# Dérivée de arctan x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de arctan x est 1/(1 + x²). Démonstration à partir de tan y = x, exemples composés comme arctan(2x) et arctan(x²), et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-arctan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{1 + x^2}$ pour tout réel $x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Domaine de définition de arctan x:** tous les réels
- **Ensemble image de arctan x:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Version intégrale:** $\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\arctan x$ est $\frac{1}{1 + x^2}$, et elle est valable pour tout réel $x$.
- La démonstration utilise $\tan y = x$ et l'identité $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$.
- La pente est maximale en $x = 0$, où elle vaut $1$, et tend vers $0$ quand $x \to \pm\infty$.

La **dérivée de $\arctan x$ est $\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Contrairement à arcsin et arccos, il n'y a ni racine carrée ni restriction de domaine : la formule est valable pour tout nombre réel.

$$\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Courbe de arctan x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = arctan x et de sa dérivée y = 1/(1 + x²)'
caption: 'La fonction arctangente monte le plus vite à l''origine, avec une pente de $1$, puis s''aplatit vers ses asymptotes horizontales $y = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1 + x²) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pente 1']
```

La dérivée est une courbe en cloche toujours positive, donc $\arctan x$ est toujours croissante. Comme la dérivée tend vers $0$ aux deux extrémités, la courbe s'aplatit vers $\pm\frac{\pi}{2}$.

## Démonstration de la dérivée de arctan x

Posons $y = \arctan x$, donc $\tan y = x$ avec $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. On dérive les deux membres par [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation), en utilisant la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x) :

$$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$$

L'identité $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ permet de revenir à $x$ :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Cette fois, aucun choix de signe n'est nécessaire, puisque $1 + x^2$ est toujours positif.

## Version composée : dérivée de arctan(u)

Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\arctan(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{1 + 4x^2}$ |
| $\arctan(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\arctan(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| $\arctan(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$ |
| $\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{a}{a^2 + x^2}$ |

La dernière ligne donne l'intégrale classique $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : arctan de 1/x.** Pour $x \ne 0$,

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}$$

C'est l'opposé de la dérivée de arctan, donc $\arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ est constante de chaque côté de $0$. Elle vaut $\frac{\pi}{2}$ pour $x > 0$ et $-\frac{\pi}{2}$ pour $x < 0$.

**Exemple 2 : règle du produit.** Pour $f(x) = x\arctan x$ :

$$f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = 1$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ et la pente vaut $\frac{1}{2}$. La tangente est $y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1)$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\sec^2 x$.** C'est la dérivée de $\tan x$, pas celle de $\arctan x$.
2. **Écrire $\frac{1}{1 + x}$.** Le $x$ est au carré. Vérification : en $x = 1$, la pente doit valoir $\frac{1}{2}$.
3. **Oublier d'élever tout l'intérieur au carré.** $\arctan(3x)$ donne $1 + 9x^2$, et non $1 + 3x^2$.
4. **Confondre avec $\frac{1}{\tan x} = \cot x$.** $\tan^{-1} x$ désigne la fonction réciproque.

Lue à l'envers, cette dérivée donne l'[intégrale de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). L'[intégrale de arctan x](/integrals/arctan-x) elle-même se calcule par intégration par parties. Voir aussi la [fonction arctangente](/functions/arctangent) et les [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de arctan x ?

La dérivée de $\arctan x$ (aussi notée $\tan^{-1} x$) est $\frac{1}{1 + x^2}$.

### Quelle est la dérivée de arctan(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $\frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

### Quelle est la dérivée de arctan(x²) ?

La dérivée de l'intérieur est $2x$, donc la réponse est $\frac{2x}{1 + x^4}$.

### Quelle est l'intégrale de 1/(1 + x²) ?

C'est $\arctan x + C$. C'est la dérivée de $\arctan x$ lue à l'envers.