# Dérivée de 2ˣ et de aˣ : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de 2ˣ est 2ˣ ln 2, et celle de aˣ est aˣ ln a. Démonstration en écrivant aˣ = e^(x ln a), exemples composés et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-2-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 $$

## En bref

- **Dérivée de 2ˣ:** $2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x$
- **Base quelconque:** $\dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ pour $a > 0$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'$
- **Réécriture clé:** $a^x = e^{x\ln a}$
- **Version intégrale:** $\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$

## À retenir

- La dérivée de $2^x$ est $2^x\ln 2$, et pour toute base $a > 0$, $\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$.
- La démonstration réécrit $a^x = e^{x\ln a}$ et utilise la règle de dérivation en chaîne.
- La base $e$ est le cas particulier où $\ln e = 1$, donc le facteur supplémentaire disparaît.
- Ne confondez pas $2^x$ (exposant variable) et $x^2$ (base variable) : leurs dérivées sont complètement différentes.

La **dérivée de $2^x$ est $2^x\ln 2$**. Le même schéma fonctionne pour toute base positive :

$$\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,a^x = a^x\ln a$$

Comme $\ln 2 \approx 0.693$, la pente de $2^x$ vaut toujours environ $69\%$ de sa hauteur.

## Courbe de 2ˣ et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = 2ˣ et de sa dérivée y = 2ˣ ln 2'
caption: 'La dérivée a la même forme que $2^x$, réduite d''un facteur $\ln 2 \approx 0.693$. En $x = 0$, la fonction vaut $1$ et la pente vaut $\ln 2$.'
x: [-4, 3.5]
y: [-1, 9]
functions:
  - expr: 2^x
    label: y = 2ˣ
  - expr: 2^x*ln(2)
    label: y = 2ˣ ln 2 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0.693, 'pente ≈ 0,693']
```

## Démonstration : réécrire en base e

Toute base positive peut s'écrire comme une puissance de $e$, car $a = e^{\ln a}$ :

$$a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{x\ln a}$$

Ici, $\ln a$ n'est qu'une constante, donc la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) donnent

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln a} = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$$

Pour $a = 2$, on obtient $2^x\ln 2$. Pour $a = e$, on obtient $e^x\ln e = e^x$ : c'est pour cela que $e$ est la base naturelle, la seule sans facteur supplémentaire.

## La taille du facteur ln a

| Base $a$ | $\ln a$ | Dérivée de $a^x$ |
| --- | --- | --- |
| $2$ | $\approx 0.693$ | $2^x\ln 2$ |
| $e$ | $1$ | $e^x$ |
| $3$ | $\approx 1.099$ | $3^x\ln 3$ |
| $10$ | $\approx 2.303$ | $10^x\ln 10$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\approx -0.693$ | $-\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2$ |

Pour $0 < a < 1$, $\ln a$ est négatif, donc $a^x$ est décroissante. Cela correspond à la courbe d'une décroissance exponentielle.

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}$.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2$.

**Exemple 4 : règle du produit.** Pour $f(x) = x\cdot 2^x$, la [règle du produit](/rules/product-rule) donne

$$f'(x) = 2^x + x\cdot 2^x\ln 2 = 2^x(1 + x\ln 2)$$

**Exemple 5 : taux de croissance.** Une population $P(t) = 500\cdot 2^t$ double à chaque unité de temps. Son taux de croissance en $t = 3$ est $P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773$ par unité de temps.

## 2ˣ ou x²

| Fonction | Base | Exposant | Règle | Dérivée |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2$ | variable | constant | règle de la puissance | $2x$ |
| $2^x$ | constante | variable | règle de l'exponentielle | $2^x\ln 2$ |
| $x^x$ | variable | variable | dérivation logarithmique | $x^x(\ln x + 1)$ |

Quand la base et l'exposant varient tous les deux, aucune des deux règles ne s'applique seule. Voir la [dérivée de xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance : $x\cdot 2^{x-1}$.** Ce n'est pas la bonne règle pour un exposant variable.
2. **Oublier $\ln 2$.** Ce ne serait correct que pour la base $e$.
3. **Écrire $\log 2$ au lieu de $\ln 2$.** Le facteur est le logarithme népérien.

Le sens inverse, $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$, est traité sur la page [intégrale de 2ˣ](/integrals/2-to-the-x). La fonction réciproque, $\log_2 x$, est étudiée sur la page [dérivée de log x](/derivatives/log-x). Voir aussi les [fonctions exponentielles](/functions/exponential-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de 2^x ?

La dérivée de $2^x$ est $2^x\ln 2$, soit environ $0.693\cdot 2^x$.

### Quelle est la dérivée de a^x ?

Pour toute constante $a > 0$, $\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$. Par exemple, $\frac{d}{dx}10^x = 10^x\ln 10$ et $\frac{d}{dx}3^x = 3^x\ln 3$.

### Pourquoi la dérivée de 2^x n'est-elle pas x·2^(x−1) ?

C'est la règle de la puissance, qui exige une base variable et un exposant constant. Dans $2^x$, la base est constante et l'exposant est la variable, donc on utilise la règle de l'exponentielle.

### Quelle est la dérivée de 2^(3x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}$.