# Dérivée de arcsec x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de arcsec x est 1/(|x|√(x² − 1)). D'où vient la valeur absolue, démonstration via arccos(1/x) et exemples de dérivation en chaîne.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-arcsec-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ pour $\lvert x\rvert > 1$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$
- **Domaine de définition de arcsec x:** $x \le -1$ ou $x \ge 1$
- **Ensemble image de arcsec x:** $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
- **Dérivée de arccsc:** $-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$

## À retenir

- La dérivée de $\operatorname{arcsec} x$ est $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ pour $\lvert x\rvert > 1$.
- La valeur absolue vient de l'ensemble image $[0, \pi]$, qui rend arcsec croissante sur chacun des deux morceaux de son domaine.
- Comme $\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$, la dérivée découle de celle de arccos et de la règle de dérivation en chaîne.
- La dérivée de $\operatorname{arccsc} x$ est la même expression avec un signe moins.

La **dérivée de $\operatorname{arcsec} x$ est $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$**. Elle est définie pour $\lvert x\rvert > 1$, c'est-à-dire pour les valeurs que la sécante peut atteindre.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1$$

Pour $x > 1$, où se situent la plupart des exercices, c'est simplement $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

## Courbe de arcsec x

```graph
title: 'Courbe de y = arcsec x, tracée comme arccos(1/x)'
caption: 'Les deux morceaux de la fonction arcsécante sont croissants. Le morceau de droite part de $(1, 0)$ et celui de gauche se termine en $(-1, \pi)$. Les deux s''approchent de la droite $y = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [1, 6]
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [-6, -1]
  - expr: 1.5708
    label: y = π/2
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
```

Les deux branches montent de gauche à droite, donc la dérivée est positive partout. C'est exactement pour cela que la formule contient $\lvert x\rvert$ : sans la valeur absolue, elle donnerait des pentes négatives pour $x < -1$, ce qui ne correspond pas à la figure.

## Démonstration avec arccos

L'ensemble image usuel de arcsec rend cette identité vraie :

$$\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$$

On dérive avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de arccos x](/derivatives/arccos-x) :

$$\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$

On simplifie ensuite la racine : $\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}$. Donc

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

en utilisant $x^2 = \lvert x\rvert^2$. La valeur absolue apparaît naturellement à partir de $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$.

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}}$ pour $\lvert x\rvert > 1$. Ici, $\lvert x^2\rvert = x^2$, donc il ne reste aucune valeur absolue.

**Exemple 2.** Pour $x > 0$, $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$.

**Exemple 3 : la pente en un point.** En $x = 2$, la pente de $\operatorname{arcsec} x$ vaut $\frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289$. Comme $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$, la tangente est $y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2)$.

## La dérivée de arccsc

Comme $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$, les dérivées sont opposées :

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier la valeur absolue** et obtenir ensuite des pentes négatives pour $x < -1$.
2. **Mélanger les conventions des manuels.** Vérifiez quel ensemble image votre cours utilise pour arcsec avant de recopier une formule.
3. **Confondre $\sec^{-1} x$ et $\cos x$.** $\sec^{-1}$ est la réciproque de la sécante, alors que $\frac{1}{\sec x} = \cos x$.
4. **L'utiliser pour $-1 < x < 1$.** Aucun angle n'a une sécante comprise entre $-1$ et $1$, donc arcsec et sa dérivée n'y existent pas.

La formule donne aussi une intégrale : $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C$. Pour aller plus loin, voir les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) et les [fonctions trigonométriques inverses](/functions/reciprocal-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arcsec x ?

La dérivée de $\operatorname{arcsec} x$ est $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ pour $\lvert x\rvert > 1$. Pour $x > 1$, c'est simplement $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

### Pourquoi certains manuels écrivent-ils x√(x² − 1) sans valeur absolue ?

Ces manuels choisissent un autre ensemble image pour arcsec, $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$. Avec ce choix, la formule est $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$. Avec l'ensemble image plus courant $[0, \pi]$, il faut $\lvert x\rvert$.

### Quelle est la dérivée de arccsc x ?

C'est $-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$, l'opposé de la dérivée de arcsec, car $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$.

### Quelle est la dérivée de arcsec(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $\frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}$, valable pour $\lvert x\rvert > \frac{1}{2}$.