# Dérivée de arccot x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de arccot x est −1/(1 + x²). Démonstration à partir de cot y = x, lien avec arctan, exemples de dérivation en chaîne et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-arccot-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\dfrac{1}{1 + x^2}$ pour tout réel $x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Domaine de définition de arccot x:** tous les réels
- **Ensemble image de arccot x:** $(0, \pi)$
- **Identité clé:** $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

## À retenir

- La dérivée de $\operatorname{arccot} x$ est $-\frac{1}{1 + x^2}$.
- C'est l'opposé de la dérivée de arctan, car $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$.
- Arccot est toujours décroissante, avec sa pente la plus forte, $-1$, en $x = 0$.

La **dérivée de $\operatorname{arccot} x$ est $-\dfrac{1}{1 + x^2}$**. C'est la [dérivée de arctan x](/derivatives/arctan-x) avec un signe moins, et elle est valable pour tout nombre réel.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Courbe de arccot x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = arccot x et de sa dérivée'
caption: 'La fonction arccotangente descend de $\pi$ vers $0$. Sa pente vaut $-1$ en $x = 0$ et tend vers $0$ loin de l''origine.'
x: [-6, 6]
y: [-1.5, 3.5]
functions:
  - expr: pi/2 - arctan(x)
    label: y = arccot x
  - expr: -1/(1+x^2)
    label: y = −1/(1 + x²) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'pente −1']
```

## Démonstration à partir de cot y = x

Posons $y = \operatorname{arccot} x$, donc $\cot y = x$ avec $0 < y < \pi$. On dérive par [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation), en utilisant $\frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y$ (voir la [dérivée de cot x](/derivatives/cot-x)) :

$$-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}$$

L'identité $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2$ permet de conclure :

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Démonstration à partir de arctan

Avec l'ensemble image $(0, \pi)$, arccot et arctan sont liées par

$$\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

La dérivée de la constante $\frac{\pi}{2}$ vaut $0$, donc la dérivée de arccot est simplement l'opposé de celle de arctan. C'est aussi grâce à cette identité que la courbe ci-dessus est tracée.

## Remarque sur les conventions

Certains manuels et logiciels définissent $\operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}$, qui a pour ensemble image $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ et présente un saut en $x = 0$. La dérivée reste la même partout où la fonction est définie :

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

La formule peut donc s'utiliser dans les deux cas. Seules les valeurs de la fonction diffèrent.

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$$

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\operatorname{arccot}(3x)$ | $-\frac{3}{1 + 9x^2}$ |
| $\operatorname{arccot}(x^2)$ | $-\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\operatorname{arccot}(\ln x)$ | $-\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}$ |
| $\operatorname{arccot}(e^x)$ | $-\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |

**Exemple corrigé.** Dérivons $f(x) = x\operatorname{arccot} x$ avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}$$

En $x = 1$ : $\operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$, donc $f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $-\csc^2 x$.** C'est la dérivée de $\cot x$, pas celle de sa réciproque.
2. **Perdre le signe moins.** Arccot est décroissante, donc sa pente doit être négative.
3. **Oublier $u'$.** $\operatorname{arccot}(5x)$ donne $-\frac{5}{1 + 25x^2}$.
4. **Croire que l'intégrale exige arccot.** Comme les dérivées ne diffèrent que par le signe, on écrit en général $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ sous la forme $\arctan x + C$. La réponse $-\operatorname{arccot} x + C$ est aussi correcte, car les deux diffèrent d'une constante.

Les six dérivées des fonctions trigonométriques réciproques vont par paires : arcsin et [arccos](/derivatives/arccos-x), arctan et arccot, [arcsec](/derivatives/arcsec-x) et arccsc. La seconde de chaque paire porte un signe moins. Entraînez-vous avec les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arccot x ?

La dérivée de $\operatorname{arccot} x$ (aussi notée $\cot^{-1} x$) est $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Quelle est la dérivée de arccot(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $-\frac{2}{1 + 4x^2}$.

### arccot x est-il égal à arctan(1/x) ?

Seulement pour $x > 0$. Pour $x < 0$, ils diffèrent de $\pi$. Dans tous les cas, là où les deux sont définis, ils ont la même dérivée, $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### Quelle est la dérivée de arctan x + arccot x ?

C'est $0$, puisque la somme est la constante $\frac{\pi}{2}$.