# Dérivée de arccos x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de arccos x est −1/√(1 − x²). Démonstration, lien avec la dérivée de arcsin, exemples de dérivation en chaîne et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-arccos-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $-1 < x < 1$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Domaine de définition de arccos x:** $[-1, 1]$
- **Ensemble image de arccos x:** $[0, \pi]$
- **Identité clé:** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

## À retenir

- La dérivée de $\arccos x$ est $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $-1 < x < 1$.
- C'est exactement l'opposé de la dérivée de $\arcsin x$, car $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- La dérivée est toujours négative, donc $\arccos x$ est toujours décroissante.

La **dérivée de $\arccos x$ est $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Elle ressemble exactement à la [dérivée de arcsin x](/derivatives/arcsin-x) avec un signe moins devant, et il y a une jolie raison à cela.

$$\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Courbe de arccos x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = arccos x et de sa dérivée'
caption: 'La fonction arccosinus descend de $\pi$ à $0$. Sa pente vaut $-1$ en $x = 0$ et devient très forte près de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-4, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
  - expr: -1/sqrt(1-x^2)
    label: y = −1/√(1 − x²) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'pente −1']
```

## Démonstration de la dérivée de arccos x

Posons $y = \arccos x$, donc $\cos y = x$ avec $0 \le y \le \pi$. Utilisons la [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) :

$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

Sur $[0, \pi]$, le sinus n'est jamais négatif, donc $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. On obtient

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Une démonstration plus rapide avec arcsin

Pour tout $x$ de $[-1, 1]$,

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Pensez à un triangle rectangle : si un angle aigu a pour sinus $x$, l'autre a pour cosinus $x$, et les deux angles ont pour somme $\frac{\pi}{2}$. Dérivons les deux membres. Le membre de droite est une constante, donc sa dérivée vaut $0$ :

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0$$

La dérivée de arccos est donc celle de arcsin avec le signe changé. C'est un bon moyen de la retenir.

## Version composée : dérivée de arccos(u)

$$\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\arccos(3x)$ | $3x$ | $-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ |
| $\arccos(x^2)$ | $x^2$ | $-\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arccos(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}$ |
| $\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $-\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle du produit.** Pour $f(x) = x^2\arccos x$, la [règle du produit](/rules/product-rule) donne

$$f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Exemple 2 : la pente en un point.** En $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, la pente de $\arccos x$ vaut

$$-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2$$

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = 0$, la courbe passe par $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ avec une pente de $-1$, donc la tangente est $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** C'est la seule différence avec arcsin, et la chose la plus facile à perdre.
2. **Croire que $\cos^{-1} x = \sec x$.** L'inverse du cosinus est la sécante. $\cos^{-1}$ désigne la fonction réciproque.
3. **Oublier $u'$.** $\frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$, et non $-\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}$.
4. **L'utiliser en $x = \pm 1$.** La tangente y est verticale, donc il n'y a pas de dérivée.

On intègre rarement $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ sous forme d'arccosinus, puisque $-\arcsin x + C$ donne la même famille de réponses. Consultez la page de la [fonction arccosinus](/functions/arccosine) pour sa courbe et son ensemble image, et entraînez-vous avec les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arccos x ?

La dérivée de $\arccos x$ (aussi notée $\cos^{-1} x$) est $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $-1 < x < 1$.

### Pourquoi la dérivée de arccos x est-elle négative ?

Parce que $\arccos x$ descend de $\pi$ à $0$ quand $x$ va de $-1$ à $1$. Une fonction décroissante a une dérivée négative.

### Quelle est la dérivée de arccos(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, valable pour $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### Quelle est la dérivée de arcsin x + arccos x ?

C'est $0$. Les deux dérivées se compensent, ce qui correspond à l'identité $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, une constante.