# Dérivée de 1/x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de 1/x est -1/x². Démonstration par la limite, règle de la puissance avec x⁻¹, version composée pour 1/u et exemples comme 1/(2x + 5).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-1-sur-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\dfrac{1}{x^2}$ pour $x \ne 0$
- **Sous forme de puissance:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}$
- **Signe:** Toujours négative, donc $\frac{1}{x}$ décroît de chaque côté de $0$
- **Version intégrale:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## À retenir

- La dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$.
- Écrivez $\frac{1}{x}$ sous la forme $x^{-1}$ : la règle de la puissance donne $-x^{-2}$.
- Pour l'inverse de n'importe quelle expression, $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$.
- Ne confondez pas avec $\ln x$ : c'est $\ln x$ qui a pour dérivée $\frac{1}{x}$.

La **dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$**. Le signe moins indique que la courbe descend toujours, des deux côtés de l'asymptote verticale.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, \qquad x \ne 0$$

## Courbe de 1/x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = 1/x et de sa dérivée y = -1/x²'
caption: 'Les deux branches de $\frac{1}{x}$ descendent de gauche à droite, donc la dérivée est négative partout où elle existe.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -1/x^2
    label: y = -1/x² (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pente -1']
```

Près de $x = 0$, les branches sont presque verticales et $-\frac{1}{x^2}$ est un nombre négatif très grand en valeur absolue. Loin de $0$, la courbe s'aplatit et $-\frac{1}{x^2}$ se rapproche de $0$.

## Démonstration par la définition avec une limite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$$

On met les fractions du numérateur au même dénominateur $x(x + h)$ :

$$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

On divise par $h$ et on fait $h \to 0$ :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x + h)} = -\frac{1}{x^2}$$

## Démonstration par la règle de la puissance

Comme $\frac{1}{x} = x^{-1}$, la [règle de la puissance](/rules/power-rule) donne $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. La [règle du quotient](/rules/quotient-rule) le confirme : $\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.

## La version composée : dérivée de 1/u

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}\cdot u' = -\frac{u'}{u^2}$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\frac{1}{2x + 5}$ | $2x + 5$ | $-\frac{2}{(2x + 5)^2}$ |
| $\frac{1}{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ |
| $\frac{1}{\sin x}$ | $\sin x$ | $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\frac{1}{e^x + 1}$ | $e^x + 1$ | $-\frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$ |

La troisième ligne est identique à $-\csc x\cot x$, la [dérivée de csc x](/derivatives/csc-x).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une somme.** $\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$. En résolvant l'équation où elle vaut $0$, on trouve $x = \pm 1$, là où $x + \frac{1}{x}$ change de sens de variation.

**Exemple 2 : une tangente.** En $x = 2$, $y = \frac{1}{2}$ et la pente vaut $-\frac{1}{4}$ :

$$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x}{4} + 1$$

**Exemple 3 : dérivée seconde.** $\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Elle est positive pour $x > 0$ et négative pour $x < 0$, donc la branche de droite est convexe et celle de gauche concave.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\ln x$ ou $\frac{1}{x^2}$.** La dérivée est $-\frac{1}{x^2}$. La fonction $\ln x$ est la primitive, pas la dérivée.
2. **Perdre le signe moins.** $x^{-1}$ fait descendre $-1$.
3. **Écrire $x^0$.** Diminuer $-1$ de un donne $-2$, et non $0$.
4. **Oublier $u'$.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{3x}$ vaut $-\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}$, et non $-\frac{1}{9x^2}$.

Le côté intégrale est traité sur la page [intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x), et la courbe elle-même sur la page de la [fonction inverse](/functions/reciprocal-function).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de 1/x ?

La dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$, pour tout $x \ne 0$.

### Quelle est la dérivée de 1/(2x) ?

On l'écrit $\frac{1}{2}x^{-1}$. La dérivée est $-\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

### Quelle est la dérivée de 5/x ?

C'est $5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$.

### Quelle fonction a pour dérivée 1/x ?

Le logarithme népérien : $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. C'est pourquoi $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.