II | Suite des deux cours | Intégration multiple et calcul vectoriel |

Si vous arrivez de [MAT-1900](/courses/universite-laval-mat-1900), vous connaissez déjà le gradient et les dérivées partielles, qui reviennent dans les champs conservatifs. Si vous venez de [MAT-1920](/courses/universite-laval-mat-1920), prévoyez une révision des vecteurs et du produit vectoriel.

## Exemples d'exercices au niveau de MAT-1910

**1. Intégrale double sur un rectangle.** Calculer $\iint_R xy\,dA$ avec $R = [0, 2] \times [0, 3]$ :

$$\int_0^2 \int_0^3 xy\,dy\,dx = \int_0^2 x \cdot \frac{9}{2}\,dx = \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$$

**2. Passage en coordonnées polaires.** Aire du disque de rayon $a$, avec $dA = r\,dr\,d\theta$ :

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{a} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{a^2}{2} = \pi a^2$$

**3. Travail d'un champ conservatif.** Pour $\vec{F} = \langle 2x, 2y \rangle = \nabla(x^2 + y^2)$, le travail de $(0, 0)$ à $(1, 2)$ ne dépend pas du chemin :

$$W = \varphi(1, 2) - \varphi(0, 0) = (1 + 4) - 0 = 5$$

## Comment réussir MAT-1910

- **Dessinez toujours la région.** La moitié des erreurs en intégrales multiples vient de bornes mal choisies. La leçon [Régions générales](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) entraîne précisément cette étape.
- **Choisissez le bon système de coordonnées.** Cercles et cylindres appellent les coordonnées polaires ou cylindriques, sphères les coordonnées sphériques. N'oubliez pas le jacobien ($r$ ou $\rho^2 \sin\varphi$).
- **Testez si le champ est conservatif** avant de paramétrer une courbe : cela peut transformer un long calcul en une simple différence de potentiel. Voir la leçon sur les [champs conservatifs](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields).
- **Pratiquez par petites doses** avec les [exercices](/practice) et gardez le [formulaire](/formulas) à portée de main pour les primitives usuelles.

> **Astuce :** devant une intégrale de flux sur une surface fermée, pensez d'abord au théorème de Gauss. Intégrer la divergence sur le volume est souvent bien plus simple que paramétrer chaque face.

## Questions fréquentes

### Qu'est-ce que le cours MAT-1910 à l'Université Laval ?

MAT-1910, Mathématiques pour l'ingénierie II, est un cours de 3 crédits sur l'intégration à une et plusieurs variables et le calcul vectoriel, jusqu'aux théorèmes de Stokes et de Gauss appliqués à la physique.

### Quels sont les préalables de MAT-1910 ?

Il faut avoir suivi MAT-1900 Mathématiques pour l'ingénierie I, ou MAT-1920 Mathématiques pour scientifiques. MAT-1920 peut aussi être suivi en même temps que MAT-1910.

### Le cours MAT-1910 est-il difficile ?

La difficulté vient surtout de la géométrie : bien dessiner la région d'intégration et choisir le bon système de coordonnées. Avec de la pratique régulière sur ces deux étapes, les calculs deviennent beaucoup plus routiniers.

### Comment se préparer à MAT-1910 ?

Révisez les techniques d'intégration à une variable (substitution, intégration par parties) et les vecteurs, en particulier le produit scalaire et le produit vectoriel. Les leçons de Calcul 2 et de Calcul 3 sur PracticeCalculus couvrent ces bases.

### Quelle est la différence entre le théorème de Stokes et celui de Gauss ?

Le théorème de Stokes relie la circulation d'un champ le long d'une courbe fermée au flux de son rotationnel à travers une surface. Le théorème de Gauss (ou de la divergence) relie le flux sortant d'une surface fermée à l'intégrale de la divergence sur le volume intérieur.