# Dérivée de arcsin x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de arcsin x est 1/√(1 − x²). Démonstration à partir de sin y = x, version composée pour arcsin(u), courbe et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-arcsin-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $-1 < x < 1$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Domaine de définition de arcsin x:** $[-1, 1]$
- **Ensemble image de arcsin x:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Version intégrale:** $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\arcsin x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, valable pour $-1 < x < 1$.
- La démonstration utilise la dérivation implicite de $\sin y = x$ et l'identité $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- La dérivée est toujours positive, donc $\arcsin x$ est toujours croissante, et elle tend vers l'infini en $x = \pm 1$.

La **dérivée de $\arcsin x$ est $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Elle est valable sur l'intervalle ouvert $-1 < x < 1$, où la fonction arcsinus est dérivable.

$$\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Courbe de arcsin x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = arcsin x et de sa dérivée'
caption: 'La pente de $\arcsin x$ est minimale en $x = 0$, où elle vaut $1$, et grandit sans limite près de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1 − x²) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pente 1']
```

La dérivée n'est jamais négative, donc $\arcsin x$ monte toujours. Sa pente minimale vaut $1$ à l'origine, et la courbe devient verticale aux extrémités $(\pm 1, \pm\frac{\pi}{2})$.

## Démonstration de la dérivée de arcsin x

Posons $y = \arcsin x$. Alors $\sin y = x$ avec $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. On dérive les deux membres par [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) :

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Exprimons maintenant $\cos y$ en fonction de $x$. De $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, on tire $\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, le cosinus n'est jamais négatif, donc on prend la racine positive :

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

La même idée fonctionne pour toute fonction réciproque, voir la [dérivée de la fonction réciproque](/rules/inverse-function-rule).

## Version composée : dérivée de arcsin(u)

Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), on place la dérivée de l'intérieur au numérateur :

$$\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\arcsin(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| $\arcsin(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)$, $a > 0$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ |
| $\arcsin(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$ |

La troisième ligne mérite d'être retenue. C'est elle qui explique $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un produit.** Dérivons $f(x) = x\arcsin x$ avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$f'(x) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Exemple 2 : la pente en un point.** La pente de $y = \arcsin x$ en $x = \frac{1}{2}$ vaut

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$

**Exemple 3 : une puissance de arcsin.** Pour $g(x) = (\arcsin x)^2$, la fonction extérieure est un carré :

$$g'(x) = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Erreurs fréquentes

1. **Lire $\sin^{-1} x$ comme $\frac{1}{\sin x}$.** Le $-1$ désigne la fonction réciproque, pas l'inverse.
2. **Oublier la dérivée de l'intérieur.** $\frac{d}{dx}\arcsin(3x)$ vaut $\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$, et non $\frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.
3. **N'élever que $x$ au carré dans la dérivation en chaîne.** Sous la racine, il faut $1 - u^2$, donc $\arcsin(x^2)$ donne $\sqrt{1 - x^4}$, et non $\sqrt{1 - x^2}$.
4. **Se tromper de signe avec arccos.** La [dérivée de arccos x](/derivatives/arccos-x) est la même expression avec un signe moins.

Dans l'autre sens, l'[intégrale de 1/√(1 − x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared) vaut $\arcsin x + C$, et l'[intégrale de arcsin x](/integrals/arcsin-x) se calcule par intégration par parties. Entraînez-vous avec les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) ou lisez la page de la [fonction arcsinus](/functions/arcsine).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arcsin x ?

La dérivée de $\arcsin x$ (aussi notée $\sin^{-1} x$) est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $-1 < x < 1$.

### Quelle est la dérivée de arcsin(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $\frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, valable pour $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### La dérivée de arcsin x est-elle définie en x = 1 ?

Non. En $x = \pm 1$, le dénominateur $\sqrt{1 - x^2}$ s'annule et la courbe de $\arcsin x$ a une tangente verticale, donc la dérivée n'existe pas en ces points.

### sin⁻¹ x est-il égal à 1/sin x ?

Non. $\sin^{-1} x$ désigne la fonction réciproque $\arcsin x$. L'inverse $\frac{1}{\sin x}$ est $\csc x$, dont la dérivée est $-\csc x\cot x$.