# Dérivée de cot x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de cot x est -csc²x. Démonstration par le quotient, la forme -(1 + cot²x), version composée pour cot(u) et exemples comme cot(2x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-cot-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\csc^2 x$ pour $x \ne k\pi$
- **Autres formes:** $-\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'$
- **Pente en x = π/2:** $-\csc^2\frac{\pi}{2} = -1$
- **Version intégrale:** $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\cot x$ est $-\csc^2 x$.
- Elle provient de la règle du quotient appliquée à $\frac{\cos x}{\sin x}$ et de $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Comme $-\csc^2 x \le -1$, $\cot x$ est décroissante sur chaque intervalle où elle est définie.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$.

La **dérivée de $\cot x$ est $-\csc^2 x$**. C'est la partenaire en « co » de $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$ : on passe aux cofonctions et on ajoute un signe moins.

$$\frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x$$

## Courbe de cot x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = cot x et de sa dérivée y = -csc²x'
caption: 'Une branche de $\cot x$ sur $(0, \pi)$. Elle descend toujours, et la pente est la moins forte en $x = \frac{\pi}{2}$, où elle vaut $-1$.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-8, 6]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
    domain: [0.17, 2.97]
  - expr: -csc(x)^2
    label: y = -csc²x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.37, 2.77]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 0, 'pente -1']
```

## Démonstration par la règle du quotient

Écrivons $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ et utilisons la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) :

$$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$$

Le numérateur vaut $-1$, donc

$$\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

## Une seconde démonstration à partir de tan x

Comme $\cot x = (\tan x)^{-1}$, la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x) donnent

$$-(\tan x)^{-2}\sec^2 x = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Même résultat. L'identité $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ permet aussi d'écrire la réponse sous la forme $-(1 + \cot^2 x)$.

## La version composée : dérivée de cot(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\cot(2x)$ | $2x$ | $-2\csc^2(2x)$ |
| $\cot(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\csc^2(x^3)$ |
| $\cot\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\cot(\pi - x)$ | $\pi - x$ | $\csc^2(\pi - x)$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance.** $\frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.

**Exemple 2 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Exemple 3 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$, donc la pente vaut $-(\sqrt{2})^2 = -2$. La tangente passant par $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ est $y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

**Exemple 4 : le logarithme du sinus.** $\frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$. En dérivant à nouveau, on obtient $-\csc^2 x$. C'est pourquoi $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$, voir l'[intégrale de cot x](/integrals/cot-x).

## Comment la retenir

Associez $\cot x$ à $\tan x$. La dérivée de la tangente est $\sec^2 x$. Remplacez chaque fonction par sa partenaire en « co », tangente par cotangente et sécante par cosécante, puis placez un signe moins devant. Vous obtenez $-\csc^2 x$ sans démonstration. Le même échange fonctionne pour toutes les paires de dérivées trigonométriques, donc il suffit de mémoriser trois des six résultats. Un coup d'œil à la courbe confirme le signe : chaque branche de la cotangente descend de gauche à droite, donc sa pente doit toujours être négative. La pente devient plus forte près des asymptotes, aux multiples de $\pi$, là où $\csc^2 x$ explose.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** La cotangente est toujours décroissante, donc sa dérivée doit être négative.
2. **Écrire $-\csc x\cot x$.** C'est la [dérivée de csc x](/derivatives/csc-x), un autre résultat.
3. **Écrire $-\sec^2 x$.** Le carré porte sur la cosécante, la partenaire de la sécante.

Pour retrouver toute la famille au même endroit, lisez [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de cot x ?

La dérivée de $\cot x$ est $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

### Comment démontrer la dérivée de cot x ?

On écrit $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. La règle du quotient donne $\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

### Quelle est la dérivée de cot(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $-2\csc^2(2x)$.

### Quelle est la dérivée de cot²x ?

C'est $2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.