# Analyse 2 pour mathématiciens Lyon 1 (MAT1057L) : guide et exercices

> Guide d'étude d'Analyse 2 pour mathématiciens (MAT1057L) à Lyon 1 : accroissements finis, Taylor, convexité, intégrale et équations différentielles.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-lyon-1-mat1057l
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code Apogée:** MAT1057L
- **Crédits:** 6 ECTS
- **Volume horaire:** 24 h de cours magistraux, 30 h de TD et 6 h de TP (indicatif)
- **Contenu:** Représentation des réels, dérivabilité, accroissements finis, suites récurrentes, fonctions de classe C^k, développements limités, convexité, Taylor-Lagrange, méthode de Newton, intégrale de Riemann et primitives, équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
- **UE précédente:** Analyse 1 pour mathématiciens (MAT1055L)
- **UE suivante:** Analyse 3 (MAT2092L), où sont faites les preuves sur l'intégrale de Riemann
- **S'entraîner ici:** Unités applications des dérivées et intégrales de [Calcul 1](/learn/calculus-1), techniques d'intégration de [Calcul 2](/learn/calculus-2)

## À retenir

- Analyse 2 pour mathématiciens (MAT1057L) est une UE de L1 de 6 ECTS à l'Université Claude Bernard Lyon 1.
- Elle approfondit la dérivation (accroissements finis, développements limités, convexité, Taylor-Lagrange) et l'applique aux suites et à la méthode de Newton.
- Elle introduit l'intégrale de Riemann, les primitives et les équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.
- Les preuves de la théorie de l'intégrale sont reportées à l'UE Analyse 3.

**Analyse 2 pour mathématiciens (MAT1057L)** est l'UE qui suit Analyse 1 dans le parcours de L1 de l'Université Claude Bernard Lyon 1. Elle transforme la dérivée en outil puissant (accroissements finis, Taylor, convexité) puis introduit l'intégrale et les équations différentielles. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs pour apprendre en pratiquant.

## Ce que couvre Analyse 2 pour mathématiciens

D'après la fiche UE officielle, le programme s'ouvre sur la représentation binaire et décimale des réels (avec TP), la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ et la partie entière. Il traite ensuite la dérivabilité (dérivées à gauche et à droite, règles opératoires, caractérisation par un DL d'ordre 1), les extremums locaux, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis, et le lien entre dérivée et monotonie.

Suivent les suites récurrentes et leur vitesse de convergence, les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, les suites extraites, les fonctions de classe $C^k$, les développements limités avec Taylor-Young, la convexité, la formule de Taylor-Lagrange et la méthode de Newton. La dernière partie présente l'intégrale de Riemann (preuves reportées en Analyse 3), les primitives, l'intégration par parties, le changement de variables, les primitives de fractions rationnelles et Taylor avec reste intégral, puis les équations différentielles linéaires d'ordre 1 (variation de la constante) et d'ordre 2 à coefficients constants.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est la fin d'un **Calcul 1** (applications des dérivées, intégrales) et le début d'un **Calcul 2** (techniques d'intégration, Taylor).

## Plan des notions d'Analyse 2

| Notion d'Analyse 2 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Dérivabilité | [Quand la dérivée n'existe pas](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) | [Définition de la dérivée](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Extremums et points critiques | [Points critiques](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points) | [Théorème de Fermat](/theorems/fermats-theorem) |
| Accroissements finis | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem), [Rolle](/theorems/rolles-theorem) |
| Convexité | [Concavité et dérivée seconde](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) | [Étude de fonctions](/blog/curve-sketching-with-derivatives) |
| Développements limités, Taylor | [Polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Méthode de Newton | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Approximation linéaire](/blog/linear-approximation) |
| Intégrale de Riemann | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Primitives, théorème fondamental | [Évaluer une intégrale définie](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) | [Théorème fondamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Intégration par parties | [Intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Intégration par parties](/blog/integration-by-parts) |
| Fractions rationnelles | [Fractions partielles](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Décomposition en éléments simples](/blog/partial-fractions) |
| Équations différentielles linéaires | [Équations séparables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Fonction exponentielle naturelle](/functions/natural-exponential-function) |

## Analyse 2 entre Analyse 1 et Analyse 3

| UE | Code | Contenu principal |
| --- | --- | --- |
| Analyse 1 pour mathématiciens | MAT1055L | Réels, fonctions, limites, continuité, dérivées, suites |
| Analyse 2 pour mathématiciens | MAT1057L | Accroissements finis, DL, convexité, intégrale, équations différentielles |
| Analyse 3 | MAT2092L | Intégrale de Riemann rigoureuse, intégrales généralisées, séries |

Voir les guides d'[Analyse 1](/courses/universite-lyon-1-mat1055l) et d'[Analyse 3](/courses/universite-lyon-1-mat2092l).

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 2

**1. Inégalité des accroissements finis.** Sur $\mathbb{R}$, $|\sin'(x)| = |\cos x| \leq 1$, donc pour tous $a, b$ :

$$|\sin b - \sin a| \leq |b - a|$$

**2. Primitive d'une fraction rationnelle.** Avec $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ :

$$\int_1^2 \frac{dx}{x(x + 1)} = \left[ \ln \frac{x}{x + 1} \right]_1^2 = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3}$$

**3. Variation de la constante.** Pour $y' + y = 1$, la solution homogène est $Ce^{-x}$ ; une solution particulière constante est $y = 1$, d'où

$$y(x) = 1 + Ce^{-x}$$

## Comment réussir Analyse 2

- **Apprenez les DL usuels** et entraînez-vous à les composer : ils servent pour les limites, les extremums et l'étude asymptotique.
- **Vérifiez vos primitives en dérivant**, avec le [formulaire](/formulas) à côté.
- **Pratiquez les techniques d'intégration** jusqu'à reconnaître la bonne au premier coup d'œil, avec la leçon [Choisir une stratégie](/learn/calculus-2/integration-techniques/choosing-a-strategy) et nos [exercices](/practice).
- **Relisez les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes)**, surtout les oublis de constante et les erreurs de signe.

> **Astuce :** la méthode de Newton $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ n'est rien d'autre que l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses. La dessiner une fois aide à retenir la formule.

## Questions fréquentes

### Que couvre Analyse 2 pour mathématiciens à Lyon 1 ?

La dérivabilité et ses applications (extremums, accroissements finis, monotonie), les suites récurrentes, les fonctions de classe C^k, les développements limités et Taylor-Young, la convexité, Taylor-Lagrange, la méthode de Newton, l'intégrale de Riemann avec primitives, intégration par parties et changement de variables, et les équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.

### Y a-t-il des TP en Analyse 2 ?

Oui, la fiche prévoit 6 heures de TP, notamment pour la représentation binaire des réels, en plus de 24 heures de cours et 30 heures de TD.

### Analyse 2 est-elle plus difficile qu'Analyse 1 ?

Elle est plus technique : développements limités, intégrales et équations différentielles demandent beaucoup de calcul précis. La pratique régulière de ces gestes est ce qui fait la différence.

### Comment réviser les développements limités ?

Apprenez les DL usuels en 0, puis entraînez-vous à les additionner, multiplier et composer. Les leçons sur les polynômes de Taylor et les séries de Maclaurin de PracticeCalculus en proposent de nombreux exemples.

### Quelle est la différence avec Analyse 2 pour informaticiens ?

Lyon 1 propose aussi une UE Analyse 2 pour informaticiens (MAT1058L), de même volume. Ce guide porte sur la version pour mathématiciens ; consultez la fiche de l'autre UE pour son programme exact.