# Dérivée de cosh x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de cosh x (ch x) est sinh x, sans signe moins. Démonstration par les exponentielles, la chaînette, exemples composés et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-cosh-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\sinh x$
- **Définition:** $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$
- **Identité clé:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Dérivée de la réciproque:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ pour $x > 1$

## À retenir

- La dérivée de $\cosh x$ est $\sinh x$, sans signe moins.
- La démonstration utilise $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ et la dérivée de $e^{-x}$.
- Comme $\sinh x$ change de signe en $0$, $\cosh x$ décroît pour $x < 0$, croît pour $x > 0$, et atteint un minimum de $1$ en $x = 0$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$.

La **dérivée de $\cosh x$ est $\sinh x$**. Attention au signe : contrairement au cosinus circulaire, il n'y a pas de moins.

$$\frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x$$

## Démonstration à partir de la définition

Le cosinus hyperbolique (noté aussi ch) est la moyenne de $e^x$ et $e^{-x}$ :

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

On dérive chaque terme. La [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est $e^x$, et la [dérivée de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) est $-e^{-x}$ :

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$

## Courbe de cosh x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = cosh x et de sa dérivée y = sinh x'
caption: 'Le cosinus hyperbolique a une forme en U avec son minimum en $(0, 1)$. Sa pente, $\sinh x$, est négative à gauche, nulle en bas et positive à droite.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'minimum (0, 1)']
  - [0, 0, 'pente 0']
```

La dérivée $\sinh x$ est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$, donc $x = 0$ est un minimum. La dérivée seconde est $\cosh x \ge 1 > 0$, donc la courbe est convexe partout.

## La chaînette

Une chaîne ou un câble suspendu sous son propre poids prend la forme $y = a\cosh\frac{x}{a}$, appelée chaînette. Sa pente en tout point vaut

$$\frac{dy}{dx} = a\sinh\frac{x}{a}\cdot\frac{1}{a} = \sinh\frac{x}{a}$$

Le câble est donc horizontal en son point le plus bas et devient plus raide vers les points d'attache. La formule de la longueur d'arc se simplifie elle aussi joliment, car $1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$ :

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \sinh^2\frac{x}{a}} = \cosh\frac{x}{a}$$

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$$

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\cosh(2x)$ | $2\sinh(2x)$ |
| $\cosh(x^2)$ | $2x\sinh(x^2)$ |
| $\cosh(\ln x)$ | $\frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$ |
| $\cosh^2 x$ | $2\cosh x\sinh x = \sinh 2x$ |
| $x\cosh x$ | $\cosh x + x\sinh x$ |

Dans la troisième ligne, $\sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}$, donc en divisant par $x$ on obtient $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$.

**Exemple corrigé : vérifier l'identité.** Dérivons $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ :

$$2\cosh x\sinh x - 2\sinh x\cosh x = 0$$

Une dérivée nulle signifie que l'expression est constante. En $x = 0$, elle vaut $1 - 0 = 1$, ce qui démontre $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

## Dérivée de arcosh x

Pour $x > 1$, la réciproque du cosinus hyperbolique a pour dérivée

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

On pose $\cosh y = x$ avec $y > 0$, d'où $\sinh y\,y' = 1$ et $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $-\sinh x$.** Recopier le schéma circulaire est l'erreur la plus fréquente.
2. **Croire que $\cosh x$ peut être inférieur à 1.** Son minimum est $\cosh 0 = 1$.
3. **Oublier la dérivée intérieure.** $\frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x)$.

Voir la [dérivée de sinh x](/derivatives/sinh-x), la [dérivée de tanh x](/derivatives/tanh-x) et la page des [fonctions hyperboliques](/functions/hyperbolic-functions) pour les courbes et les identités.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de cosh x ?

La dérivée de $\cosh x$ est $\sinh x$.

### La dérivée de cosh x est-elle −sinh x ?

Non. C'est le schéma du cosinus circulaire, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. Pour le cosinus hyperbolique, la réponse est $+\sinh x$.

### Quelle est la dérivée de cosh(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $2\sinh(2x)$.

### Quelle est la dérivée seconde de cosh x ?

C'est de nouveau $\cosh x$. Dériver deux fois ramène au point de départ.