# Analyse 3 Lyon 1 (MAT2092L) : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE Analyse 3 (MAT2092L) à Lyon 1 : bornes, intégrale de Riemann, calcul approché, intégrales généralisées et séries numériques.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-lyon-1-mat2092l
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Code Apogée:** MAT2092L
- **Crédits:** 6 ECTS
- **Volume horaire:** 24 h de cours magistraux, 33 h de TD et 3 h de TP (indicatif)
- **Contenu:** Bornes supérieure et inférieure, Bolzano-Weierstrass, continuité uniforme, intégrale de Riemann, méthodes des rectangles et des trapèzes, intégrales généralisées, séries numériques, comparaison série-intégrale, séries alternées
- **UE précédente:** Analyse 2 pour mathématiciens (MAT1057L)
- **S'entraîner ici:** Unités [suites et séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) et intégrales impropres de [Calcul 2](/learn/calculus-2)

## À retenir

- Analyse 3 (MAT2092L) est une UE de 6 ECTS de l'Université Claude Bernard Lyon 1.
- Elle reprend rigoureusement les réels et l'intégrale de Riemann, dont les preuves avaient été reportées en Analyse 2.
- Elle couvre le calcul approché d'intégrales, les intégrales généralisées et les séries numériques.
- Le critère d'Abel est explicitement hors programme.

**Analyse 3 (MAT2092L)** est l'UE de l'Université Claude Bernard Lyon 1 qui donne leurs fondations rigoureuses aux outils vus en première année, puis les prolonge vers l'infini : intégrales généralisées et séries numériques. Ce guide relie chaque notion du programme à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

## Ce que couvre Analyse 3

Selon la fiche UE officielle, le programme comporte six parties. D'abord les nombres réels et les suites : bornes supérieure et inférieure, convergence des suites monotones bornées, suites extraites, théorèmes de Bolzano-Weierstrass et de Weierstrass, continuité uniforme. Ensuite l'intégrale de Riemann : fonctions en escalier et continues par morceaux, intégrale sur un segment, sommes de Riemann et théorème fondamental. Puis le calcul approché : méthodes des rectangles et des trapèzes, polynômes d'interpolation de Lagrange et formules de quadrature.

La seconde moitié porte sur les intégrales généralisées (Riemann et Bertrand, comparaison, convergence absolue, exemple semi-convergent, changement de variables et intégration par parties) et sur les séries numériques (séries à termes positifs, comparaison, critères de Cauchy et de d'Alembert, comparaison série-intégrale, produit de Cauchy, séries semi-convergentes et alternées). Le critère d'Abel est hors programme.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est l'équivalent des chapitres **intégrales impropres et séries d'un Calcul 2**, avec la rigueur d'un cours de **real analysis**.

## Plan des notions d'Analyse 3

| Notion d'Analyse 3 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Suites monotones et extraites | [Suites et leurs limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) |
| Intégrale de Riemann, sommes de Riemann | [Aire avec des rectangles](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Sommes de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Théorème fondamental | [Dérivée d'une intégrale](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [Théorème fondamental, partie 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) |
| Calcul approché | [L'intégrale comme aire](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) | [Propriétés de l'intégrale](/rules/definite-integral-properties) |
| Intégrales sur un intervalle non borné | [Intégrer jusqu'à l'infini](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Intégrales impropres](/blog/improper-integrals) |
| Intégrandes non bornées | [Intégrandes non bornées](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities) | [Intégrales impropres](/blog/improper-integrals) |
| Comparaison des intégrales | [Critère de comparaison](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Séries à termes positifs | [Critères de comparaison](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Cauchy et d'Alembert | [Critères du rapport et de la racine](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Critère du rapport](/rules/ratio-test) |
| Comparaison série-intégrale | [Intégrale et séries de Riemann](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) | [Série géométrique](/rules/geometric-series-formula) |
| Séries alternées | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) |

## Analyse 3 dans le parcours

| UE | Code | Contenu principal |
| --- | --- | --- |
| Analyse 1 pour mathématiciens | MAT1055L | Réels, fonctions, limites, continuité, dérivées, suites |
| Analyse 2 pour mathématiciens | MAT1057L | DL, convexité, intégrale (sans preuves), équations différentielles |
| Analyse 3 | MAT2092L | Intégrale rigoureuse, quadrature, intégrales généralisées, séries |

Voir les guides d'[Analyse 1](/courses/universite-lyon-1-mat1055l) et d'[Analyse 2](/courses/universite-lyon-1-mat1057l).

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 3

**1. Méthode des trapèzes.** Pour $\int_0^1 x^2\,dx$ avec deux sous-intervalles ($h = \frac{1}{2}$) :

$$T = \frac{h}{2}\left( f(0) + 2f\left(\tfrac{1}{2}\right) + f(1) \right) = \frac{1}{4}\left( 0 + \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{3}{8}$$

contre la valeur exacte $\frac{1}{3}$.

**2. Intégrale généralisée par comparaison.** Sur $[1, +\infty[$, $0 \leq \frac{1}{x^2 + x} \leq \frac{1}{x^2}$ et $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$ converge, donc $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2 + x}$ converge (elle vaut $\ln 2$).

**3. Série alternée.** La série $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge par le critère des séries alternées, car $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers 0. Elle n'est pas absolument convergente, puisque $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge : elle est semi-convergente.

## Comment réussir Analyse 3

- **Connaissez les familles de référence** : Riemann et Bertrand, pour les séries comme pour les intégrales.
- **Vérifiez le signe avant de comparer.** Les théorèmes de comparaison et d'équivalence ne valent que pour des fonctions ou des termes de signe constant.
- **Entraînez-vous à choisir le bon critère** avec la leçon [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) et nos [exercices](/practice).
- **Gardez le [formulaire](/formulas)** sous la main et relisez les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** une intégrale généralisée peut avoir deux bornes problématiques, comme $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}$. Coupez-la en deux et étudiez chaque morceau séparément.

## Questions fréquentes

### Que couvre Analyse 3 à Lyon 1 ?

Les bornes supérieure et inférieure, les suites extraites et Bolzano-Weierstrass, la continuité uniforme, la construction de l'intégrale de Riemann, les méthodes de quadrature (rectangles, trapèzes, interpolation de Lagrange), les intégrales généralisées et les séries numériques avec la comparaison série-intégrale.

### Quel lien entre Analyse 2 et Analyse 3 ?

La fiche d'Analyse 2 pour mathématiciens précise que les preuves sur l'intégrale de Riemann sont reportées en Analyse 3. Analyse 3 reprend donc l'intégrale avec ses démonstrations, puis l'étend aux intégrales généralisées et aux séries.

### Analyse 3 est-elle difficile ?

Elle demande à la fois de la rigueur (bornes, continuité uniforme) et de la méthode (choisir le bon critère de convergence). Un entraînement régulier sur la nature des séries et des intégrales rend ces choix beaucoup plus rapides.

### Comment déterminer si une intégrale généralisée converge ?

Identifiez les bornes problématiques, puis comparez l'intégrande à une intégrale de Riemann $\int \frac{dx}{x^\alpha}$ ou de Bertrand par majoration ou par équivalent, en vérifiant d'abord que la fonction est de signe constant. Sinon, étudiez la convergence absolue.