# MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II ULB : guide et exercices

> Guide d'étude de MATH-F201 à l'ULB : séries de fonctions, séries entières, Fourier, intégrales impropres, équations différentielles et analyse complexe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-libre-de-bruxelles-math-f201
Mis à jour : 2026-11-08

## En bref

- **Code du cours:** MATH-F201
- **Crédits:** 10 ECTS
- **Langue:** Français
- **Évaluation:** Examens écrits en janvier et en juin et travaux personnels
- **Prérequis:** Aucun cours prérequis listé sur la fiche
- **Contenu:** Suites et séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, intégrales sur un intervalle quelconque, intégrales à paramètres, transformation de Fourier, équations différentielles, fonctions d'une variable complexe
- **Cours précédent:** MATH-F101 Calcul différentiel et intégral I
- **S'entraîner ici:** [Séries entières](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) et [intégrales impropres](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) de Calcul 2

## À retenir

- MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II est un cours de 10 ECTS de l'Université libre de Bruxelles, qui prolonge MATH-F101.
- Il étudie les suites et séries de fonctions, les séries entières et les séries de Fourier.
- Il traite aussi les intégrales sur un intervalle quelconque, les intégrales à paramètres et la transformation de Fourier.
- Il se termine par les équations différentielles (Cauchy-Lipschitz) et les fonctions d'une variable complexe.

**MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II** est la suite de MATH-F101 à l'**Université libre de Bruxelles**. Là où le premier cours construit l'analyse à une et plusieurs variables, MATH-F201 étudie des objets plus riches : séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètres, équations différentielles et fonctions d'une variable complexe. Ce guide relie les notions du cours qui ont un équivalent pratique à des exercices interactifs.

## Ce que couvre MATH-F201

D'après la fiche officielle de l'ULB (2025-2026), le cours vaut 10 ECTS et est enseigné en français. L'évaluation comprend des examens écrits en janvier et en juin et des travaux personnels. La section des cours prérequis est vide, mais le contenu prolonge directement MATH-F101. Le programme comporte quatre parties :

1. **Suites et séries de fonctions** : convergence simple, absolue, uniforme et normale, continuité et dérivabilité de la limite, séries entières, séries de Fourier (Dirichlet, Bessel, Parseval).
2. **Intégrales sur un intervalle quelconque** : intégrales absolument et simplement convergentes, intégrales à paramètres, transformation de Fourier sur la classe de Schwartz.
3. **Équations différentielles** : problème de Cauchy, réduction à l'ordre 1, théorème de Cauchy-Lipschitz local et global, systèmes linéaires, lemme de Gronwall, formule de Duhamel, exponentielle de matrice.
4. **Fonctions d'une variable complexe** : équations de Cauchy-Riemann, fonctions holomorphes, théorème de Cauchy, singularités isolées, théorème de Liouville, théorème des résidus.

PracticeCalculus couvre surtout les parties calculatoires : séries entières, développements de Taylor, intégrales impropres et premières équations différentielles. Les séries de Fourier et l'analyse complexe dépassent nos leçons.

## Plan des notions de MATH-F201

| Notion de MATH-F201 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Rappels sur les séries numériques | [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test), [séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Séries entières et rayon | [Rayon de convergence](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) | [Séries entières](/blog/power-series) |
| Développement en série | [Séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series), [estimer avec Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series), [théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Intégrales sur un intervalle non borné | [Intégrer jusqu'à l'infini](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Intégrales impropres](/blog/improper-integrals) |
| Intégrales de fonctions non bornées | [Discontinuités infinies](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities) | |
| Critères de comparaison | [Comparaison pour les intégrales](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test) | |
| Dériver sous l'intégrale | [Théorème fondamental, partie 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Théorème fondamental](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) |
| Équations différentielles | [Variables séparables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations), [croissance logistique](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) | |
| Approximation numérique des solutions | [Méthode d'Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method), [champs de pentes](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) | |

## MATH-F101 puis MATH-F201

| Cours | Crédits | Contenu |
| --- | --- | --- |
| MATH-F101 Calcul différentiel et intégral I | 15 ECTS | Une variable, plusieurs variables, analyse vectorielle |
| MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II | 10 ECTS | Séries de fonctions, Fourier, intégrales à paramètres, EDO, analyse complexe |

Le guide de [MATH-F101](/courses/universite-libre-de-bruxelles-math-f101) détaille le premier cours.

## Exemples d'exercices au niveau de MATH-F201

**1. Rayon de convergence.** Pour $\sum \frac{x^n}{n\,2^n}$, le critère de d'Alembert donne $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \frac{1}{2}$, donc $R = 2$.

**2. Intégrale impropre.**

$$\int_0^{\infty} x e^{-x}\,dx = \left[ -(x + 1)e^{-x} \right]_0^{\infty} = 1$$

**3. Équation différentielle.** La solution de $y' = y^2$ avec $y(0) = 1$ est $y(x) = \frac{1}{1 - x}$, définie seulement pour $x < 1$ : une solution peut exploser en temps fini, ce que le théorème de Cauchy-Lipschitz local permet.

## Comment réussir MATH-F201

- **Distinguez les modes de convergence.** Convergence simple, uniforme et normale n'ont pas les mêmes conséquences : faites un tableau de ce que chacune garantit.
- **Maîtrisez les séries entières usuelles** de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1 - x}$ et $\ln(1 + x)$.
- **Gardez les intégrales de référence en tête.** $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ et $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ décident de la plupart des convergences.
- **Pratiquez le calcul.** Nos [exercices](/practice) sur les séries et les intégrales impropres donnent une correction immédiate.

> **Astuce :** pour trouver un rayon de convergence, commencez par le critère de d'Alembert sur $|a_n x^n|$, puis traitez séparément les deux bornes de l'intervalle.

## Questions fréquentes

### Que couvre MATH-F201 à l'ULB ?

La fiche officielle décrit quatre parties : suites et séries de fonctions (modes de convergence, séries entières, séries de Fourier), intégrales sur un intervalle quelconque et intégrales à paramètres avec la transformation de Fourier, équations différentielles avec le théorème de Cauchy-Lipschitz, et fonctions d'une variable complexe jusqu'au théorème des résidus.

### Combien de crédits vaut MATH-F201 ?

Le cours vaut 10 ECTS. L'évaluation comprend des examens écrits en janvier et en juin ainsi que des travaux personnels.

### MATH-F201 a-t-il des prérequis ?

La section des cours prérequis de la fiche est vide. Dans les faits, le cours prolonge MATH-F101 Calcul différentiel et intégral I, dont il utilise les suites, les séries, Taylor et l'intégrale de Riemann.

### MATH-F201 correspond à quel cours nord-américain ?

Il reprend la fin de Calcul 2 (séries entières, intégrales impropres) puis va plus loin : séries de Fourier, équations différentielles et analyse complexe, qui relèvent de cours plus avancés.

### Comment s'entraîner pour MATH-F201 ?

Révisez les critères de convergence et les séries entières, puis les intégrales impropres. L'unité séries entières et l'unité intégrales impropres de Calcul 2 sur PracticeCalculus en couvrent la partie calculatoire.