# Analyse 3 Université Paris Cité : programme, guide et exercices

> Guide d'étude de l'UE Analyse 3 à Paris Cité : suites et séries numériques, fonctions d'une variable réelle, quantificateurs et démonstrations.

Source : https://practicecalculus.com/fr/cours/universite-paris-cite-analyse-3
Mis à jour : 2026-11-03

## En bref

- **Intitulé:** Analyse 3 (UFR de Mathématiques et informatique)
- **Période:** Semestre 3
- **Crédits:** 9 ECTS
- **Volume horaire:** 66 h : 24 h de cours magistral et 42 h de travaux dirigés
- **Contenu:** Bases du calcul infinitésimal : suites et séries numériques, fonctions d'une variable réelle, manipulation des quantificateurs, rédaction de démonstrations, méthodologie (nature d'une série)
- **S'entraîner ici:** [Suites et séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) de Calcul 2 et les [limites](/learn/calculus-1/limits/what-is-a-limit) de Calcul 1

## À retenir

- Analyse 3 est une UE de 9 ECTS du semestre 3 proposée par l'UFR de Mathématiques et informatique de l'Université Paris Cité.
- Elle présente les bases du calcul infinitésimal à travers les suites, les séries numériques et les fonctions d'une variable réelle.
- Une place importante est donnée aux quantificateurs, à la rédaction des démonstrations et à la méthode, par exemple pour déterminer la nature d'une série.
- Le volume est de 66 h, dont 42 h de travaux dirigés.

**Analyse 3** est une UE de semestre 3 de l'UFR de Mathématiques et informatique de l'Université Paris Cité. Elle reprend les bases du calcul infinitésimal, suites, séries et fonctions d'une variable, avec un objectif nouveau : savoir les démontrer proprement. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour construire l'intuition qui rend les preuves plus faciles à écrire.

## Ce que couvre Analyse 3

Selon la fiche officielle, ce module présente les bases du calcul infinitésimal à travers l'étude des suites et séries numériques et des fonctions d'une variable réelle. Il accorde une place importante à la manipulation des quantificateurs, à la rédaction de démonstrations et à la méthodologie sur des problèmes concrets, comme la détermination de la nature d'une série. Les objectifs affichés sont la maîtrise des théorèmes classiques d'analyse réelle et de leurs preuves, l'usage de la notion de limite et la rédaction d'exercices avec quantificateurs.

Dans une séquence nord-américaine, ce contenu correspond aux **suites et séries de Calcul 2** et aux **limites et à la continuité de Calcul 1**, traités au niveau d'un cours de **real analysis**.

## Plan des notions d'Analyse 3

| Notion d'Analyse 3 | S'exercer | Lire |
| --- | --- | --- |
| Limite d'une suite | [Suites et leurs limites](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem) |
| Opérations sur les limites | [Limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) | [Règles sur les limites](/rules/limit-laws) |
| Séries et sommes partielles | [Séries et sommes partielles](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) | [Série géométrique](/blog/geometric-series) |
| Divergence grossière | [Critère du terme général](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) | [Test du n-ième terme](/rules/nth-term-test) |
| Comparaison et séries de Riemann | [Intégrale et séries de Riemann](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Critère de d'Alembert | [Critères du rapport et de la racine](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) | [Critère du rapport](/rules/ratio-test) |
| Séries alternées | [Séries alternées](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Critère des séries alternées](/rules/alternating-series-test) |
| Nature d'une série : méthode | [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) | [Critères de convergence](/blog/convergence-tests) |
| Limites et continuité des fonctions | [Continuité](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Continuité](/blog/continuity), [valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem) |
| Fonctions dérivables | [Approximation et TAF](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) |

## Analyse 3 et Analyse 2

| UE | Période | Approche |
| --- | --- | --- |
| Analyse 2 (UFR de Mathématiques) | L1, semestre 2, 6 ECTS | Calcul : dérivées, primitives, développements limités, Taylor |
| Analyse 3 (UFR de Mathématiques et informatique) | Semestre 3, 9 ECTS | Suites, séries, fonctions, démonstrations rédigées |

Les deux UE ne relèvent pas de la même composante. Si vous cherchez la partie calculatoire (dérivées, primitives, Taylor), voir le guide d'[Analyse 2](/courses/universite-paris-cite-analyse-2).

## Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 3

**1. Une limite rédigée avec quantificateurs.** Montrons que $u_n = \frac{2n + 1}{n} \to 2$. On a $|u_n - 2| = \frac{1}{n}$. Soit $\varepsilon > 0$ ; posons $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$. Alors pour tout $n \geq N$, $|u_n - 2| \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$.

**2. Nature d'une série par comparaison.** Pour $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + 3}$, on a $0 \leq \frac{1}{n^2 + 3} \leq \frac{1}{n^2}$ et la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc la série converge.

**3. Critère de d'Alembert.** Pour $\sum \frac{3^n}{n!}$ :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3}{n + 1} \longrightarrow 0 < 1$$

donc la série converge (sa somme vaut d'ailleurs $e^3 - 1$ si l'on commence à $n = 1$).

## Comment réussir Analyse 3

- **Rédigez beaucoup.** Les 42 h de TD sont faites pour cela : écrivez chaque preuve en entier, avec les quantificateurs dans le bon ordre.
- **Ayez une méthode fixe pour la nature d'une série** : terme général, comparaison, d'Alembert, séries alternées. La leçon [Choisir un critère](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) et nos [exercices](/practice) entraînent ce réflexe.
- **Gardez une liste de séries de référence** (géométriques, Riemann, harmonique alternée). Le [formulaire](/formulas) les rassemble.
- **Méfiez-vous des fausses implications**, comme croire qu'un terme général qui tend vers 0 suffit à la convergence. Voir les [erreurs fréquentes en calcul](/blog/common-calculus-mistakes).

> **Astuce :** la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge alors que son terme général tend vers 0. Gardez-la en tête comme contre-exemple universel.

## Questions fréquentes

### Que couvre l'UE Analyse 3 à l'Université Paris Cité ?

Les suites et séries numériques et les fonctions d'une variable réelle, avec un accent sur les théorèmes classiques d'analyse réelle et leurs démonstrations, l'usage de la notion de limite et la rédaction avec quantificateurs.

### Combien d'heures et de crédits compte Analyse 3 ?

La fiche officielle indique 9 crédits ECTS et 66 heures : 24 heures de cours magistral et 42 heures de travaux dirigés.

### Analyse 3 est-elle difficile ?

La difficulté tient surtout à la rédaction : il faut écrire des démonstrations précises avec des quantificateurs. Avec beaucoup de petits exercices rédigés et corrigés, ce savoir-faire s'installe progressivement.

### Comment déterminer la nature d'une série ?

Vérifiez d'abord que le terme général tend vers 0, sinon la série diverge. Pour une série à termes positifs, comparez à une série géométrique ou de Riemann, ou utilisez le critère de d'Alembert. Pour une série alternée, pensez au critère spécial des séries alternées.