# Dérivée de 1/x² : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de 1/x² est -2/x³. Démonstrations par la puissance et le quotient, version composée pour 1/u², courbe et exemples comme 1/(3x - 2)².

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-1-sur-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\dfrac{2}{x^3}$ pour $x \ne 0$
- **Sous forme de puissance:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}$
- **Dérivée seconde:** $\dfrac{6}{x^4}$
- **Version intégrale:** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$

## À retenir

- La dérivée de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{2}{x^3}$.
- Écrivez $\frac{1}{x^2}$ sous la forme $x^{-2}$ avant de dériver. L'exposant passe de $-2$ à $-3$.
- La dérivée est positive pour $x < 0$ et négative pour $x > 0$, donc la courbe monte puis descend.
- Pour $\frac{1}{u^2}$, utilisez la règle de dérivation en chaîne : $-\frac{2u'}{u^3}$.

La **dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$ est $-\dfrac{2}{x^3}$**. Faites remonter la puissance sous la forme $x^{-2}$, et la règle de la puissance termine le travail en une étape.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0$$

## Courbe de 1/x² et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = 1/x² et de sa dérivée y = -2/x³'
caption: 'À gauche, $\frac{1}{x^2}$ monte vers l''asymptote, donc la dérivée est positive. À droite, elle descend, donc la dérivée est négative.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
  - expr: -2/x^3
    label: y = -2/x³ (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pente -2']
  - [-1, 1, '(-1, 1), pente 2']
```

La courbe de $\frac{1}{x^2}$ est symétrique par rapport à l'axe des $y$, donc ses pentes en $x$ et en $-x$ sont opposées. C'est pourquoi la dérivée est une fonction impaire.

## Démonstration par la règle de la puissance

$$\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

C'est la [règle de la puissance](/rules/power-rule) avec $n = -2$. La seule précaution concerne la soustraction : $-2 - 1 = -3$.

## Démonstration par la règle du quotient

Avec $1$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur, la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) donne

$$\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$$

Même réponse, plus de travail. Réécrire sous forme de puissance est le réflexe le plus rapide.

## Démonstration par la définition avec une limite

$$\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}$$

Quand $h \to 0$, cela devient $\frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

## La version composée : dérivée de 1/u²

$$\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}$.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$. Comme $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, cela correspond à la [dérivée de sec²x](/derivatives/sec-squared-x), $2\sec^2 x\tan x$.

## Autres exemples corrigés

**Exemple 4 : une loi physique.** La gravitation et l'intensité lumineuse suivent $F = \frac{k}{r^2}$. Le taux de variation en fonction de la distance est $\frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}$. Doubler la distance divise la force par quatre et le taux de variation par huit.

**Exemple 5 : dérivée seconde.** $\frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Elle est positive partout, donc les deux branches sont convexes.

## Comment la retenir

Voyez $\frac{1}{x^2}$ comme une puissance qui se trouve au dénominateur. Faites-la remonter sous la forme $x^{-2}$, appliquez la règle de la puissance comme pour n'importe quelle puissance, puis redescendez le résultat si vous voulez une fraction. Les trois mêmes étapes fonctionnent pour $\frac{1}{x^3}$, $\frac{1}{x^{10}}$ ou $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Une vérification rapide du signe aide aussi : pour $x$ positif, la courbe descend, donc la dérivée doit y être négative, et $-\frac{2}{x^3}$ l'est bien.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $-2x^{-1}$.** En descendant de un à partir de $-2$, on arrive à $-3$.
2. **Inverser la dérivée du dénominateur.** $\frac{1}{2x}$ n'est pas la dérivée de $\frac{1}{x^2}$.
3. **Perdre le signe moins.** L'exposant $-2$ descend en coefficient négatif.

Dans l'autre sens, $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$ est traité sur la page [intégrale de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared). Comparez avec la [dérivée de 1/x](/derivatives/1-over-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de 1/x² ?

C'est $-\frac{2}{x^3}$. On écrit $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ et on applique la règle de la puissance : $-2x^{-3}$.

### Quelle est la dérivée de 3/x² ?

C'est $3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}$.

### Quelle est la dérivée de 1/(x + 1)² ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $-2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.

### La dérivée de 1/x² est-elle égale à 1/(2x) ?

Non. Dériver le dénominateur puis prendre l'inverse ne marche pas. La bonne réponse est $-\frac{2}{x^3}$.