# Dérivée de cos x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de cos x est -sin x. Démonstration par la limite, preuve rapide à partir de sin x, version composée pour cos(u) et exemples comme cos(5x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-cos-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\sin x$ pour tout réel $x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$
- **Dérivée seconde:** $-\cos x$
- **Unités:** $x$ doit être en radians
- **Version intégrale:** $\int \cos x\,dx = \sin x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$. N'oubliez pas le signe moins.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$.
- Toutes les fonctions en « co » (cos, cot, csc) ont un signe moins dans leur dérivée.
- Les dérivées successives de $\cos x$ forment un cycle : $-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$.

La **dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$**. Le cosinus part de son maximum en $x = 0$ puis descend, donc sa pente pour de petits $x$ positifs est négative, ce qui correspond à $-\sin x < 0$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x$$

## Courbe de cos x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = cos x et de sa dérivée y = -sin x'
caption: 'Là où $\cos x$ descend, $-\sin x$ est sous l''axe. Au sommet $x = 0$, la pente vaut $0$, et en $x = \frac{\pi}{2}$ la pente vaut $-1$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: -sin(x)
    label: y = -sin x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'sommet, pente 0']
  - [1.5708, 0, 'pente -1']
```

## Démonstration par la définition avec une limite

La formule d'addition donne $\cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h$. Donc

$$\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Avec $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ et $\frac{\sin h}{h} \to 1$ :

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x$$

## Une démonstration plus rapide à partir de sin x

Écrivons $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Alors, avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de sin x](/derivatives/sin-x) :

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cdot(-1) = -\sin x$$

en utilisant $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$. C'est le $-1$ venant de l'intérieur qui produit le signe moins.

## La version composée : dérivée de cos(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cos u = -\sin u\cdot u'$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\cos(5x)$ | $5x$ | $-5\sin(5x)$ |
| $\cos(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\sin(x^3)$ |
| $\cos(1 - x)$ | $1 - x$ | $\sin(1 - x)$ |
| $\cos(\ln x)$ | $\ln x$ | $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$ |

Dans la troisième ligne, les deux signes moins se compensent.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un produit.** $\frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$, d'après la [règle du produit](/rules/product-rule).

**Exemple 2 : un quotient.** $\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$, d'après la [règle du quotient](/rules/quotient-rule).

**Exemple 3 : un mouvement.** La position d'un ressort est $s(t) = 4\cos(2t)$. Sa vitesse est $v(t) = -8\sin(2t)$ et son accélération $a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t)$. L'accélération est toujours dirigée vers le centre.

**Exemple 4 : une tangente horizontale.** $\frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x$. Elle vaut $0$ quand $\sin x = \frac{1}{2}$, donc en $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$ dans $[0, 2\pi)$.

## Comment retenir le signe

Pensez au cercle trigonométrique. Le cosinus est l'abscisse du point. Quand l'angle augmente à partir de $0$, le point monte et se déplace vers la gauche, donc l'abscisse diminue. Une grandeur qui diminue a un taux de variation négatif, et c'est pour cela que la dérivée est $-\sin x$ et non $+\sin x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** C'est l'erreur la plus fréquente sur les dérivées trigonométriques. Retenez : les fonctions en « co » prennent un moins.
2. **Se perdre avec deux signes moins.** $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$, positif.
3. **Oublier $u'$.** $\frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x)$, et non $-\sin(4x)$.

Le sens inverse est traité sur la page [intégrale de cos x](/integrals/cos-x). La page de la [fonction cosinus](/functions/cosine-function) présente sa courbe et ses valeurs remarquables.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de cos x ?

La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$.

### Quelle est la dérivée de cos(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $-\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

### Pourquoi la dérivée de cos x est-elle négative ?

Juste à droite de $x = 0$, le cosinus commence à descendre depuis son maximum alors que le sinus est positif. Une courbe qui descend a une pente négative, donc la dérivée doit être $-\sin x$, et non $\sin x$.

### Quelle est la dérivée de cos²x ?

C'est $2\cos x \cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$.