# Dérivée d'une constante : formule, démonstration et exemples

> La dérivée d'une constante vaut 0. Démonstration par la limite, puis cas pièges comme π², e³, ln 5 et les constantes multipliées par une fonction.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-d-une-constante
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,c = 0 $$

## En bref

- **Dérivée:** $0$ pour toute constante $c$
- **Courbe:** Une droite horizontale, de pente $0$
- **Constante ajoutée:** $\dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)$
- **Constante multipliée:** $\dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)$
- **Version intégrale:** $\int c\,dx = cx + C$

## À retenir

- La dérivée de toute constante est $0$, car une droite horizontale n'a pas de pente.
- Des nombres comme $\pi^2$, $e^3$, $\ln 5$ et $\sin 1$ sont des constantes, donc leurs dérivées valent $0$.
- Une constante ajoutée disparaît quand on dérive, mais une constante multipliée reste.
- C'est pourquoi toute primitive comporte un $+C$ : la constante peut être n'importe laquelle.

La **dérivée d'une constante est $0$**. Si $f(x) = c$ pour un nombre fixe $c$, alors $f'(x) = 0$ pour tout $x$.

$$\frac{d}{dx}\,c = 0$$

## Courbe d'une constante et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = 3 et de sa dérivée y = 0'
caption: 'Une fonction constante est une droite horizontale. Sa pente vaut $0$ partout, donc la dérivée est confondue avec l''axe des $x$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: 3
    label: y = 3
  - expr: 0
    label: y = 0 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [1, 3, 'pente 0']
```

## Démonstration par la définition avec une limite

Pour $f(x) = c$, $f(x + h)$ et $f(x)$ valent tous deux $c$ :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

Le numérateur vaut exactement $0$ pour tout $h \ne 0$, donc la limite vaut $0$. C'est la règle de la [dérivée d'une constante](/rules/constant-rule).

On peut aussi le voir avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule) : $c = c\,x^0$, et $\frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0$.

## Repérer les constantes déguisées

La difficulté n'est pas la règle, c'est de reconnaître une constante. Tout ce qui ne contient pas la variable est une constante, quelle que soit son apparence.

| Expression | Constante ? | Dérivée par rapport à $x$ |
| --- | --- | --- |
| $7$ | oui | $0$ |
| $\pi^2$ | oui | $0$ |
| $e^3$ | oui | $0$ |
| $\ln 5$ | oui | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | oui, elle vaut $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $a^2 + b$ (lettres autres que $x$) | oui, si elles ne dépendent pas de $x$ | $0$ |
| $e^x$ | non | $e^x$ |

## Constantes ajoutées ou constantes multipliées

Une constante **ajoutée** disparaît :

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 10\right) = 2x + 0 = 2x$$

Une constante **multipliée** reste, d'après la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) :

$$\frac{d}{dx}\left(10x^2\right) = 10 \cdot 2x = 20x$$

La raison est géométrique. Ajouter $10$ décale la courbe vers le haut, ce qui ne change aucune pente. Multiplier par $10$ étire la courbe, ce qui rend chaque pente 10 fois plus forte.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2$. Ici, $e^2$ multiplie $x$, donc il reste, et la [dérivée de x](/derivatives/x) vaut $1$.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}$. Le $\ln 3$ est une constante. Voir la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x).

**Exemple 4 : d'autres variables.** Dans $\frac{d}{dx}(x^2 y^3)$, si $y$ ne dépend pas de $x$, on traite $y^3$ comme un facteur constant : la réponse est $2xy^3$. Cette idée mène aux [dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) en Calculus 3.

## Erreurs fréquentes

1. **Dériver $e^2$ comme si c'était $e^x$.** $\frac{d}{dx}e^2 = 0$, et non $e^2$ ou $2e$.
2. **Supprimer une constante multipliée.** $\frac{d}{dx}(3x) = 3$, et non $0$.
3. **Appliquer la règle de la puissance à une base constante.** $\frac{d}{dx}\pi^3$ vaut $0$, et non $3\pi^2$.

Dans l'autre sens, toute primitive comporte un $+C$ parce que la dérivée d'une constante vaut $0$. Voir l'[intégrale d'une constante](/integrals/constant).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée d'une constante ?

C'est $0$. Une fonction constante $f(x) = c$ ne varie jamais, donc son taux de variation est nul.

### Quelle est la dérivée de e ?

Le nombre $e \approx 2.718$ est une constante, donc sa dérivée vaut $0$. Ne le confondez pas avec $e^x$, dont la dérivée est $e^x$.

### Quelle est la dérivée de pi ?

C'est $0$. $\pi$ est un nombre fixe, environ $3.14159$.

### Quelle est la dérivée de 5x ?

C'est $5$. Le $5$ est une constante multipliée, pas une constante ajoutée, donc il reste : $5 \cdot \frac{d}{dx}x = 5$.