# Dérivée de csc x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de csc x est -csc x cot x. Démonstration à partir de 1/sin x, version composée pour csc(u), courbe et exemples corrigés comme csc(3x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-csc-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\csc x\cot x$ pour $x \ne k\pi$
- **Avec sin et cos:** $-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'$
- **Pente en x = π/2:** $-\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0$
- **Version intégrale:** $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$.
- Elle est le reflet de la dérivée de $\sec x$ : on remplace chaque fonction par sa partenaire en « co » et on ajoute un signe moins.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$.
- Lue à l'envers, elle donne $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$.

La **dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$**. La cosécante vaut $\frac{1}{\sin x}$ et, comme toute fonction trigonométrique en « co », sa dérivée porte un signe moins.

$$\frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x$$

## Courbe de csc x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = csc x et de sa dérivée y = -csc x cot x'
caption: 'Une branche de $\csc x$ sur $(0, \pi)$. Elle descend jusqu''à un minimum en $x = \frac{\pi}{2}$, où la pente vaut $0$, puis remonte.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = csc x
    domain: [0.16, 2.98]
  - expr: -csc(x)cot(x)
    label: y = -csc x cot x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.38, 2.76]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 1, 'minimum, pente 0']
```

## Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Écrivons $\csc x = (\sin x)^{-1}$. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^{-1} = -(\sin x)^{-2}\cdot\cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

On sépare la fraction :

$$-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$$

C'est un cas particulier du schéma de la [dérivée de 1/x](/derivatives/1-over-x), $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$, avec $u = \sin x$.

## Un schéma à connaître

Les six dérivées trigonométriques vont par paires. On remplace chaque fonction par sa partenaire en « co » et on change le signe :

| Fonction | Dérivée | Partenaire | Dérivée |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Si vous connaissez la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x), vous obtenez donc celle de $\csc x$ gratuitement.

## La version composée : dérivée de csc(u)

$$\frac{d}{dx}\,\csc u = -\csc u\cot u\cdot u'$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x)$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2)$.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}$.

## Autres exemples corrigés

**Exemple 4 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x$.

**Exemple 5 : une puissance.** $\frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x$.

**Exemple 6 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{6}$, $\csc\frac{\pi}{6} = 2$ et $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$, donc la pente vaut $-2\sqrt{3} \approx -3.46$. La courbe y descend fortement, ce qui correspond au graphique.

## Comment lire la courbe

Chaque branche de la cosécante a la forme d'un U situé au-dessus ou au-dessous de l'axe. Sur la branche supérieure entre $0$ et $\pi$, la courbe descend sur la moitié gauche et monte sur la moitié droite, avec son point le plus bas en $x = \frac{\pi}{2}$. La dérivée raconte la même histoire : négative à gauche, nulle en bas, positive à droite. Près des asymptotes en $0$ et $\pi$, la courbe est presque verticale, donc la dérivée y devient très grande en valeur absolue. Garder cette image en tête permet de vérifier rapidement le signe de tout résultat calculé.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** La règle des « co » : $\cos$, $\cot$ et $\csc$ ont toutes des dérivées négatives.
2. **Écrire $-\cot^2 x$ ou $-\csc^2 x$.** $-\csc^2 x$ est la dérivée de $\cot x$. La dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$.
3. **Se tromper d'inverse.** $\csc x = \frac{1}{\sin x}$, et non $\frac{1}{\cos x}$.

Le côté intégrale est traité sur la page [intégrale de csc x](/integrals/csc-x). Pour vous entraîner davantage, faites les [exercices de dérivées trigonométriques](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de csc x ?

La dérivée de $\csc x$ est $-\csc x\cot x$.

### Comment démontrer la dérivée de csc x ?

On écrit $\csc x = (\sin x)^{-1}$. La règle de dérivation en chaîne donne $-(\sin x)^{-2}\cos x = -\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x\cot x$.

### Quelle est la dérivée de csc(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $-2\csc(2x)\cot(2x)$.

### cosec x et csc x, est-ce la même chose ?

Oui. Les deux désignent $\frac{1}{\sin x}$, et la dérivée de cosec x est $-\operatorname{cosec}x\cot x$.