# Analyse 2 Université Paris Cité : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE Analyse 2 de L1 à Paris Cité : Rolle, accroissements finis, primitives, développements limités, Taylor, équations différentielles.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-paris-cite-analyse-2
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Intitulé:** Analyse 2 (UFR de Mathématiques)
- **Niveau:** Bac +1 (L1), semestre 2
- **Crédits:** 6 ECTS
- **Organisation:** Sur les huit dernières semaines du semestre
- **Contenu:** Dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, fonctions usuelles et réciproques, primitives, intégration par parties et changement de variable, développements limités, formules de Taylor, équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
- **S'entraîner ici:** [Calcul 1](/learn/calculus-1) et l'unité techniques d'intégration de [Calcul 2](/learn/calculus-2)

## À retenir

- Analyse 2 est une UE de 6 ECTS du second semestre de L1 à l'Université Paris Cité, portée par l'UFR de Mathématiques.
- Son objectif est la maîtrise du calcul élémentaire sur les fonctions d'une variable réelle : dérivées, primitives et développements limités.
- Elle couvre aussi Rolle, les accroissements finis, les formules de Taylor et les équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.
- Le cours se déroule sur les huit dernières semaines du semestre, donc à un rythme soutenu.

**Analyse 2** est l'UE d'analyse du second semestre de L1 proposée par l'UFR de Mathématiques de l'Université Paris Cité. Elle vise un objectif clair : savoir calculer avec aisance sur les fonctions d'une variable réelle, des dérivées aux développements limités. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs, pour s'entraîner avec une correction immédiate.

## Ce que couvre Analyse 2

D'après la fiche officielle de l'offre de formation, le cours se déroule sur les huit dernières semaines du semestre et porte sur le calcul élémentaire des fonctions de la variable réelle : dérivabilité, calcul de primitives et développements limités. Les objectifs détaillés sont les suivants :

- maîtriser les théorèmes fondamentaux sur la dérivabilité, Rolle et les accroissements finis ;
- connaître les fonctions usuelles et leurs réciproques (graphe, dérivée, développement limité en 0) ;
- maîtriser le calcul intégral élémentaire : primitives, intégration par parties, changement de variable ;
- calculer des développements limités à partir de ceux des fonctions usuelles ;
- connaître les formules de Taylor (Taylor-Lagrange, Taylor-Young, reste intégral) et leurs usages ;
- décrire les solutions des équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est le cœur d'un **Calcul 1** (dérivées, théorème des accroissements finis, primitives) complété par des outils de **Calcul 2** (techniques d'intégration, Taylor) et une introduction aux équations différentielles.

## Plan des notions d'Analyse 2

| Notion d'Analyse 2 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Dérivabilité | [Quand la dérivée n'existe pas](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) | [Définition de la dérivée](/blog/limit-definition-of-the-derivative) |
| Rolle et accroissements finis | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem), [accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) |
| Dérivées des fonctions usuelles | [Exponentielles et logarithmes](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) | [Dérivées trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions) |
| Fonctions réciproques | [Dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Dérivée d'une réciproque](/rules/inverse-function-rule), [arctangente](/functions/arctangent) |
| Primitives usuelles | [Primitive des puissances](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) | [Primitives](/blog/antiderivatives) |
| Intégration par parties | [Intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Intégration par parties](/blog/integration-by-parts) |
| Changement de variable | [Changement de variable](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) | [Changement de variable](/blog/u-substitution) |
| Formules de Taylor | [Polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) | [Théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Développements limités usuels | [Séries de Maclaurin usuelles](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) | [Séries de Taylor](/blog/taylor-series) |
| Équations différentielles linéaires | [Équations séparables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Fonction exponentielle naturelle](/functions/natural-exponential-function) |

## Analyse 2 et la suite du parcours

| UE | Niveau | Orientation |
| --- | --- | --- |
| Analyse 2 | L1, semestre 2, 6 ECTS | Calcul : dérivées, primitives, développements limités, Taylor |
| Analyse 3 | Semestre 3, 9 ECTS | Suites, séries numériques, fonctions d'une variable, rédaction de démonstrations |

Analyse 2 privilégie les techniques de calcul ; l'UE [Analyse 3](/courses/universite-paris-cite-analyse-3), proposée au semestre 3 par l'UFR de mathématiques et informatique, insiste davantage sur les quantificateurs et la rédaction des preuves.

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 2

**1. Développement limité d'un produit.** À l'ordre 3 en 0 :

$$e^x \sin x = \left(1 + x + \tfrac{x^2}{2}\right)\left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$

**2. Intégration par parties.**

$$\int_0^1 x e^{x}\,dx = \left[ x e^{x} \right]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1$$

**3. Équation linéaire d'ordre 2.** Pour $y'' + y = 0$, l'équation caractéristique $r^2 + 1 = 0$ a pour racines $\pm i$, donc

$$y(x) = A\cos x + B\sin x, \qquad A, B \in \mathbb{R}$$

## Comment réussir Analyse 2

- **Apprenez les développements limités usuels par cœur** et entraînez-vous à les combiner. Le [formulaire](/formulas) les rassemble sur une page.
- **Faites des exercices chaque semaine.** Huit semaines passent vite : de courtes séances régulières sur notre [page d'exercices](/practice) valent mieux qu'un rattrapage la veille.
- **Choisissez bien $u$ et $v'$ dans une intégration par parties.** La leçon [Parties répétées et LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) donne une méthode simple.
- **Vérifiez les hypothèses** de Rolle et des accroissements finis (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l'ouvert) avant de les appliquer. Voir aussi les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** pour calculer une limite de forme indéterminée en 0, un développement limité à l'ordre 2 ou 3 est souvent plus rapide et plus sûr que la [règle de l'Hôpital](/rules/lhopitals-rule).

## Questions fréquentes

### Que couvre l'UE Analyse 2 à l'Université Paris Cité ?

Le calcul élémentaire des fonctions de la variable réelle : dérivabilité avec Rolle et les accroissements finis, fonctions usuelles et réciproques, primitives (intégration par parties, changement de variable), développements limités, formules de Taylor et équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.

### Combien de crédits vaut Analyse 2 ?

La fiche officielle indique 6 crédits ECTS, au semestre 2 de la première année (Bac +1).

### Analyse 2 est-elle difficile ?

Le programme est dense et tient en huit semaines. La partie la plus technique est souvent le calcul de développements limités. Elle devient rapide quand on connaît par cœur les développements des fonctions usuelles et qu'on s'entraîne régulièrement.

### Comment réviser les développements limités et Taylor ?

Apprenez les développements en 0 de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$, puis entraînez-vous à les combiner par somme, produit et composition. Les leçons sur les polynômes de Taylor de PracticeCalculus donnent cette pratique.

### Quelle est la différence entre Taylor-Lagrange et Taylor-Young ?

Taylor-Young donne un développement local avec un reste négligeable au voisinage du point, utile pour les limites. Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral donnent une expression ou une majoration explicite du reste, utile pour les inégalités et les approximations chiffrées.